《数学思想-中考数学二轮考点复习专题9.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《数学思想-中考数学二轮考点复习专题9.pdf(8页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、专题九数学思想 一、考点综述 考点内容: 整体思想、数形结合思想、化归思想、换元思想、分类思想 考纲要求: 要求学生会建立数学思想,掌握思想方法,在解题时可以使学生,寻求出已知和未知的联系,提高学 生分析问题的能力,从而使学习的思维品质和能力有所提高。数学思想方法的渗透、展现是借助于数学知 识、技能这些载体的,在每年的中考中都有考查学生数学思想的题目出现。 考查方式及分值: 思想方法的考查在填空、解答、选择题中都有出现,常常和各种知识综合起来作为压轴题目出现。 备考策略: 数学思想方法是数学的精髓,是读书由厚到薄的升华,在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思 想的习惯,整体思想、数形结合思想
2、、化归思想、换元思想、分类思想,在平时的学习中要注意发掘和运 用这些数学思想方法。 二、例题精析 1、整体思想 整体思想方法是指用“集成”的眼光,把某些式子或图形看成一个整体,把握已知和所求之间的关联, 进行有目的、有意识的整体处理来解决问题的方法. 利用整体思想往往能够避免局部思考带来的困惑. 例 1 解方程组 2002x+2003y=2001 2003x+2002y=2004 解题思路: 如果选用代入法解答,比如由得,x= 2001- 2003y 2002 , 再代入,得 2003( 2001- 2003y 2002 )+2002y=2004 解答起来十分麻烦. 如果选用加减法,比如,20
3、03- 2002,可以消去x,得 20032003y-2002 2002y=20012003- 2004 2002 形式也很复杂,不易求解. 注意到两个方程的系数正好对调这一特征,先将两方程相加,+,得 4005x + 4005y = 4005 化简,得 x+y=1 再将两方程相减, - ,得 -x + y = - 3 即 x-y=3 由、组成方程组,得 x + y =1 x - y =3 解这个方程组得 x = 2 y = -1 . 规律总结: 整体思想在数学解题中的应用,不仅仅局限于上述的类型,还涉及到其他的各种题型,只 有通过不断地挖掘、归纳、提炼,才能更好地把握整体思想的本质和规律,从
4、而使问题迎刃而解。 2、数形结合思想 数和形是初中数学中被研究得最多的对象,数形结合是一种极富数学特点的信息转换,它通过形理解 数,利用形的直观加深对数量关系的理解;通过数理解形,利用数的抽象性加深对图形位置关系的理解, 即图形位置问题的坐标化,数量关系图形化。 例 2、 已知正比例函数ykx的图象与反比例函数 5k y x (k为常数,0k)的图象有一个交点的横 坐标是 2 求两个函数图象的交点坐标; 若点 11 ()A xy, 22 ()B xy,是反比例函数 5k y x 图象上的两点,且 12 xx,试比较 12 yy,的大小 解题思路: (1)由由交点横坐标的含义可得方程组 2 5
5、2 k y ky 消去字母y,得 5 2 2 k k,解得1k所 以正比例函数的表达式为yx,反比例函数的表达式为 4 y x 要求两个函数图象的交点坐标,只须在得 出的函数解析式基础上画出图象(反比例函数 4 y x 的图象分别在第一、三象限内的双曲线,正比例函数 yx的图象是经过原点的一条直线)由题知交点的横坐标是2 即可求出纵坐标也是2 即为( 2,2),由图 象的关于原点成中心对称可得另一交点为( 22),所以两函数图象交点的坐标为(2,2),( 22), (2) 利用上问中所画图形得反比例函数 4 y x 的图象的y的值随x值的增大而减小, 所以当 12 0xx时, 12 yy当 1
