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1、! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !拾 遗补缺 !) *!# “ “ $年 第! !%期 责编 顾!俊!邮箱! “ # “ $ % & % % ! ( )* + , - 理!科 浅 谈 立 体 几 何 中 的 动 点 轨 迹 问 题 “洪其强!汪正文 在知识网络交汇处设计试题是高考命题的一个 指导思想! 而以空间图形为依托的轨迹问题具有其 独特的新颖性“综合性与交汇性!所以倍受命题者的 青睐!此类问题将纯几何“ 解析几何“ 向量等知识有 机地融合为一体!涵盖的知识点多!所以不少同学对 这类问题感觉到难以把握!以下就从五种典型的轨 迹模型入手!对此类问题予以剖析!请同学们注意本 文# 小结
2、$中介绍的四种方法! & !直线型问题 例& !在正方体0 1 2 7 0$1$2$7$中!若点( 在侧面1 1$2$2“含边界#上运动!并且保持0 ( ) 1 7$! 则动点(的轨迹是 “ !# ! !=线段1$2?线段1 2$ 线段1 1$A线段1 2 图$ 解析!如图$!由正方体 的性质可知0 1$)1 7$!0 2) 1 7$!所以要使 0 ()1 7$!须 且只须(过点0的且垂直于 1 7的% 唯一&平面0 1$2! 又(平面1 1$2$2! 所以 (% 平面0 1$26平面1 1$2$2&1$2! 所以点(的轨迹是线段1$2!故选=! 小结!一般地! 已知线线垂直关系! 要求动点的
3、 轨迹!可以从两个方面进行思考“!寻找过定点且与 定直线垂直的平面#“通过三垂线定理将空间中的 垂直转化为平面内的垂直! # !圆型问题 图! 例#!如图! 在四棱锥( 0 1 2 7中!0 7)平面( 0 1!1 2 )平面( 0 1!底 面0 1 2 7为梯 形!0 7 &)!1 2 &“!0 1 ! 且 *0 ( 7 & *1 ( 2!则满足上述条件的四棱锥的顶点 (的轨迹是 “!# =完整的圆? 不完整的圆 双曲线的一部分A抛物线的一部分 解析!由0 7)平面( 0 1!1 2)平面( 0 1! 且 *0 ( 7& *1 ( 2!易知 - .( 0 7:- .( 1 2! 又1 2
4、 &! 0 7!所以( 1 &! ( 0! 在平面( 0 1内! 以0 1的中点为原点!# $ 1 0方向 为“轴正方向! 建立平面直角坐标系!则可知0%*! %& !1%*!%&! 设(%“! $& ! 则有( 1 ( 0 & %“#*& ! #$% ! % “%*& ! #$% ! &!%$ -%& !化简得%“%+& ! #$ ! &$ #%$-%& ! 所以顶点(的轨迹是少两点的圆! 故选? ! 小结!在空间图形中! 若能捕捉到图形的特征! 建立适当的直角坐标系! 将纯几何问题转化为解析 几何问题! 则往往可获得解题思路!其实质是“ 建系 设点$代数%唱戏&!这里抓住图形的特征( 1
5、&! ( 0! 再通过#坐标化$将图形的数量关系转化为点的坐标 关系求解! 其中建立适当的直角坐标系是解题的关 键!请同学们做练习# ! 例 !异面直线9! 6成, % /角!它们的公垂线段 为, 5!且, 5 &!若线段0 1的长为)!且两端点 0!1分别在9!6上移动!求0 1的中点(的轨迹! 图* 解析!如图*! 设*是,5 的中点! 又(是0 1的中点! 所以# $ * ( & $ ! %# $ * 0# #$ * 1& $ ! %# $ * ,# #$ , 0 # #$ * 5# #$ 5 1& $ !% #$ , 0# #$ 5 1&! 又因为, 0 ),5!5 1) , 5! 所
