奥数-游戏与策略.pdf
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1、1. 有一筐苹果53 个,甲乙两人轮流从中拿走1 个或 2 个苹果,规定谁拿走最后1 个苹果,谁 获胜。如果甲先拿,那么他有没有必胜的策略。 【分析与解】 这与抢报 30 所采取的策略类似。甲要取胜,甲必须先 拿到第 53 个苹果才行。依此向前倒推,甲要先拿第50 个、第 47 个、第 44 个,第 5 个,第 2 个。 3. 有一个 33 的棋盘格以及 9 张大小为一个方格的卡片, 9 张卡片上分别 写有 1、3、4、5、6、7、8、9、10 九个数。甲、乙两人做游戏,轮流取一 张卡片放到九格中的一格, 由甲方计算上、 下两行六个数的和; 乙方计算左、 右两列六个数字的和,和数大的一方为胜,
2、试问:先取的一方(甲方)一定 能胜吗? 【分析与解】 由于四个角上的数都是两人共有的,因而和数的大小只 与放在 A、B、C、D这四格中的数有关。 甲方要获胜,必须采取:(1)尽可能地将大数字填入A格或 C格; (2)尽可能地将小的数字填入B格或 D格。 由于 1+103+9,甲应先将 1 放进 B格。接下来,如果乙把 10 放进 D 格,甲再把 9 放进 A格。这时不论乙怎么放, C格中一定放有大于或等于 3 的数,因而甲方一定获胜;如果乙把3放进 A格,甲方只需将9 放进 C 格,甲方也一定获胜。 4. 有九张卡片,分别写着1、2、3、4、5、6、7、8、9。甲、乙两人轮流 取 1 张,谁手
3、上的三张卡片数字加起来等于15,谁就取胜。 问保证不败的对 策是什么? 【分析与解】 从 1、2、 8、9 中选三个数,使得和为15,有如下 八组:1、5、9;2、4、9;2、5、8;2、6、7;3、4、8;3、 5、7;4、5、6;1、6、8。 每个人要保证不败,就应使对方不能获胜,选数的原则应该是: (1)使自己所占的可能性尽量多; (2)尽量破坏对方取胜的可能性。 从上面八组数中看出:数字“5”在 8 组数中出现的次数最多(共4 次),所以谁先选 5,谁就比较占优势。不妨假设甲先取5。对于乙来说, 他只剩下 2、4、9;2、6、7;3、4、8;1、6、8 这四种可能,为了使自 己组成 1
4、5 的可能性尽可能大,乙应取2(或 4、6、8)。接着又轮到甲取 了,一方面,他既要破坏乙的可能性,又要使自己尽快达到15,所以应 取 4 或 6。如果甲取 4,甲已取两数之和是54=9。这时,甲只要再取6 就获胜了。为了破坏甲取胜,乙就应接着取6,这样,乙已取两数之和就 是 26=8,乙只要再取 7 就会获胜。所以,第三次甲应该取7,就彻底破 坏了乙取胜的可能,上面的过程就是甲保持不败的对策,其它情况类推。 5. 两人轮流报数,规定每次报数都是不超过8 的自然数,把两人报的数累加起 来,谁先得到 88,谁就获胜,问先报数者有无必胜的策略? 【答案】先报者有必胜策略。 6. 在黑板上写下数 2
5、,3,4, 1994,甲先擦去其中一个数,然后,乙再擦 出一个数,如此轮流下去。若最后剩下两个互质数时,甲胜,若最后剩下两 个数不互质时,乙胜,试说明,甲先擦数,存在必胜的策略。 【答案】甲先擦去2,将剩下 1992个自然数配对: (3,4) ,(5,6) , (1993,1994) ,乙取某组中的一个,甲接着取其中的另一个。最后剩余一 组,必互质,甲胜。 7. 甲、乙二人轮流报数,必须报不大于6 的自然数,把两人报出的数依次加起 来,谁报数后加起来的数是2000,谁就获胜 . 如果甲要取胜,是先报还是后 报?报几?以后怎样报? 【分析】采用倒推法(倒推法是解决这类问题一种常用的数学方法).
6、由于每次报的数是16 的自然数, 2000-1=1999,2000-6=1994,甲要获 胜,必须使乙最后一次报数加起来的和的范围是19941999,由于 1994-1=1993(或 1999-6=1993),因此,甲倒数第二次报数后加起来的 和必须是 1993.同样,由于 1993-1=1992,1993-6=1987,所以要使乙倒数 第二次报数后加起来的和的范围是19871992,甲倒数第三次报数后加 起来的和必须是 1986.同样,由于 1986-1=1985,1986-6=1980,所以要使 乙倒数第三次报数后加起来的和的范围是19801985,甲倒数第四次报 数后加起来的和必须是19
7、79,. 把甲报完数后加起来必须得到的和从后往前进行排列:2000、1993、 1986、1979、. 观察这一数列,发现这是一等差数列,且公差d=7,这 些数被 7 除都余 5. 因此这一数列的最后三项为:19、12、5. 所以甲要获 胜,必须先报,报5. 因为 12-5=7,所以以后乙报几,甲就报7 减几,例 如乙报 3,甲就接着报 4(=7-3). 解: 甲要获胜必须先报,甲先报5; 以后,乙报几甲就接着报7 减几. 这样甲就能一定获胜 . 8. 有 1994个球,甲乙两人用这些球进行取球比赛. 比赛的规则是:甲乙轮流取 球,每人每次取 1 个,2 个或 3 个,取最后一个球的人为失败者
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