6、2 0xx时, 12 yy当 12 0xx时,因为 1 1 4 0y x , 2 2 4 0y x ,所以 12 yy 规律总结: 借助“形”的几何直观来阐明“数”之间的某种关系能使问题简单。这类问题常把函数、方程、 不等式联系起来. 3、 化归思想 所谓化归思想,就是指对于那些数学问题难以求解时,我们可以根据问题的性质、条件和关系,采取 适当的方法把较困难的问题转化为较简单的或早已熟悉的问题来进行解答。 例 3、如图,是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图,由 6 个颜色不同的正方形组成,设中间最小一个正方 形边长为1,则这个矩形色块图的面积为 . 解题思路:设次小正方形边长为x,则其余正方形的
7、边长依次为1+x,2+x,3+x,根据题意得: (2+x+3+x)( 3+x+x)- 【( 3+x) 2 +(2+x) 2 +( 1+x) 2 +2x 2 】=1, 解得 x=4. 所以矩形色块图的面积为1311=143. 规律总结 :如果对待这个问题时只考虑几何的面积求法,很容易陷入分别求边长的死胡同,从而一筹莫展, 这里采用代数考虑,将问题用一个方程表达出来,进而求出次小正方形的边长,进而求得解。这里又包含 了整体思想、方程思想. 4、 换元思想 例 4分解因式( x 2-3x+2 )(x2-3x-4)-72 解题思路 :注意题目的形式特征,把某一部分(比如x 2-3x+2 )看作一个整体
8、,运用整体换元,把原方 程化为形如x 2+px+q 的二次三项式,进一步用十字相乘法,最后注意分解要彻底。 设 x 2-3x+2=t 则 ( x 2-3x+2 )(x2-3x-4)-72 =t (t-6 )-72 =t 2 -6t-72 =( t+6)( t-12 ) = (x 2-3x+2+6) (x2-3x+2-12 ) =( x 2-3x+8 )( x2-3x-10 ) =( x 2-3x+8 )( x-5 )( x+2). 规律总结:如果把( x 2-3x+2 )与 (x2-3x-4) 相乘,将得到一个四次多项式,这时再分解就困难了,注 意题目的形式特征,运用整体换元。 5、分类思想
9、分类思想是根据所研究的对象相同点和不同点区分不同类型的数学思想方法. 例 5. 仔细阅读下列材料,然后解答问题: 某商场在促销期间规定:商场内所有商品按标价的80出售,同时,当顾客在该商场消费满一定金额 后,按如下方案获得相应金额的奖券: 消费金额a(元) 的范围 400a200500a400700a500900a700 获得的奖金额(元)30 60 100 130 根据上述促销方法,顾客在商场内购物可以获得双重优惠。例如,购买标价为450 元的商品,则消费 金额为 45080=360 元,获得的优惠额为450(180) +30=120 元。设购买该商品得到的优惠率=购 买商品获得的优惠额商品
10、标价。 (1)购买一件标价为1000 元的商品,顾客得到的优惠率是多少? (2)对于标价在500 元与 800 元之间(含500 元和 800 元)的商品,顾客购买标价为多少元的商品, 可以得到 3 1 的优惠率? 解题思路: 这道题较新颖,既考查学生的阅读理解能力,又考查学生分类解题能力和运用新知能力。 第( 2)问中由于标价在500 元 800 元之间,因此消费金额在400 元 640 元之间,第二次送奖券优惠情 况不确定,有两种情况,所以应分类解答。 解:( 1)标价为1000 元的商品的优惠率为: %33 1000 130%)801(1000 (2)设顾客购买标价为x 元的商品,可以得
11、到 3 1 的优惠率 800x500 640x8.0400 分两种情况: 当 625x500 时,有 500x8.0400 据题意得: 3 1 x 60x2. 0 解之并检验得: 450x 。 但625x500 x=450 不合题意,应舍去。 当800x625时,有640x8.0500 据题意得: 3 1 x 100x2. 0 解之并检验得:x=750。符合题意。 综合可知:x=750。 答:顾客购买标价为750 元的商品时,可以得到 3 1 的优惠率。 规律总结: 由以上三例可以看出,当解某些题的时候,应注意分类,分类讨论时要正确选择分类的标 准,一是不能遗漏,二是不能重复。只有这样,才能比
12、较严谨、规范地解决数学应用问题。 三、综合训练 一、选择题 1.若抛物线yx 26x c的顶点在x轴上,则c的值是() A9 B3 C 9 D0 2. 如果已知一次函数ykxb的图象不经过第三象限,也不经过原点,那么k、b的取值范围是() Ak0 且b0 Bk0且b0 Ck0 且b0 Dk0且b0 3 根据下表中的规律,从左到右的空格中应依次填写的数字是() 000 110 010 111 001 101 A100,011 B 011,100 C 011,101 D101, 110 4. 若ABC的边长为a,b,c,且满足a 2 b 2 c 2 abbcca,则ABC是() A等边三角形 B等
