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1、1 第一部分:消费者理论 一、形式化表述分析消费者偏好的性质 (完备性,传递性,连续性,严格单调性,严格凸性等等) *二、效用函数存在性证明。 请参考教材 三、表述显示性偏好弱公理及显示性偏好强公理,并用于分析下面问题。 考察一个对物品 1 和物品 2 有需求的消费者,当物品价格为 1 p(2,4)时,其 需求为 1 x(1,2) 。当价格为 2 p(6,3)时,其需求为 2 x(2,1) ,该消 费者是否满足显示性偏好弱公理。 如果 2 x(1.4 ,1)时,该消费者是否满足显示性偏好弱公理。 解答:81*42*2xp102*41*2xp 2111 消费束 1 偏好于消费束 2 151*32
2、*6xp122*31*6xp 2212 消费束 2 偏好于消费束 1 违反了显示性偏好弱公理。 如果 2 x(1.4 ,1)时: 8. 61*44.1*2xp102*41*2xp 2111 消费束 1 偏好于消费束 2 4.111*34.1*6xp122*31*6xp 2212 消费束 1 在价格 2 的情况下买 不起。符合显示性偏好弱公理。 四、效用函数 121 ),(xxxu,求瓦尔拉斯需求函数 解答:wxpxptsxxxu 2211121 ),(max从效用函数 121 ),(xxxu可知商 品 2 对消费者没效用,因此最大化效用的结果是所有的收入都用于购买商品1, 对商品 2 的需求为
3、 0,0 2 x, 1 1 p w x 或者由wxpxptsxxxu 2211121 ),(max, 可得到 )(0max),(max 1 12 11 22 21 源于消费束的非负限制,此时 p w xx p w p xpw xxu 2 实际上,这是一个边角解, 五、效用函数 1 2121 )(),(xxxxu,对其求 1、瓦尔拉斯需求函数,间接效用函数; 2、希克斯需求函数,支出函数。 答案: 1、 1 2 1 1 1 1 1 1 pp wp x, 1 2 1 1 1 1 2 2 pp wp x, 1 1 2 1 1 21 )( ),( pp w wppv 2、 1 1 2 1 1 1 1
4、1 1 )(pp up h, 1 1 2 1 1 1 1 2 2 )(pp up h, 1 1 2 1 1 )( ),( pp u upe (形式可能不一样) 六、给出瓦尔拉斯需求函数、希克斯需求函数、间接效用函数、支出函数形式化 描述,说明其性质, *并证明其中的凹凸性性质。 请参考教材 *七、证明对偶原理中的1. ),(,),(wpvphwpx 2. ),(,),(upepxuph 请参考教材 *八、 考虑将瓦尔拉斯预算集扩展为一个任意消费集 , wxpXxBX wp : 。 假定 0,wp 。证明:如果 X 是一个凸集,则 wp B , 也是凸集。 请参考教材 九、效用函数 2121 )
5、,(xxxxu,推导斯拉茨基方程,并分析替代效应、收入效应 1 x 2 x 3 和总效应。 请参考教材 十、效用函数 1 2121 )(),(xxxxu,求其货币度量的直接和间接效用函数。 答案: 1 1 2 1 1 1 21 )()(),(ppxxxpw wqqppwqp 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 )()(),( ; 十一、效用函数 2121 ),(xxxxu,当40,3,2 0 2 0 1 wpp,5,4 1 2 1 1 pp, 求其等价变化和补偿变化。 答案:w qq pp wqp 21 21 ),( ;,)1 10 3 (40EV,) 3 10 1(40CV 十二、分析福
6、利分析在税收方面的应用。 请参考教材 十三、 2121 ),(xxxxu ,假定25. 0 1 p,1 2 p,2w,对商品 1 开征消费税 0.25 元。求开征消费税的无谓损失(包括两种情况)。 解答: max 2121 ),(xxxxu s.t. wpxpx 2211 1求瓦尔拉斯需求函数 (1)建立拉格朗日函数 )-( 221121 xpxpwxxL (2)求极值一阶条件 0 2 1 1 2 1 2 2 1 1 1 pxx x L (a) 0 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 pxx x L (b) 0 2211 xpxpw L (c) 由(a) 和(b) 整理得: 4 () ()
