2.6有理数的加法例题与讲解(2013-2014学年华师大七年级上).pdf

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1、2.6 有理数的加法 1有理数的加法法则 (1)有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的正负号，并把绝对值相加如，( 3)(2) (|3|2|)5，(3)(2) (|3|2|) 5.绝对值不等的异号两数相加， 取绝对值较大的加数的正负号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值如，3(2) (|3| |2|)1，(3)(2) (|3|2|) 1.互为相反数的两个数相加得0.如，(5)5 0.一个数同0 相加，仍得这个数如，(5)0 5,50 5. (2)从有理数的加法法则可以得出：如果两个数的和为0，那么这两个数互为相反数即： 如果 a b0，那么 a b.例如： (3)a0，则 a3. (3)进行有

2、 理数加法运算的步骤：观察符号；回忆法则；计算绝对值 (4)注意：在小学学过的加法中，和一定大于等于每一个加数，在数的范围扩大到有理 数之后这个结论就不成立了两个加数的和不一定大于其中的每一个加数当两个加数都是 负数时，和一定小于其中每一个加数 【例 1】 计算： (1)(3)(12)； (2) 21 3 1 2 ； (3)(12.5)( 12.5)； (4) 102 3 0. 分析： (1)小 题属于同号两数相加，先确定符号 取相同的符号“ ”号，再进行绝 对值的运算 把绝对值相加“312” ；(2)小题属于异号两数相加，先确定符号 取绝 对值较大的加数的符号“”号， 再进行绝对值的运算 用

3、较大的绝对值减去较小的绝对 值“ 21 3 1 2” ；(3)(4)小题分别属于 “互为相 反数的两数相加 ”和“一个数与0 相加 ”，根据 法则分别得0 和 102 3. 解： (1)原式 (312) 15； (2)原式21 3 1 2 22 6 3 6 15 61 5 6； (3)原式 0； (4)原式 102 3. 谈重点进行有理数加法运算的关键一个有理数由正负号与绝对值两部分组成，所以 进行有理数加法运算时，必须分别确定和的正负号与和的绝对值 2有理数加法的运算律 (1)有理数的加法仍满足加法交换律和结合律 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变即abba. 加法结合律：三个数

4、相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变即 (ab)ca(bc) (2)这样，多个有理数相加，可以任意交换加数的位置，也可先把其中的几个数相加， 使计算简化 根据加法结合律和交换律，三个或三个以上的有理数相加，可以写成这些数的连加式对 于连加式， 可以任意交换加数的位置，也可以把其中的几个数相加，使计算简化在连加式 中，任意交换加数的位置时，也要注意不能漏掉加数的符号 (3)在有理数的加法运算中一般交换律与结合律同时使用，由于数的范围扩大到了有理 数，在这里， a，b，c 除了表示正数外，还可以表示负数和零，所以应用运算律时，要特别 注意加数的符号 【例 2】 计算： (1)(7.

5、6)(18) (3.4)(12)； (2)1.75 61 2 33 8 1 3 4 25 8 . 分析： (1)小题中的四个加数，两个正数，两个负数，并且两个正数相加得较整的数， 所以运用有理数加法运算律，可以先把两个正数和两个负数分别相加，再把所得的结果相 加 (2)小题中考虑到1.75 与 13 4是互为相反数，其和为 0，33 8与 2 5 8是同分母，其计算较简 单，因此可以先把它们分别相加；再把结果与61 2相加即可 解： (1)原式 ( 7.6) (3.4)(18)(12)11(30) 19； (2)原式1.75 13 4 33 82 5 8 61 2 06 61 2 6 61 2

6、 61 2 6 1 2. 释疑点运用有理数加法运算律的关键 认真观察各数的特点，合理运用有理数加法运算律，把易于计算的数(如可以凑整的数， 和为零的数，分母相同的数，符号相同的数等)，集中先算，使计算简化 3有理数加法的应用 随着社会的发展，根据实际生活的需要，有理数的加法在实际生活中的应用更加广泛， 也成 为近几年的热点问题比较常见的有理数的加法应用有两种：一是用绝对值相加解决 问题；二是用原数相加解决问题 解题时将现实生活中的实际问题转化为数学模型，然后应用数学方法解决 谈重点有理数加法应用的两种类型绝对值相加 只考虑数量； 原数相加 不仅 考虑数量，还考虑意义 【例 3】 某日小明在一条

7、南北方向的公路上跑步，他从A 地出发，每隔10 分钟记录下 自己的跑步情况(向南为正方向，单位：米)： 1 008，1 100， 976,1 010， 827,946.1 小 时后他停下来休息，此时他在A 地的什么方向？距A 地多远？小明共跑了多少米？ 分析： (1)求出记录的各数的和，由于向南为正，所以若和为正，则小明在A 地的南方， 若和为负，则小明在A 地的北方； (2)求总路程，与方向无关，即与数的符号无关，也就是 求各数的绝对值的和 解： (1 008) 1 100(976)1 010(827) 946245(米)， 因此，小明在A 地的南边，距A 地 245 米 |1 008|1