6、以 #$ * ( #$ , 5& $ ! %# $ , 0# #$ 5 1& #$ , 5&%! 所 以* (), 5! 即点(在线段,5的中垂面上! 拾遗补缺! ! 责编 顾!俊!邮箱! “ # “ $ % & % % ! ( )* + , - # “ “ $年第!%期) $! 因为异面直线9!6成, % /角!3 4 是它们的公垂线 段! 所以5 1)平面, 50! 所以5 1), 0! 所以 #$ * ( ! & $ ) “ #$ , 0 ! # #$ 5 1 ! #! #$ , 0# #$ 5 1$& $ ) “ + #$ , 0+ ! # + #$ 5 1+ !$ & $ ) “ +
7、 #$ 0 5+ ! % + #$ , 5+ ! # + #$ 0 1+ ! % + #$ 0 5+ !$ & $ ) “ + #$ 0 1+ !% + #$ ,5+ !$ & $ ) “) ! %! !$ &* ! 综上! 点(的轨迹是在,5的中垂面内的以,5 的中点为圆心!*为半径的圆! 小结!向量兼具! 数“ 和! 形“ 的双重身份# 空间 向量为立体 几何问题的 求解提供了 新的方法和 思 路!当题设条件中含有夹角$垂直$平行或长度时#可 以尝试利用向量求解!其特点是% 借助向量# 数形转 化!这里寻找向量关系是解题的关键! !椭圆型问题 例(!在正方体0 1 2 7 0$1$2 $7
8、$中! 若点( 在侧面1 1$2$2“ 含边界# 上运动! 且点(到直线1 2 的距离是它到直线2$7$的距离的!倍!则动点(的 轨迹为“ !# =抛物线的一部分!? 双曲线的一部分 椭圆的一部分A圆的一部分 图) 解析!如图)!过点(作 ( 3)1 2于点3! 连结( 2$! 则 ( 3 为点( 到1 2 的距离!( 2$ 为点(到2$7$的距离! 依题意!知( 3&! ( 2$! 所以在侧面1 1$2$2内! 动 点(到定点2$的距离与它到定直线1 2的距离之比 为$ ! 由椭圆的第二定义!可知动点(的轨迹是以2$ 为一个焦点!1 2为相应准线的椭圆的一段!故选! 小结!借助于纯几何中的有
9、关概念$性质及定 理将空间几何问题转化为平面几何问题# 再借助于 解析几何中曲线方程的定义和求轨迹方程的常见策 略来求解!其实质是%降维转化#平面求解! ( !双曲线型问题 例! !正方体0 1 2 70$1$2 $7$的棱长为$! 点,是棱0 1上的一个定点!点(是平面0 1 2 7 上的 一个动点!且点(到直线0$7$距离两倍的平方比它 到点,距离的平方大)! 则点(的轨迹为“!# =椭圆的一部分?圆的一部分 双曲线的一部分A抛物线的一部分 图+ 解析!如图+! 过点( 作( 5 )0 7 于点5!过点 5作5 3)0$7$于点3! 则 ( 3就是点(到直线0$7$ 的距离! 在 直 角
10、三 角 形( 5 3 中! 由) ( 3 !%( ,! &)! 可得)“( 5 !#$ $%( ,!& )! 故( ,&! ( 5! 这表示动点(到定点,的距离是它到定直线 0 7的距离的!倍! 所以点(的轨迹是双曲线的一部 分!故选 ! ! !抛物线型问题 例% !正方体0 1 2 7 0$1$2$7$的棱长为$! 点,在棱0 1上! 且0 , & $ * ! 点(是平面0 1 2 7内 的一个动点! 且点(到直线0$7$的距离与它到点, 的距离的平方差为$! 则点(的轨迹为“!# =椭圆的一部分?圆的一部分 双曲线的一部分A抛物线的一部分 解析!如图+!在- .( 5 3中!由( 3 !%
11、( ,! & $!可得( 5 ! #$%( , ! &$!故( , &( 5! 这表示动点(到定点,的距离等于它到定直线 0 7的距离!所以点(的轨迹是抛物线的一部分!故 选A ! 巩 固 练 习 $ !在正方体0 1 2 70$1$2$7$中!点*是侧面 0 0$7$7的中心!,是棱2 7的中点! 若点(在侧面 1 1$2$2“含边界$上运动!并且保持* ( )0 ,!则动 点(的轨迹是“!$ =线段1$2?线段1 2$ 线段1 1$A 线段1 2 ! !在正方体0 1 2 70$1$2$7$中! 若点(在侧 面1 1$2 $2“ 含边界$ 上运动! 且点(到点0的距离为 %! 则动点(的轨
