2013-2014学年高中数学北师大版必修1示范教案2.3函数的单调性.pdf
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1、3函数的单调性 整体设计 教学分析 在研究函数的性质时,单调性是一个重要内容实际上,在初中学习函数时,已经重点 研究了一些函数的增减性,只是当时的研究较为粗略,未明确给出有关函数增减性的定义, 对于函数增减性的判断也主要根据观察图像得出而本节内容, 正是初中有关内容的深化和 提高给出函数在某个区间上是增函数或减函数的定义,明确指出函数的增减性是相对于某 个区间来说的, 还说明判断函数的增减性既有从图像上进行观察的较为粗略的方法,又有根 据定义进行证明的较为严格的方法,最好根据图像观察得出猜想,用推理证明猜想的正确性, 这样就将以上两种方法统一起来了 由于函数图像是发现函数性质的直观载体,因此,
2、在本节教学时可以充分使用信息技术 创设教学情境, 以利于学生作函数图像,有更多的时间用于思考、探究函数的单调性还要 特别重视让学生经历这些概念的形成过程,以便加深对单调性的理解 三维目标 1函数单调性的研究经历了从直观到抽象,以图识数的过程,在这个过程中,让学生 通过 自主探究活动,体验数学概念的形成过程的真谛,学会运用函数图像理解和研究函数 的性质 2理解并掌握函数的单调性及其几何意义,掌握用定义证明函数单调性的步骤,会求 函数的单调区间,提高应用知识解决问题的能力 3能够用函数的性质解决日常生活中的简单的实际问题,使学生感受到学习函数单调 性的必要性与重要性,增强学生学习函数的紧迫感,激发
3、学生学习的积极性 重点难点 教学重点:函数的单调性 教学难点:增函数、减函数形式化定义的形成 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 德国有一位著名的心理学家名叫艾宾浩斯(Hermann Ebbinghaus,18501909) ,他以自 己为实验对象, 共做了 163 次实验, 每次实验连续要做两次无误的背诵经过一定时间后再 重学一次,达到与第一次学会的同样的标准他经过对自己的测试,得到了一些数据 时间间隔t 0 分钟20 分钟60 分钟 89 小时 1 天2 天6 天一个月 记忆量 y( 百分比 ) 100% 58.2% 44.2% 35.8% 33.7% 27.8% 25.4% 21.1
4、% 观察这些数据,可以看出:记忆量y是时间间隔t的函数当自变量( 时间间隔t)逐渐 增大时,你能看出对应的函数值( 记忆量y) 有什么变化趋势吗?描出这个函数图像的草图 ( 这就是著名的艾宾浩斯曲线) 从左向右看, 图像是上升的还是下降的?你能用数学符号来 刻画吗?通过这个实验,你打算以后如何对待刚学过的知识?( 可以借助信息技术画图像) 学生: 先思考或讨论,回答:记忆量y随时间间隔t的增大而增大;以时间间隔t为横 轴,以记忆量y为纵轴建立平面直角坐标系,描点连线得函数的草图艾宾浩斯遗忘曲线 如图 1 所示 图 1 遗忘曲线是一条衰减曲线,它表明了遗忘的规律随着时间的推移, 记忆保持量在递减
5、, 刚开始遗忘速度最快,我们应利用这一规律,在学习新知识时一定要及时复习巩固,加深理 解和记忆教师提示、点拨,并引出本节课题 推进新课 新知探究 提出问题 如图 2 所示的是一次函数yx,二次函数yx 2 和yx 2 的图像,它们的图像有什 么变化规律?这反映了相应的函数值的哪些变化规律? 图 2 函数图像上任意点P(x,y) 的坐标有什么意义? 如何理解图像是上升的? 对于二次函数yx 2,列出 x,y的对应值表 ( 如下表 ) 完成下表并体会图像在y轴右 侧上升 x ,432101234, f(x)x 2 , 在数学上规定:函数yx 2 在区间 (0, ) 上是增函数谁能给出增函数的定义?
6、 增函数的定义中, 把“当x1x2时, 都有f(x1) f(x2) ”改为“当x1x2时, 都有f(x1) f(x2) ”,这样行吗? 增函数的定义中, “当x1x2时, 都有f(x1) f(x2) ”反映了函数值有什么变化趋势? 增函数的几何意义是什么? 类比增函数的定义,请给出减函数的定义及其几何意义? 函数yfx在区间D上具有单调性,说明了函数yfx在区间D上的图像有 什么变化趋势? 讨论结果:函数yx的图像,从左向右看是上升的;函数yx 2 的图像在y轴左侧 是下降的,在y轴右侧是上升的;函数yx 2 的图像在y轴左侧是上升的,在y轴右侧是 下降的 函数图像上任意点P的坐标 (x,y)
7、 的意义: 横坐标x是自变量的取值,纵坐标y是自 变量为x时对应的函数值的大小 按从左向右的方向看函数的图像,意味着图像上点的横坐标逐渐增大即函数的自变量 逐渐增大 图像是上升的意味着图像上点的纵坐标逐渐变大,也就是对应的函数值随着逐渐 增大也就是说从左向右看图像上升,反映了函数值随着自变量的增大而增大 在区间 (0 , ) 上,任取x1,x2, 且x1x2, 那么就有y1y2, 也就是有f(x1) f(x2) 这 样可以体会用数学符号来刻画图像上升 一般地, 设函数f(x) 的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意 两个自 变量的值x1,x2,当x1x2时,都有f(x1) f(x2
8、) ,那么就说函数f(x) 在区间D上是增函 数 可以增函数的定义:由于当x1x2时,都有f(x1) f(x2) ,即都是相同的不等号 “”,也就是说前面是“”,后面也是“”,步调一致;“当x1x2时,都有f(x1) f(x2) ”都是相同的不等号“”,也就是说前面是“”,后面也是“”, 步调一致 因 此我们可以简称为:步调一致增函数 函数值随着自变量的增大而增大 从左向右看,图像是上升的 一般地, 设函数f(x) 的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意 两个自 变量的值x1,x2, 当x1x2时, 都有f(x1) f(x2), 那么就说函数f(x) 在区间D上是减函数 简 称为:
