2013中考一模_二模_冲刺_弱点专题精讲精解精练:反比例函数之___等腰三角形_多种情况要点.pdf
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1、1 反比例函数之等腰三角形多种情况 一、解答题(共12 小题) 1、 (2010?西宁)如图,直线y=kx1 与 x 轴、 y 轴分别交与B、C两点, tanOCB= (1)求 B点的坐标和k 的值; (2)若点 A(x,y)是第一象限内的直线y=kx1 上的一个动点当点A 运动过程中,试写出AOB的面积 S与 x 的函数关系式; (3)探索: 当点 A运动到什么位置时,AOB的面积是; 在 成立的情况下,x 轴上是否存在一点P,使 POA是等腰三角形若存在,请写出满足条件的所有P点的坐 标;若不存在,请说明理由 2、如图, 已知反比例函数的图象经过点,过点 A 作 ABx 轴于点 B, 且A
2、OB的面积为 (1)求 k 和 m 的值; (2)若一次函数y=ax+1 的图象经过点A,并且与x 轴相交于点C,求 |AO| :|AC| 的值; (3)若 D 为坐标轴上一点,使AOD 是以 AO 为一腰的等腰三角形,请写出所有满足条件的D 点的坐标 3、如图:直线 y=x+6 与坐标轴分别相交于点A、B,点 P 是直线 AB上的一点, Q 是双曲线 上的一点,若O、A、P、Q 为顶点的四边形是菱形,请在图中找出所有符合条件的点Q,并求出点Q 的坐标和写出 相应 k 的值 2 4、如图: RtABO 中, AOB=90 , BAO=30 ,在直线BO 或 AO 上取一点P,使 PAB为等腰三
3、角形,请在图中 画出所有符合条件的PAB (可用 PiAB表示, i=1,2, ) 5、 (2005?杭州)在平面直角坐标系内,已知点A(2,1) ,O 为坐标原点请你在坐标轴上确定点P,使得 AOP 成为等腰三角形在给出的坐标系中把所有这样的点P都找出来,画上实心点,并在旁边标上P1,P2, ,PK的坐 标(有 k 个就标到PK为止,不必写出画法) 6、如图,已知直线y=x 与双曲线 y= 交于 A、B两点,且点A 的横坐标为 (1)求 k 的值; (2)若双曲线y= 上点 C 的纵坐标为3,求 AOC的面积; (3)在坐标轴上有一点M,在直线AB上有一点P,在双曲线y= 上有一点N,若以
4、O、 M、P、N 为顶点的四边形 是有一组对角为60 的菱形,请写出所有满足条件的点P的坐标 3 7、如图,正比例函数y1=k1x 的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点,其中点A 的坐标为( 1, 2) (1)分别求出这两个函数的表达式; (2)请你观察图象,写出y1y2时, x 的取值范围; (3)在 y 轴上是否存在点P,使AOP为等腰三角形?若存在,请你直接写出点P的坐标; 若不存在, 请说明理由 8、如图,反比例函数的图象与一次函数y=kx+b 的图象交于点A(m,2) ,点 B( 2,n) ,一次函数图象 与 y 轴的交点为C (1)求一次函数解析式; (2)求 AOB的面积 (
5、3)在 x 轴上有一点P,使得 OAP为等腰三角形,请直接写出符合要求的所有P点坐标(不必写计算过程) 9、 (2007?呼和浩特)如图,已知反比例函数的图象与一次函数y=k2x+b 的图象交于A,B 两点, A (1,n) , B(, 2) (1)求反比例函数和一次函数的解析式; (2)在 x 轴上是否存在点P,使AOP为等腰三角形?若存在,请你直接写出P点的坐标; 若不存在, 请说明理由 4 10、已知反比例函数的图象经过点A( 2,1) ,一次函数y=kx+b 的图象经过点C(0,3)与点 A,且与反 比例函数的图象相交于另一点B (1)分别求出反比例函数与一次函数的解析式; (2)求点