12、迹为 “!$ = 抛物线的一部分? 双曲线的一支 椭圆的一部分A 圆的一部分 * !在正方体0 1 2 70$1$2$7$中! 若点(在侧 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !拾 遗补缺 !* “!# “ “ $年 第! !%期 责编 顾!俊!邮箱! “ # “ $ % & % % ! ( )* + , - 解!原 生 态“问 题 之 心 得 “毛金才 所谓!原生态“问题是指未涉及或很少涉及高中 数学的基本知识# 但要用高中数学的基本技能$ 基本 思想方法来解的问题!由于这类问题容易设计且公 平# 所以高考中常以之为载体来考查同学们的学习 潜能#区分同学们的思维 层次! 对于解!原生态“
13、问 题# 笔者通过实践# 有以下心得! 一!提高数学悟性 直觉理解$ 直观洞察$ 预见猜想$ 灵感顿悟等心 理特征称为! 数学悟性“!数学悟性是数学素养的重 要组成部分!事实表明%解!原生态“问题是提高我们 数学悟性的一条捷径! 例&!甲! 乙! 丙三位旅行者到某地去野营“ 为 了取暖“甲拾回了+捆柴“乙拾回了*捆柴! 丙因有事 未能拾柴“ 因此他需付出“元“ 则甲应分得这“元中 的!元! 解法一! “捆柴每人应拾“ * 捆# 因此甲多拾了+ % “ * & D * 捆#乙多拾了*% “ * & $ * 捆# D * O$ * & D O $# 故甲应分得D元! 解法二!若*人均不拾柴# 则每
14、人都需付出“ 元#这样共! )元#“捆柴每捆折合*元#故甲应分得+ .*%“&D元! 评注!常见的错误答案是+元# 产生错误的原 因是%误认为甲$乙替丙分别拾了+捆柴$*捆柴!其 实# 甲$ 乙分别所拾的+捆柴$*捆柴中# 需要剔除自己 应拾的部分#剩下的才是甲$乙分别替丙所拾的! 二!摒弃思维定势 思维定势人人都有!在解题中# 我们有时可以运 面1 1$2$2& 含边界 上运动# 且点(到直线1 2的距 离与它到直线2$7$的距离相等# 则动点(的轨迹为 & ! =抛物线的一部分!? 双曲线的一支 椭圆的一部分A圆的一部分 图# ) !如图#0#1是直 二面角“/ #的棱/上 的两个定点#定
15、点*在“ 内 且(0 1 *为 正 三 角 形#动点( 在#内且( * 20 1# 则动点(的轨迹为 &! =抛物线的一部分? 双曲线的一支 椭圆的一部分A圆的一部分 + !已知二面角“/ #的平面角为%# ( 0) “# ( 1)#0#1为垂足#且( 02 )#( 12+ !设0#1到该 二面角的棱/的距离分别为“# $# 当%变化时# 点&“# $的轨迹是下列图形中的 & ! =?A 图D # !如图D#在棱长为)的 正 方 体0 1 2 7 0$1$2$7$ 中#* 为0 1 的中点#3#4#G 分别在棱1 2#0 7#2$7$上移 动# 且3 4平分正方形0 1 2 7 的面积# 又2
16、 $G21 3!设* G 在平面0 1 2 7上的射影* ( 与3 4的交点为,#问%在平面0 1 2 7内是否存在两 个定点# 使动点,到这两个定点的距离之和为定值? 若存在#求出这两个定点(若不存在#说明理由! “ 参考答案见第* $页# 实战演练! ! 责编 顾!俊!邮箱! “ # “ $ % & % % ! ( )* + , - # “ “ $年第!%期* $! 二面角0 2 71 的平面角! 所以*0 7 1 &, % /! 即0 7)1 7! 所以0 7)平 面1 2 7! 取2 7的中点,! 连结3 ,! 则3 , 00 7! 所以 3 ,)平面1 2 7! 过,作,5 )7 4
