向量点乘(内积)和叉乘(外积、向量积)概念及几何意义解读.pdf
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1、* * 概念 向量是由n 个实数组成的一个n 行 1 列(n*1)或一个 1 行 n 列(1*n)的有序数 组; 向量的点乘,也叫向量的内积、数量积,对两个向量执行点乘运算,就是对这两 个向量对应位一一相乘之后求和的操作,点乘的结果是一个标量。 点乘公式 对于向量a 和向量 b: a 和 b 的点积公式为: 要求一维向量a 和向量b 的行列数相同。 点乘几何意义 点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角,以及在b 向量在 a 向量方向上的投影,有公式: 推导过程如下,首先看一下向量组成: 定义向量: * * 根据三角形余弦定理有: 根据关系c=a-b (a、b、c 均为向量)有:
2、即: 向量 a,b 的长度都是可以计算的已知量,从而有a 和 b 间的夹角 : 根据这个公式就可以计算向量a 和向量 b 之间的夹角。从而就可以进一步判断这 两个向量是否是同一方向,是否正交 (也就是垂直)等方向关系 ,具体对应关系为: a b0 方向基本相同,夹角在0 到 90 之间 a b=0 正交,相互垂直 a b0 方向基本相反,夹角在90 到 180 之间 叉乘公式 两个向量的叉乘,又叫向量积、外积、叉积,叉乘的运算结果是一个向量而不是 一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。 对于向量a 和向量 b: a 和 b 的叉乘公式为: * * 其中: 根据 i、j、k 间关系,有: 叉乘几何意义 在三维几何中, 向量 a 和向量 b 的叉乘结果是一个向量,更为熟知的叫法是法向 量,该向量垂直于a 和 b 向量构成的平面。 在 3D 图像学中,叉乘的概念非常有用,可以通过两个向量的叉乘,生成第三个 垂直于 a,b 的法向量,从而构建X、Y、Z 坐标系。如下图所示: 在二维空间中,叉乘还有另外一个几何意义就是:aXb 等于由向量a 和向量 b 构 成的平行四边形的面积。
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- 向量 内积 外积 概念 几何 意义 解读
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