1.6有理数的乘方例题与讲解(2013-2014年沪科版七年级上).pdf
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1、1.6 有理数的乘方 1有理数的乘方的意义及有关名称 (1)一般地, n 个相同的因数a 相乘,记作a n,即 ,这种求 n 个相 同因数的积的运算叫做乘方 (2)幂:乘方的结果叫做幂 在乘方运算an中, a 叫做底数, n 叫做指数, an叫做幂,即 (如图 ) (3)乘方是一种运算,是一种特殊的乘法运算(因数相同的乘法运算),幂是乘方运算的结 果也就是说,an既表示 n 个 a 相乘,又表示n个 a 相乘的结果 (4)a n 看作乘方运算时,读作a 的 n 次方;当an看作 a 的 n 次方的结果时,读作a 的 n 次幂 如 34中,底数是3,指数是4,读作 3 的 4 次方或 3 的 4
2、 次幂又如 (3)4中,底数是 3,指数是4,读作 3 的 4 次方或 3 的 4 次幂 (5)一个数可以看作这个数本身的一次方例如: 5 就是 5 1,51 就是 5,指数 1 通常省略不 写 (6)底数是分数或负数时,要用括号把底数括起来如( 1) 2, 2 1 2 分别表示 (1)( 1),1 2 1 2. 【例 1】 把下列式子写成乘方的形式,并指出底数、指数各是什么? (1)( 3.14)(3.14)(3.14)(3.14)(3.14); (2)2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5; (3) 分析: 5 个 3.14 相乘,写成 (3.14)5,6 个 2 5相乘可写成 2
3、 5 6,2n 个 m 相乘,写成 m 2n. 解: (1)(3.14)(3.14)( 3.14)(3.14)( 3.14)(3.14)5, 其中底数是 3.14, 指数是 5. (2)2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 6,其中底数是2 5,指数是 6. (3)m 2n,其中底数是 m,指数是2n. 2.有理数的乘方的运算法则 (1)乘方运算的符号法则 乘方是特殊的乘法,由乘法法则,我们能得出乘方运算的符号法则: 正数的任何次乘方都取正号,负数的奇次乘方取负号,负数的偶次乘方取正号 (2)乘方的运算步骤 非零有理数的乘方,先根据乘方运算的符号法则判断结果的符号,再将其绝对
4、值乘方; 即:根据幂指数的奇、偶性直接确定幂的符号;计算绝对值的乘方 乘方是特殊的乘法,由乘法法则,我们能把乘方运算化归为我们熟悉的乘法运算 如,(3)4(3)(3)( 3)(3)81(不是 3 和 4相乘 )(2 3 2)(2 3)( 2 3) 4 9. (3)几点注意 an与(a)n的意义完全不同,an表示 an的相反数, (a)n表示 n 个 a 相乘如 14 (11 11) 1,底数是1;(1)4(1)(1)(1)(1)1,底数是 1. 当底数是带分数时,必须先化为假分数,再进行乘方计算如, (12 3) 2(5 3) 2(5 3)( 5 3) 25 9 . 若一个有理数的平方(可推广
5、到偶次方)等于它本身,那么这个有理数是0 或 1. 若一个有理数的立方(可推广到奇次方)等于它本身,那么这个有理数是0 或 1. 0 的正数次方是0. 【例 2】 计算: (1)(3)4;(2)34; (3) 3 4 3;(4)3 3 4 ;(5)(1)101; (6)( 1 1 2 3). 分析: (1)(3)4表示 4 个 3 相乘; (2) 34表示 34的相反数, 即 34 (3333); (3) 3 4 3 表示 3 个 3 4相乘; (4) 3 3 4 表示 33除以 4 的商的相反数; (5)(1)101表示 101 个 1 相乘, (1) 101 1,在进行乘方运算时, 首先根