8、100| 976| |1 010|827|946| 5 867(米) 所以小明共跑了5 867 米 警误区路程问题中负数的意义这里的负数不是代表路程为负数，而是代表方向， 路 程是所有数字绝对值的和 4含有字母的有理数加法的运算 我们可以用字母表示有理数加法的运算法则： 同号两数相加： 若 a0，b0，则 ab (|a|b|)； 若 a0，b0，则 ab (|a|b|) 异号两数相加： 若 a0，b0，且 |a|b|，则 ab0； 若 a0，b0，且 |a|b|，则 ab (|a|b|)； 若 a0，b0，且 |a|b|，则 ab (|b|a|) 一个数与0 相加： a0a. 警误区字母并不一

9、定表示正数不少同学看到字母a，b 时总认为是正数，这是错误 的，因为我们已经学习了负数，要在脑子里逐渐形成分类讨论的思维方式 【例 41】 根据加法法则填空： (1)如果 a0，b0，那么 ab_0； (2)如果 a0，b0，那么 ab_0； (3)如果 a0，b0，|a| |b|，那么 ab_0； (4)如果 a0，b0，|a| |b|，那么 ab_0. 解析： (1)(2)和的符号与加数的符号相同；(3)(4) 和的符号由绝对值较大的加数的符号决 定 答案： (1)(2)(3)(4) 【例 42】 已知有理数a，b，c 在数轴上的对应点如图所示，且|a|b|c|，则 (1)|a(b)|_；

10、 (2)|ab|_； (3) |ac|_； (4)|b(c)| _； (5)|bc|_. 解析： (1)(3)(4) 是同号两数相加，和的绝对值等于绝对值的和；(2)(5)是异号两数相加， 和的绝对值等于绝对值的差 答案： (1)|a|b|(2)|a|b|(3)|a|c| (4)|b|c|(5)|b|c| 5.应用运算律求多个有理数的和 为使运算简捷，可根据数字的特征，利用加法的运算律求和，常见的技巧有： (1)凑零凑整：互为相反数的两个数结合先加，和为整数的加数结合先加； (2)同号集中：按加数的正负分成两类分别结合相加，再求和； (3)同分母结合：把分母相同或容易通分的结合起来 当同一个算

11、式中既有分母，又有小数时，一般要统一化为分数或小数(选择计算简便的 那种形式 )后，再计算 (4)带分数拆开：计算含带分数的加法时，可将带分数的整数部分和分数部分拆开，分 别结合相加 利用有理数加法的运算律，通常可以求多个按规律排列的有理数的和，解题的关键是找 出这些加数的特征和内在联系，其中运用凑1 法和凑 1 法是常见的方法 【例 51】 计算： (1)(7)5(3)4； (2)16.96(3.8)5.2(0.2)(0.96)； (3)( 4)2 2 3 1 2 22 3 . 分析： (1)将正、负数分别结合相加；(2)16.96(0.96)和( 3.8) (0.2)都是整数，应 当先相加

12、； (3)将互为相反数的两个数相加 解： (1)原式 (54)(7)(3)9(10) 1. (2)原式 16.96(0.96)(3.8)(0.2)5.216 (4)5.217.2. (3)原式 (4) 1 2 22 3 2 2 3 (4) 1 2 0 41 2. 【例 52】 计算 1 (2)3(4), 2 009 (2 010) 分析： 运用结合律把2 010 个加数分成1 005 组，每相邻的两个数分为一组，容易算出 每一组的和都是1.所以共有1 005 个 1 相加，结果就是1 005. 解： 1 (2)3( 4) ,2 009 (2 010) 1(2)3( 4),2 009 (2 01

13、0) 1 005. 6“ 互为相反数的两个数的和为0”的推广与应用 (1)两个非负数的和为0，则两个数均为0. 理由：两个数的和为0 有两种情形：正负；00，由于两个数均不为负，所以只 可能是第二种情形“00”，即每一个加数均为0. (2)若干个非负数的和为零，则它们分别为零本章主要类型是|a| |b|c|0，则 a 0， b0，c0. 绝对值的非负性是中考中的热点考题，一定要熟练掌握 【例 61】 已知： |a|b2|0，则 ab_. 解析： 因为 |a| 0，|b2|0，且 |a|b2|0，所以a0，b20，所以b2，所 以 ab02 0. 答案： 0 【例 62】 若|a5|b2|c1|0，求 ab c 的值 分析： 由“若干个非负数的和为零，则它们分别为零”，易得： a 50，b20，c 10，从而易求出a 5，b 2，c1，所以 a bc5(2)14. 解： 因为 |a5|0，|b2|0，|c1|0，且 |a5|b2|c1|0， 所以 |a5|0， |b2|0，|c1|0，得 a5，b 2，c1.所以 abc521 4.