17、于点5! 连结3 5! 则3 5) 7 4! 所以*3 5,是二面角37 4 2的平面角! 在- . (3 5,中!有3 , &$!,5 & %* ! !所 以 . 9 1 *3 5, & %* ! ! & ( *3 5, & %! $ D ! “*#在线段1 2上存在点(! 使0 ()7 3! 证明如下$ 在线段1 2上取点(! 使1 (& $ *1 2! 过(作( )2 7于点)! 则( )平面0 2 7! 而7 )& $ *7 2 & % ! * * ! 所以在- .(0 7 )中! *7 0 ) &* % / ! 又在等边( 0 7 3中!*0 7 3 % /! 所以0 )7 3
18、! 所以0 ()7 3! ! 例谈构建空间直角坐标系的四大策略“ $ !“$#略% “!#!%* ! ! !“$#略% “!#9 : & ( 0 1% * #! ! 数列与算法 # # # 高中数学中的一对黄金搭档“ $ ! $ %! ! # ) !总体特征数估计的方法与常见题型分析“ $ ! #! ! ) “!* ! ) ! + +!) ! D %!+ % ! !新课程$新高考中概率问题的新特点“ $ ! *! ! ! $% ( ,! * !$ ! ) !“$#* ) % “!#! * ! ! 独立重复试验及二项分布的常见题型分析“ $ !“$#! * !“ 提示!从正面或反面考虑都可以!#
19、 “!#共 击 中*次的 概 率 为% ! ! & $ !% ! & $ ! % . % $ ! & $ *% $ & ! * $ #% $ ! & $ !% $ & $ ! $ .% ! ! & $ *% ! & $ * % & $ # % 而共 击中)次的 概率为% ! ! & $ !% ! & $ ! % . % ! ! & $ *% ! & ! * % & $ * #! 故所求的概率为$ # $ * #& D * # ! “ *#至 少击 中 一次 的概 率为$% % + & $ ! + . % % + & ! * + &$% $ ! ) *& ! ) ! ! ) *&% E , ,
20、! 因此能断定! ! !每天出现超过$ +人排队结算的概率为% ! ! + #% !#% E % +& $ ! 一周D天中!没有$天出现超过$ +人排队结算的 概率为% % D & $ ! D %有$天出现超过$ +人排队结算的概 率为% $ D & % $ !& $ ! # % 有!天出现超过$ +人排队结算 的概率为 % ! D & $ !% ! & $ ! + ! 所以有*天或*天以上出现超过$ +人排队结算 的概率为$%“ % D# $ D# ! D % # & $ ! D & , , $ ! “&% ! D + ! 所以该医院需要增加结算窗口! ! 最基本的计数问题及其解法例析“ $
21、 ! , %! ! $ +!* ! ! %!) ! $ +!+ ! $ %!# ! ! $ !浅谈立体几何中的动点轨迹问题“ $ ! ! ! A!* ! =!) ! A!+ ! A # !如右图!在平面0 1 2 7 内!以*为原点!# $ 0 1!# $ 1 2分别 为“! $轴正方向! 建立直角坐 标系! 设1 3 &9! 则%,9,)! 于是可求得 3“!9# !4“%!) %9# !(“!% 9!)#! 设点,为“! $# ! 则,在* (上! 所以) “&“!% 9#$%且,在3 4上!所以“9%!# “%!#&!“$% 9#! 消去9!可得! “ ! #$ ! %! $&% ! 所以点,在椭圆! “ !#“ $% $# ! &$!故点,到 该椭圆的两个焦点的距离之和为定值!即所求的两 定点存在! % 为该椭圆的两个焦点%!$H% !& ! ! ! 解 原生态( 问题之心得“ $ !后掉入水中的人被救活的概率大 ! !+“%!+ % +“#$+!“提示!函数+“# $ +!将“%$#&*!“!#&%*代入!可解得 &$!
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