6、据符号法则确定符号,然后再计算绝对值, 幂的绝对值等于底数绝对值的乘方;(6)底数是带分数,乘方时要先把带分数化成假分数 解: (1)(3)4 (3 333)81; (2)3 4 (3333) 81; (3) 3 4 3 (3 4 3 4 3 4) 27 64; (4) 3 3 4 333 4 27 4 ; (5)(1) 101 1; (6)( 1 1 2) 3(3 2 3)27 8 . 3有理数的加、减、乘、除、乘方混合运算 (1)有理数的运算,加减叫第一级运算,乘除叫第二级运算,乘方、开方(以后再学 )叫第 三级运算 (2)有理数混合运算的顺序 先乘方,再乘除,后加减 同级运算,按照从左到
7、右的顺序进行 如果有括号,先做括号里的运算(括号的运算顺序是:先算小括号里的,再算中括号 里的,最后算大括号里的) (3)在进行有理数混合运算时,除遵循以上原则外,还要根据具体的题目的特点,灵活 使用运算律,使运算准确而快捷 【例 3】 计算: (1)350 22 1 5 1; (2) 23 3412 111 5965 . 分析: (1)先算乘方,再把除法转化为乘法,计算乘除运算,最后算加减;(2)此题运算 顺序是:第一步计算(14 9)和(1 1 6);第二步做乘法;第三步做乘方运算;第四步做除法 解: (1)原式 350 4 1 5 1 350 1 4 1 5 1 350 1 4 1 5
8、1 35 21 1 2. (2)原式 (8 5 5 9 2) 3 52 65 (8 9) 2 1 3 3 64 81(27) 64 3 . 4科学记数法 (1)大数的表示方法 在日常生活中我们会遇到一些特别大的数,这些数在读、写、算时都不方便,于是用如 下的简洁方法来表示这些较大的数: 用更大的数量级来表示; 根据 10 n 的特点,来表示这些较大的数 (2)科学记数法的概念 一般地, 一个绝对值大于10 的数都可记成 a10 n 的形式, 其中 1a10,n 等于原数 的整数位数减1,这种记数方法叫做科学记数法 (3)大于 10 的数用科学记数法表示时,a,n 的确定方法: 10 的指数 n
9、 比原数的整数位数少1,用科学记数法表示大于10 的数,只要先数一下 原数的整数位数即可求出10 的指数 n.a 是整数位数只有一位的数例如:341 257.31 的整数 位数是 6,则 n615,所以用科学记数法表示为3.412 573 1 105. 将原数的小数点从右向左移动,一直移到最高位的后面(即保留一位整数),这时得到 的数就是 a, 小数点移动的位数就是n, 如 1 300 000 000 人 1.3 109人, 38 万千米 380 000 千米 3.8105千米 辨误区用科学记数法时应注意的几点 (1)不要误认为a 就是零前面的数,如误把426 000 记作 42610 3.
10、(2)n 等于原数的整数位数减1.不要误认为n 就是该数后面零的个数 (3)a 是整数位数只有一位的数如果原数是负数,负数前面的“ ”号不能丢 【例 4】 用科学记数法表示下列各数: (1)687 000 000;(2)5 000 000 000;(3)367 000. 分析: (1)把 687 000 000 写成 a10n时, a6.87,它是将原数的小数点向左移动8 位 得到的,即n8,所以687 000 0006.87108;(2)把 5 000 000 000 写成 a10n时,a 5, 它是将原来的小数点向左移动9位得到的,即n9,所以 5 000 000 000 510 9;(3
11、)把 367 000 写成 a 10 n时,a 3.67,它是将原来的绝对值的小数点向左移动 5 位得到的, 即 n5, 所以 367 000 3.67105. 解: (1)687 000 0006.87108; (2)5 000 000 000510 9; (3)367 000 3.6710 5. 5有理数乘方的运算 有理数乘方运算的步骤:确定幂的符号;计算幂的绝对值 有理数的乘方是一种特殊的乘法运算 因数相同的乘法运算,幂是乘方运算的结果 在幂的形式中, 底数是因数, 指数是相同因数的个数因此有理数的乘方运算可以转化 为乘法来运算, 先根据有理数乘方的符号法则确定幂的符号,再根据乘方的意义
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- 1.6 有理数 乘方 例题 讲解 2013 2014 年沪科版七 年级
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