6、 B的坐标; (3)求三角形OAB的面积; (4)在 x 轴是否存在一点P使OAP为等腰三角形,若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由 11、已知:如图,等边三角形AOB的顶点 A 在反比例函数y=(x0)的图象上,点B在 x 轴上 (1)求点 B的坐标; (2)求直线AB 的函数表示式; (3)在 y 轴上是否存在点P,使OAP 是等腰三角形?若存在,直接把符合条件的点P的坐标都写出来;若不存在, 请说明理由 12、 (2001?吉林)如图,已知反比例函数和一次函数y=2x1,其中一次函数的图象经过(a,b) , (a+1, 5 b+k)两点 (1)求反比例函数的解析式; (2)如
7、图,已知点A 在第一象限,且同时在上述两个函数的图象上,求点A 的坐标; (3)利用( 2)的结果,请问:在x 轴上是否存在点P,使 AOP为等腰三角形?若存在,把符合条件的P 点坐标 都求出来;若不存在,请说明理由 二、填空题(共1 小题) 13、直线 y=x2 与坐标轴交与A、B 两点,点C 在坐标轴上, ABC为等腰三角形,则满足条件的点C 最多有7 个 6 7 8 9 反比例函数之等腰三角形多种情况 答案与评分标准 一、解答题(共12 小题) 1、 (2010?西宁)如图,直线y=kx1 与 x 轴、 y 轴分别交与B、C两点, tanOCB= (1)求 B点的坐标和k 的值; (2)
8、若点 A(x,y)是第一象限内的直线y=kx1 上的一个动点当点A 运动过程中,试写出AOB的面积 S与 x 的函数关系式; (3)探索: 当点 A运动到什么位置时,AOB的面积是; 在 成立的情况下,x 轴上是否存在一点P,使 POA是等腰三角形若存在,请写出满足条件的所有P点的坐 标;若不存在,请说明理由 考点 :一次函数综合题。 专题 :压轴题。 分析: 本题考查一次函数的综合应用,在(1)中需根据OC=1求出 B 点坐标,在利用待定系数法求出k 值; (2)中 利用把 AOB的面积表示出来,在根据x 与 y 之间的关系代入整理; (3)代入求值即可,同时在查找等腰三角形的 满足 P点的
9、坐标时要根据等腰三角形的性质查找 解答: 解: (1) y=kx1 与 y 轴相交于点C, OC=1; tanOCB=, OB= ; B点坐标为:; 把 B 点坐标为:代入 y=kx1 得: k=2; (2) S=, 10 y=kx1, S= (2x1) ; S= x; (3) 当 S= 时,x= , x=1,y=2x1=1; A点坐标为( 1,1)时, AOB的面积为; 存在 满足条件的所有P点坐标为: P1( 1,0) , P2(2, 0) ,P3( ,0) ,P4(,0) (12 分) (注:每题只给出一种解法,如有不同解法请参照评分意见给分) 点评: 本题是函数与三角形相结合的问题,在
10、图形中渗透运动的观点是中考中经常出现的问题 2、如图, 已知反比例函数的图象经过点,过点 A 作 ABx 轴于点 B, 且AOB的面积为 (1)求 k 和 m 的值; (2)若一次函数y=ax+1 的图象经过点A,并且与x 轴相交于点C,求 |AO| :|AC| 的值; (3)若 D 为坐标轴上一点,使AOD 是以 AO 为一腰的等腰三角形,请写出所有满足条件的D 点的坐标 考点 :反比例函数与一次函数的交点问题。 专题 :代数几何综合题。 分析: (1)由三角形面积和反比例函数经过的点可以求出k 和 m 的值; (2)由( 1)的结果,可得出AO 的长度,再由线段与坐标轴的交点求出直线方程,
11、从而得出C 点坐标,得出AC 的值; (3)根据等腰三角形的性质及点在坐标轴上进行分类讨论,得出正确的结果 解答: 解: (1)由已知得,ABx 轴, 11 k0, , m=2故 k 和 m 的值分别为 (2)由( 1)得 m=2, , 由已知得, , 一次函数为,令, , 又 AO= 故 (3)由( 2)知, AO=, 又 D 为坐标轴上一点,使AOD是以 AO 为一腰的等腰三角形, 则由分析可知: 满足 D 点的坐标为:(0,) , (0, 4) , ( 2,0) , (, 0) 点评: 本题综合考查反比例函数与方程组的相关知识点先由点的坐标求函数解析式,然后解解析式组成的方程组 求出交点