9、步调不一致减函数减函数的几何意义:从左向右看,图像是下降的函数值变化趋 势:函数值随着自变量的增大而减小总结:如果函数yf(x)在区间D上是增函数 (或减 函数 ) ,那么就说函数yf(x) 在这一区间具有( 严格的 ) 单调性 ,区间 D叫作yf(x) 的单调 递增 ( 或减 ) 区间 函数yf(x)在区间D上,函数值的变化趋势是随自变量的增大而增大( 减小 ) ,几何 意义:从左向右看,图像是上升( 下降 ) 的 应用示例 思路 1 例 1 说出函数f(x) 1 x的单调区间,并指明在该区间上的单调性 活动:学生思考函数单调性的几何意义,由图像得单调区间 解: ( , 0) 和(0 , )
10、 都是函数的单调区间,在这两个区间上函数f(x) 1 x是减少 的 点评: 本题主要考查函数单调性的几何意义,以及图像法判断函数单调性图像法判断 函数的单调性适合于选择题和填空题如果解答题中给出了函数的图像,通常用图像法判断 单调性 函数的图像类似于人的照片,我们能根据人的照片来估计其身高,同样我们根据函 数的图像可以分析出函数值的变化趋势即单调性 图像法求函数单调区间的步骤是:第一步,画函数的图像;第二步,观察图像,利用函 数单调性的几何意义写出单调区间 变式训练 图 3 是定义在区间 5,5 上的函数yf(x) 的图像,根据图像说出函数的单调区间, 以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函
11、数? 图 3 活动:教师提示利用函数单调性的几何意义学生先思考或讨论后再回答,教师点拨、 提示并及时评价学生图像上升则在此区间上是增函数,图像下降则在此区间上是减函数 解:函数yf(x) 的单调区间是 5,2) , 2,1) ,1,3) ,3,5其中函数yf(x) 在区间 5, 2) ,1,3)上是减函数,在区间 2,1) ,3,5上是增函数 . 例 2 画出函数f(x) 3x2 的图像,判断它的单调性,并加以证明 活动: 学生自己画出图像,当学生没有证明思路时,教师再提示,及时纠正学生解答过 程中出现的问题,并标出关键的地方,以便学生总结定义法的步骤 图 4 解: 作出f(x) 3x2 的图
12、像 ( 如图 4) 由图看出函数的图像在R上是上升的,函数是 R上的增函数 下面进行证明: 任取x1、x2R,且x1x2,则x1x20. 所以f(x1) f(x2) (3x12) ( 3x22) 3(x1x2) 0, 即f(x1) f(x2) 由单调函数的定义,可知函数f(x)3x 2是 R上的增函数 点评: 本题主要考查函数的单调性,以及定义法判断函数的单调性 定义法判断或证明函数的单调性的步骤是:第一步,在所给的区间上任取 两个自变量 x1和x2,通常令x1x2;第二步, 比 较f(x1) 和f(x2) 的大小, 通常是用作差比较法比较大小, 此时比较它们大小的步骤是作差、变形、看符号;第
13、三步,再 归纳结论定义法的步骤可以 总结为:一“取( 去 ) ”、二“比”、三“再 ( 赛 ) ”,因此简称为“去比赛 ” 变式训练 1证明函数y 2 x 1在区间 2,6 上是单调递减的 证明:设x1、x2是区间 2,6上任意两个值, 且x1x2,则f(x1) f(x2) 2 x11 2 x21 2x2 1x11 x11x21 2x2x1 x11x21 . 由 2x1x26,所以x2x10,(x11)(x21) 0. 所以 2x2x1 x11x21 0. 于是f(x1) f(x2) 0,即f(x1) f(x2) 所以函数y 2 x1在区间 2,6 上是单调递减的 2画出 函数y 2x 1 的
14、图像,判断它的单调性,并加以证明 解: 作出函数y 2x1 的图像 ( 如图 5) 由图 5 可以看出函数y 2x1 的图像在 R 上是下降的,即函数是R上的减函数 图 5 证明:设x1、x2是 R上任意两个值,且x1x2,则f(x1) f(x2) ( 2x1 1)( 2x2 1) 2(x1x2) , 因为x1x2, 所以x1x20, 2(x1x2) 0. 于是f(x1) f(x2) 0,即f(x1) f(x2) 所以函数y 2x1 在 R上是减函数 . 思路 2 例 1 (1)画出已知函数f(x) x 22x 3 的图像; (2) 证明函数f(x) x 22x3 在区间 ( , 1 上是增函
15、数; (3) 当函数f(x)在区间 ( ,m 上是增函数时,求实数m的取值范围 解: (1) 函数f(x)x 22x3 的图像如图 6 所示 图 6 (2) 设x1、x2( , 1 ,且x1x2,则有 f(x1) f(x2) ( x 2 12x13) ( x 2 22x23) (x 2 2x 2 1) 2(x1x2) (x1x2)(2 x1x2) x1、x2( , 1 ,且x1x2,x1x20,x1x2 2. 2x1x2 0. f(x1) f(x2) 0. f(x1) f(x2) 函数f(x) x 22x3 在区间 ( , 1 上是增函数 (3) 函数f(x) x 22x3 的对称轴是直线 x
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- 2013 2014 学年 高中数学 北师大 必修 示范 教案 2.3 函数 调性
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