泛函分析61125.pdf
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1、第一节第一讲线性空间5 例 1.1.2设平面上不在同一直线上三点 P1(x1,y1), P2(x2,y2), P3(x3,y3),构造一个函数 Z = ax + by + c 使得Z在Pk点值为hk,k = 1,2,3. 解解解 采用基函数方法构造问题的解。 1) 构造基函数ej(x,y), j = 1,2,3满足条件 ei(Pj) = ij,i, j = 1,2,3. 设1(x,y)是P2, P3两点所确定的直线,2(x,y)表示由P1,P3两点所确定的直线,3(x,y)是P1,P2两 点所确定的直线。由于P1,P2,P3不在同一直线上, 1(P1) , 0, 1(P2) = 1(P3) =
2、 0, 所以可 构造函数 e1(x,y) = 1(x,y) 1(P1) ; 类似地, 2(P2) , 0, 2(P1) = 1(P3) = 0; 可构造函数 e2(x,y) = 2(x,y) 2(P2) ; 以及3(P3) , 0,3(P2) = 3(P1) = 0, 可构造函数 e3(x,y) = 3(x,y) 3(P3) . 明显地,ej(x,y), j = 1,2,3是三个二元一次函数,线性无关,满足条件ei(Pj) = ij. 2) 构造满足条件的函数Z = Z(x,y)。 函数Z = Z(x,y) Z = h1e1(x,y) + h2e2(x,y) + h3e3(x,y) 是一次函数
3、,满足给定条件.? 1.1.4 练习题一解答 1. 设 M = (1,1,1),(0,0,2), 试说明 spanM的几何意义。 解解解 其几何意义是由在三维直角坐标系中, 由 x = y = z 与z轴这两条直线所确定的平面。 设向量 a = (1,1,1),b = (0,0,2), 那么 spanM = a + b ? ? ? , R = (, + 2) ? ? ? , R 就是由这两个向量确定的平面.? 2. 证明线性空间X的任意多个子空间的交仍然是X的子空间。 但是X的两个子空间的并 不一定是X的子空间, 试举例说明. 6第一章线性空间和线性算子 证证证明明明 设D是一非空指标集, 对
4、每个i D, Xi是X的子空间, 为证 X0= iD Xi 也是X是子空间, 只而证明X0关于X中的线性运算是封闭的. 对任意的x,y X0, K, 由于x,y X0= iD Xi, 对每个i D, x,y Xi, 而Xi是X的线 性子空间, 则有 x + y Xi,x Xi,i D. 因此有 x + y iD Xi= X0,x iD Xi= X0. 所以X0也是X的子空间, 即任意多个子空间的交是X的子空间. 但是X的两个子空间的并不一定是X的子空间. 例如设X = R3, 设X1= x = (1,0,0) ? ? ? R, X2= y = (0,1,0) ? ? ? R,明显地, 它们都是
5、X的子空间. 但X1 X2不是X的子空 间, 这是因为 (1,2,0) = 1(1,0,0) + 2(0,1,0) 0存 在 0使得当|x y| 0使得 对x X有不等式 ax2 x1 bx2. (i) ” 设xn是(X, 1)中的Cauchy序列, 对 0,存在N N,使得当n,m N时, xm xn1 0,存在N N,使得当n,m N时, xm xn2 0). 由下 确界的定义, 对n N存在yn Y使得 v yn 0 0,当 q(t) = 0 1,当 q(t) 0 存在可测集A a,b及 x Ca,b,使得 mA 0,存在某个i0 N使得 j=1 |ai0j| M . 取 x0= (0)
6、 1 ,(0) 2 ,) , 其中 (0) j = sign(ai0j) = 1,ai0j 0 1,ai0j M . 故 T sup x0=1 Tx0 M . 由的任意性可得 T M. 综上所述, T = M = sup iN j=1 |aij|. 这样就证明了范数等式。? 7. 设X是赋范线性空间,Y是Banach空间,X0是X的稠密子空间 算子 T : X0 Y是有界线 性算子, 证明T可保范延拓到X上为有界线性算子. 证证证明明明 由于T是X0上的有界线性算子,则有 |Tx| |T|x|,x X0 对任意的x X,由X0的稠密性,存在xn X0, xn x. 从而 Txn Y是Cauch