13、腰直角三角形 C钝角三角形 D直角三角形 5. 关于x的二次方程x 2( 2m 1)xm80 的两个实数根,一个根大于1,另一个根小于1,则m 应满足() Am 1 Bm2 Cm2 Dm 1 二、填空题 1. 要用总长30m的篱笆沿墙的一边围一长方形的鸡舍,除墙这一边外, 其他三边 (除门外) 都用篱笆围成, 要求长方形的长是宽的2 倍,并要求留2m宽的门,这一鸡舍的长与宽分别为_、 _ 2.已知二次函数y 4x 22mx m 2 与反比例函数y 的图象在第二象限内的一个交点的横坐标是2,则 m的值是 _ 3. 已 知 : 3 2 2 3 2 2 2 , 8 3 3 8 3 3 2 , 15
14、4 4 15 4 4 2 , 24 5 5 24 5 5 2 , ,, 若 a b a b2 1010符合前面式子的规律,则 a + b = 4. 如图,“回”字形的道路宽为1 米,整个“回”字形的长为8 米,宽为7 米,一个人从入口点A 沿着道 路中央走到终点B,他共走了 . 5. 甲、乙两人分别从相距30km的 A、B两地同时相向而行,经过3h 后相距 3km ,再经过2h,甲到 B地所剩 的路程是乙到A地所剩路程的2倍,甲、乙两人的速度分别为_、_. 三、解答题 1. 甲、乙两班学生到集市上购买苹果,苹果的价格如下: 购苹果数不超过 30kg 30kg 以上但不超过50kg 50kg 以
15、上 每千克价格3 元2.5 元2 元 甲班分两次共购苹果70kg(第二次多于第一次),共付189 元,而乙班则一次购苹果70kg。 (1)乙班比甲班少付多少元? (2)甲班两次分别购买苹果多少千克? 2. 如图,矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形,如果四个小三角形的周长的和为86cm,一条对角线 长是 13cm ,那么矩形的面积是多少? 3已知抛物线y(m1)x 22mx m3 与x轴交于A、B两点,当m取什么实数时, (1)A、B两点都在y轴的右侧; (2)A、B两点分别在y轴的左、右两侧,且线段AO的长度大于线段OB的长度 8 米 7 米 B A A B C D O 4已知一次函数y
16、x6 和反比例函数y (k0) (1)k满足什么条件时,这两个函数在同一坐标系xOy中的图象有两个公共点? (2)设( 1)中的两个公共点分别为A、B,AOB是锐角还是钝角? 答 案 一、选择题 1.A 2.C 3.B 4.A 5.C 二、填空题 1. 16m和 8m或 12.8m 和 6.4m 2.-7 3.109 4.56 5.甲的速度为4Km/h,乙的速度为5Km/h或甲 的速度为16/3Km/h,乙的速度为17/3Km/h 。 三、解答题 1. 解:( 1)乙班比甲班少付: 49270189 (元)。 (2)设甲班第一次购买苹果x 千克,则第二次购买苹果)x70(千克。 第二次多于第一
17、次 x70x 35x0 故70x7035 分三种情况: 当20x0时,有70x7050, 据题意得:189)x70(2x3, x=49。 但2049不合题意,应舍去。 当30x20时,有50x7040, 据题意得:189)x70(5.2x3, x=28, 422870x70。 当35x30时,有40x7035 据题意得:189)x70(5.2x5. 2 但左边189175不合题意,舍去; 综合,只有符合题意。 答:甲班第一次购买28 千克苹果,第二次购买42 千克。 2.解根据题意,有 AB+BC+CD+DA =86-2( AC+BD ) =86-4 13 =34. AB+BC=17. 两边平方,得:AB 2 +2AB BC+BC 2 =289, 又 AB 2 +BC 2 =AC 2 =169, 两式相减,得2AB BC=120, AB BC=60 ( 2 ) . 3. ( 1)m 3 或 1m( 2)0m1 4( 1)k 9 且k0 (2)当 0k9 时,AOB是锐角;当k0 时,AOB是钝角
链接地址:https://www.31doc.com/p-5173409.html