计算方法实验报告.doc
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1、计算方法实验报告专业班级: 学生姓名: 学生学号:实验名称:实验一:非线性方程求根迭代法实验二:求解线性方程组(1)实验三:求解线性方程组(2)实验四:数值积分实验五:数值微分实验一:一、实验名称非线性方程求根迭代法二、实验目的(1) 熟悉非线性方程求根简单迭代法,牛顿迭代及牛顿下山法(2) 能编程实现简单迭代法,牛顿迭代及牛顿下山法(3) 认识选择迭代格式的重要性(4) 对迭代速度建立感性的认识;分析实验结果体会初值对迭代的影响三、实验内容用牛顿下山法解方程(初值为0.6)输入:初值,误差限,迭代最大次数,下山最大次数输出:近似根各步下山因子 四、基本原理(计算公式)求非线性方程组的解是科学
2、计算常遇到的问题,有很多实际背景各种算法层出不穷,其中迭代是主流算法。只有建立有效的迭代格式,迭代数列才可以收敛于所求的根。因此设计算法之前,对于一般迭代进行收敛性的判断是至关重要的。牛顿法也叫切线法,是迭代算法中典型方法,只要初值选取适当,在单根附近,牛顿法收敛速度很快,初值对于牛顿迭代至关重要。当初值选取不当可以采用牛顿下山算法进行纠正。一般迭代: 牛顿公式:牛顿下山公式: 下山因子下山条件五、算法设计与实现(流程图)牛顿下山算法见流程图:图3.2牛顿下山算法流程图六、个人理解:这个问题的关键之处不是公式的复杂性,而是如何对算法的实现提供一个条理清晰且方法合理的if嵌套,这个算法中运用了许
3、多判断,如何进行其判断结果的返回将是解决这个问题的重中之重。把这个问题弄清楚,再结合本身并不复杂的算法公式,这个问题就可解了。这个程序开始花费了我很长时间搞清楚如何进行判断返回的运算来解决if语句嵌套。七、输入与输出图1图2八、结果讨论和分析可见,该程序的输出分为两个情况,两者的差别是初值选取的不同,所以说,牛顿法的收敛性依赖于初值x0的选取,如果x0偏离x的准确值较远,则牛顿法将可能发散。所以要引入牛顿下山法来避免这一情况。所以,当图2情况下,初值为0.6的时候,会进行牛顿下山法使结果可以进行再次迭代,解决了牛顿法初值选取问题。实验二:一、实验名称求解线性方程组(Gauss - Seidel
4、 迭代法)二、实验目的(1) 熟悉求解线性方程组的有关理论和方法;(2) 能编程实现雅可比及高斯-塞德尔迭代法、列主元高斯消去法、约当消去,追赶法(3) 通过测试,进一步了解各种方法的优缺点(4) 根据不同类型的方程组,选择合适的数值方法三、实验内容用Gauss - Seidel 迭代法求解方程组输入:系数矩阵A,最大迭代次数N,初始向量,误差限e输出:解向量四、基本原理(计算公式)无论是三次样条还是拟合问题最终都归结为线性方程组,求解线性方程组在数值分析中非常重要,在工程计算中也不容忽视。线性方程组大致分迭代法和直接法。只有收敛条件满足时,才可以进行迭代。雅可比及高斯-塞德尔是最基本的两类迭
5、代方法,最大区别是迭代过程中是否引用新值进行剩下的计算。消元是最简单的直接法,并且也十分有效的,列主元高斯消去法对求解一般的线性方程组都适用,同时可以用来求矩阵对应的行列式。约当消去实质是经过初等行变换将系数矩阵化为单位阵,主要用来求矩阵的逆。在使用直接法,要注意从空间、时间两方面对算法进行优化。高斯-塞德尔迭代: 五、算法设计与实现(流程图,个人理解)图4.1G-S迭代算法流程图个人理解:该算法最考验人的地方在于对运算公式的理解,这个公式相对于其他几个实验来说是最难的,其原因在于要用到多重嵌套循环,而且其中对数组的运用对于很多同学来说也是比较困难的。只要将其中依次将数组的值的和对另一个数组赋
6、值的原理搞清楚以后,这个问题将很容易解决,所以,这一点,也是这个程序最考验人的地方。六、输入与输出七、结果讨论和分析对于求解行列式来说,一般的方法很难求出,只能通过之前步骤的结果一步步地将结果求得,在这些迭代中,选取一个好的迭代方式,既避免了可能存在的发散情况,又加快了收敛次数。上两图说明高斯赛德尔迭代对于某些迭代来说还是有缺陷的,并不能解出有效结果。实验三:一、实验名称求解线性方程组(选主元高斯消去)二、实验目的(1)熟悉求解线性方程组的有关理论和方法;(2)能编程实现雅可比及高斯-塞德尔迭代法、列主元高斯消去法、约当消去,追赶法(3)通过测试,进一步了解各种方法的优缺点(4)根据不同类型的
7、方程组,选择合适的数值方法三、实验内容用选主元高斯消去求行列式值四、基本原理(计算公式)提示: A.B. 消元结果直接存储在系数矩阵中C. 当消元过程发生两行对调的情况为偶数次时,行列式值为对角线乘积,否则为对角线乘积的相反数2(5)用选主元约当消去分别对矩阵求其逆矩阵,若不可逆输出奇异标志和提示:五、算法设计与实现(流程图)图4.3列主元的高斯消去流程图六、个人理解:我感觉选主元高斯消去编程稍微有一些困难,难在对公式的理解,还有对数组的处理。可能我从一开始就理解有误,只是把握住了其中心思想,但是对其函数的具体实现还是存在一些偏差,导致输出结果并不是很理想。七、输入与输出八、结果讨论和分析感觉
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