7、y 列,由Y的完备 性, Txn在Y 中有极限,定义 b Tx = lim n Txn. 1)bTx的定义与xn的选择无关; 这是因为若zn X0, zn x, 则xn zn 0,从而T(xn zn) 0. 特别当x X0时,还有bTx = Tx. 2) 利用极限的保序性可得|bTx| |T|x|,x X.因此, |bT| |T|. 注意到 |bT| =sup |x|=1,xX |bTx| sup xX0,|x|=1 |Tx| = |T| 所以|bT| = |T|.? 8. 设X,Y是赋范线性空间,T B(X,Y), 则N(T)是X的闭子空间. X/N(T)表示相应的商空 间, |x|是相应的
8、范数. 在商空间上定义 b Tx = Tx,x X. 第一节第六讲赋范线性空间上的有界线性算子51 则算子bT : X/N(T) Y是有界线性算子. 证证证明明明 由于T连续, N(T)是X的闭子空间. 作商空间 X/N(T), 其上的范数为 |x| =inf zN(T) |x z| 在商空间上定义 b Tx = Tx,x X. 于是 |bTx| = |Tx| = |T(x z)| |T|x z|,z N(T). 所以 |bTx| = |Tx| |T| inf zN(T) |x z| = |T|x|, 即有|bT| |T|.? 第二节第七讲有界线性算子代数B(X)与应用57 所以A是有界线性算
9、子, 且A的范数有估计|A|1 2( + ).因此方程(3.2.7 )有解,且解由 P(t) = eAtP0给出.? 3.2.3 练习题七解答 1.在Rn中考虑微分方程 y = A y + By,y(0) = y0, y(0) = y1 其中A,B是n阶方阵. 证明方程存在唯一解,并给出解公式. 证证证明明明 设z(t) = y(t), 定义矩阵 A = 0I BA 则原来的二阶方程写成R2n中的一阶方程为 d dt y(t) z(t) = 0I BA y(t) z(t) = A y(t) z(t) 利用矩阵指数函数给出一阶方程的解 y(t) z(t) = eAt y0 y1 . 第三节第八讲
10、赋范线性空间上的有界线性泛函63 由此得到|f| |bf|. 注意到映射 T : (La,b) La,b,由下式定义 T f = b f(t) = g(t),g(t) = f(a,t) 是线性算子,且|T f|= |bf|= |f|.因此,(La,b)= La,b.? 3.3.4 练习题八解答 1. 设X是n维线性空间, Y是X的真子空间, 取一固定点x0 XY. 证明在X上存在一个线性 泛函f, 使得f(x0) = 1,且对一切x Y有f(x) = 0. 证证证明明明 由于X是n维线性空间, Y是其真子空间, 所以Y是有限维的,设其维数为m(m n 由定义可知 c0, 且= 1, 则有 f(
11、) = n i=1 if(ei) = n i=1 ii= n i=1 |i| |f|= |f|. 对于任意的n 0, n i=1 |i| f. 所以1 f, 即有 1. 其次,对于任意的 = i 1, 定义泛函 f(x) = n=1 xnn,x = xi c0, 则有 |f(x)| i=1 |xn|n| max|xn| n=1 |n| 0. 利用推 论1.2, 必存在 f X使得 f(x0) = h 及 f(x) = 0, x Y. 这与题设相矛盾. 所以 Y = X.? 4. 设 X是赋范线性空间, M X. 证明 x0 spanM, 当且仅当对每一个f X, 若f|M= 0, 则必有 f(
12、x0) = 0. 证证证明明明: ” 对f X, 若f|M= 0, 即x M都有 f(x) = 0. 对 x spanM, 有 x = 1x1+ 2x2+ + nxn,xi M,i K,i = 1,2, ,n 利用f的线性性可得f( x) = 0. 若 x0 spanM , 依闭包性质存在一列yi spanM,i = 1,2, 使得 yi x0. 而f(yi) = 0, f X, 由f的连续性可得 lim i f(yi) = f(x0) = 0. ” 假若 x0 0, 由 Hahn-Banach可知:存在f X使得 f(x0) = h且 f(x) = 0, x spanM, 显然 M span
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