12、的坐标,体现了数形结合的思想同时还加入了分类讨论的内容 12 3、如图:直线 y=x+6 与坐标轴分别相交于点A、B,点 P 是直线 AB上的一点, Q 是双曲线 上的一点,若O、A、P、Q 为顶点的四边形是菱形,请在图中找出所有符合条件的点Q,并求出点Q 的坐标和写出 相应 k 的值 考点 :反比例函数综合题。 专题 :分类讨论。 分析: 当双曲线在一、三象限时,P、B 两点重合, Q 点为正方形BOAQ的一个顶点,图形 符合题意; 当双曲线在二、四象限时,作OQAB,且 OQ=OA=6,再作 PQOA 交直线 AB 于 P点,图 形符合题意 解答: 解:由直线y=x+6 可知 A(6,0)
13、 ,B(0,6) ; 当双曲线在一、三象限时,如图1, P、B 两点重合, Q 点为正方形BOAQ的一个顶点,故Q(6,6) ,k=6 6=36 ; 当双曲线在二、四象限时,如图2, 作 OQ1AB,且使 OQ1=OA=6,再作 P1Q1OA 交直线 AB于 P1点, 作 Q1Mx 轴,垂足为 M, OA=OB=6 , BAO= Q1OM=45 Q1M=OM=OQ1?sin45 =3 , Q1( 3, 3) ,k=33=18, 同理可得Q2( 3, 3) ,k=18 13 点评: 理解菱形的四边相等,对边平行,是判断本题的关键,需要根据双曲线所在的象限分类解题,明确正方形属 于菱形的特殊情况
14、4、如图: RtABO 中, AOB=90 , BAO=30 ,在直线BO 或 AO 上取一点P,使 PAB为等腰三角形,请在图中 画出所有符合条件的PAB (可用 PiAB表示, i=1,2, ) 考点 :作图 复杂作图;等腰三角形的判定。 分析: 以 A 为圆心, AB为半径画圆交Y轴于两点,交X轴于一点经连接后得到3 个符合条件的三角形; 以 B 为圆心, AB 为半径画圆交X轴于两点,交Y轴于一点经连接后得3 个符合条件的三角形; 作 AB的垂直平分线,交Y轴于一点,经连接后得一个三角形,共7 个 解答: 解: 点评: 本题中要把所有可能的情况都找出来,不要遗漏掉任何一种情况 5、 (
15、2005?杭州)在平面直角坐标系内,已知点A(2,1) ,O 为坐标原点请你在坐标轴上确定点P,使得 AOP 成为等腰三角形在给出的坐标系中把所有这样的点P都找出来,画上实心点,并在旁边标上P1,P2, ,PK的坐 标(有 k 个就标到PK为止,不必写出画法) 14 考点 :坐标与图形性质;等腰三角形的判定;勾股定理。 专题 :规律型。 分析: 本题应先求出OA 的长,再分别讨论OA=OP 、 AP=OA、AP=OP的各种情况,即可得出答案 解答: 解: OA=,OA=OP时, x 轴上有(,0) , (,0) ;y 轴上有( 0,) , (0,) ; AP=OA时, x 轴上有( 4,0)
16、, y 轴上( 0, 2) ;AP=OP时, x轴上有(,0) y 轴上有( 0, ) p1(4,0) ,p2(0,2) ,p2(,0) ,p4(,0) ,p5(0,) , p6( 0, ) ,p7(,0) ,p8(0,) 点评: AOP为等腰三角形,那么任意一对邻边可为等腰三角形,注意分情况讨论 6、如图,已知直线y=x 与双曲线 y= 交于 A、B两点,且点A 的横坐标为 (1)求 k 的值; (2)若双曲线y= 上点 C 的纵坐标为3,求 AOC的面积; (3)在坐标轴上有一点M,在直线AB上有一点P,在双曲线y= 上有一点N,若以 O、 M、P、N 为顶点的四边形 是有一组对角为60
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