同济第六版《高等数学》教案WORD版-第03章-中值定理与导数的应用精品资料.pdf
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1、第三章中值定理与导数的应用 教学目的: 1、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理,了解柯西中值定理和泰勒中值定理。 2、理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法,掌握函 数最大值和最小值的求法及其简单应用。 3、会用二阶导数判断函数图形的凹凸性,会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐 近线,会描绘函数的图形。 4、掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。 5、知道曲率和曲率半径的概念,会计算曲率和曲率半径。 6、知道方程近似解的二分法及切线性。 教学重点 : 1、罗尔定理、拉格朗日中值定理; 2、函数的极值,判断函数的单调性和求函数极值的方法; 3、函数图形的凹凸性; 4、
2、洛必达法则。 教学难点: 1、 罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用; 2、 极值的判断方法; 3、图形的凹凸性及函数的图形描绘; 4、洛必达法则的灵活运用。 3 1 中值定理 一、罗尔定理 费马引理 设函数 f(x)在点 x0的某邻域 U(x0)内有定义 并且在 x0处可导 如果对任意x U(x0) 有 f(x) f(x0) (或 f(x) f(x0) 那么 f (x0) 0 罗尔定理如果函数y f(x)在闭区间 a, b上连续在开区间 (a, b)内可导且有 f(a) f(b)那 么在 (a, b)内至少在一点使得 f ( ) 0 简要证明 (1)如果 f(x)是常函数则 f (x) 0定理的
3、结论显然成立 (2)如果 f(x)不是常函数则f(x)在(ab)内至少有一个最大值点或最小值点不妨设有一最大 值点(a b)于是 0 )()( lim)()( x fxf ff x 0 )()( lim)()( x fxf ff x 所以 f (x)=0. 罗尔定理的几何意义 二、拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理如果函数 f(x)在闭区间 a b上连续在开区间 (a b)内可导那么在 (a b) 内至少有一点(a0 或x0)或 xx x (x0)应用拉格朗日中值公式得 f(xx) f(x) f (xx)x (0 1) 如果记 f(x)为 y则上式又可写为 y f (xx)x (0 1) 试与
4、微分d y f (x)x 比较d yf (x)x 是函数增量y 的近似表达式而 f (xx)x 是函数增量y 的精确表达式 作为拉格朗日中值定理的应用我们证明如下定理 定理如果函数f(x)在区间 I 上的导数恒为零那么 f(x)在区间 I 上是一个常数 证在区间 I 上任取两点x1x2(x1x2)应用拉格朗日中值定理就得 f(x2) f(x1) f ( )(x2 x1) (x1 x2) 由假定f ( ) 0所以 f(x2) f(x1) 0 即 f(x2) f(x1) 因为 x1 x2是 I 上任意两点 所以上面的等式表明f(x)在 I 上的函数值总是相等的这就是说f(x) 在区间 I 上是一个
5、常数 例 2 证明当 x 0 时xx x x )1ln( 1 证设 f(x) ln(1 x)显然 f(x)在区间 0 x上满足拉格朗日中值定理的条件根据定理就有 f(x) f(0) f ( )(x 0) 0 x。 由于 f(0) 0 x xf 1 1 )( 因此上式即为 1 )1ln( x x 又由 0x有 xx x x )1ln( 1 三、柯西中值定理 设曲线弧C 由参数方程 )( )( xfY xFX (a x b) 表示其中 x 为参数如果曲线C 上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线那么在曲线C 上必 有一点x使曲线上该点的切线平行于连结曲线端点的弦AB曲线 C 上点 x处的切线的斜 率
6、为 )( )( F f dX dY 弦 AB 的斜率为 )()( )()( aFbF afbf 于是 )( )( )()( )()( F f aFbF afbf 柯西中值定理如果函数f(x)及 F(x)在闭区间 ab上连续在开区间 (a b)内可导且 F(x) 在(a b)内的每一点处均不为零那么在 (a b)内至少有一点使等式 )( )( )()( )()( F f aFbF afbf 成立 显然如果取 F(x) x那么 F(b) F(a) b a F (x) 1因而柯西中值公式就可以写成 f(b) f(a) f ( )(b a) (a b) 这样就变成了拉格朗日中值公式了 3. 3 泰勒公
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