7、 2 1 1 2 2 1 2 1 21 2 1 12 =?= p p x x p p xx xx (3)瓦尔拉斯需求函数 分别将 2 1 12= p p xx, 2 1 21= p p xx 代入预算约束 (c) ,有 1 1 2 = p w x 2 2 2 = p w x 2求间接效用函数 将瓦尔拉斯需求函数代入目标函数 2121 =),(xxxxu,有 21 2 21 1 21 2 21 1 21 2 ) 2 () 2 (),( pp w p w p w wppv 3求支出函数 由间接效用函数,求反函数w得: ),(2= 21 21 2 21 1 wppvppw uppupe 21 2 2
8、1 1 2=),( 4求希克斯需求函数 法一:将支出函数 代入瓦尔拉斯需求函数 i i p w x 2 =,得到 upp 21 2 21 11 h upp 21 2 21 12 h 法二:根据谢伯特引理, 对支出函数对价格求导, 也可得到希克斯需求函数。 5求货币度量的效用函数 (1)货币度量的直接效用函数 由uppupe 21 2 21 1 2=),(,有 ),(2=),( 21 21 2 21 1 xxuppxpw 21 21 2 21 1 2=xxpp (2)货币度量的间接效用函数 5 wqqppwqqvppwqp 21 2 21 1 21 2 21 121 21 2 21 1 ),(2
9、),;( 6下标 0 表示征税前,下标1 表示征收消费税后。 25.0= 0 1 p,1= 0 2 p, 25. 0+25.0= 1 1 p,1= 1 2 p 2= 01 www 等价变化分析: 2 ) 1()25.0(2 2 )()(2 ),(u 2121210 2 210 1 0 2 0 1 0 pp w wppv 2 ) 1()5. 0(2 2 )()(2 ),(u 2121211 2 211 1 1 2 1 1 1 pp w wppv 按照征税前的价格计算的,消费者对征收消费税前后所获得效用的变化: ),(),( 1110 upeupeEvwupe-),(= 10 wwpp-),;(=
10、 10 wwpppp 2 1 2 1 2 1 2 1 _ 1 2 _ 1 1 0 2 0 1 5858.02215.0125.0 2 1 2 1 2 1 2 1 _ 商品税与收入税对消费者的福利之差为: ),;(),(),;()( 101110 wppEvupthwppEvT 0.08585858. 02) 1()5 .0(25.05858. 0)()(25.0 2121121 1 2 21 1 1 upp 表明商品税对消费者的福利影响更差。 补偿变化分析: 按照征税后的价格计算的,消费者对征收消费税前后所获得效用的变化: ),(),( 0100 upeupeCv),(-= 01 upew )
11、,;(-= 01 wppw wppppw 2 1 2 1 2 1 2 1 _ 0 2 _ 0 1 1 2 1 1 8284. 02125.015.02 2 1 2 1 2 1 2 1 _ 6 商品税与收入税对消费者的福利之差为: ),;(),(),;(- 010101 wppCvupthwppCvT 8284.02)1 ()5.0(25.08284.0)()(25.0 21210211 2 211 1 upp 0.12138284. 00.7074 表明商品税对消费者的福利影响更差。 第二部分:厂商理论 一、产商的生产函数 31 2 31 111),(xxxxf ,求其要素需求函数和条件要素
12、需求函数。 解答: (1)),(max 112211 xxfytsxwxwpy 2211 31 2 31 1 m axxwxwxpx 0 3 1 1 3 1 2 3 2 1 1 wxpx x 0 3 1 2 3 1 1 3 2 2 2 wxpx x 2 2 1 3 1 27ww p x 1 2 2 3 2 27ww p x (2))min( 2211 xwxwyxxts 3 1 2 3 1 1 , 2 3 2 1 2 2 1 11 ywwx, 2 3 2 1 1 2 1 22 ywwx 二、产商的生产函数 31 2 31 111 ),(xxxxf ,求其成本函数和利润函数 解:将要素需求函数带
13、入利润函数表达式就得到利润函数,将条件要素需求函数 带入成本函数表达式就得到成本函数 7 答案: 21 3 2 3 2 1 2 2 1 121 27 ),(,2),( ww p ypywwywwc 三、产商的生产函数 31 2 31 111 ),(xxxxf , (1)用三种方法求其供给函数(2)假定 生产要素 2 固定为 k,再重新求其供给函数。 解答: (1)方法一:由利润函数求解供给函数 方法二:由生产函数求解供给函数 方法三:由成本函数求解供给函数(注意:MCp是利润最大化条件) 21 2 9ww p y (2)同样的三种办法 2 1 1 ) 3 ( w kp y 四、厂商利润最大化条
14、件的意义及应用边界;厂商成本最小化条件的意义及应用 边界(新加) 参考书 五、分析生产集的性质 参考书 六、阐述欧拉方程和克拉克分配定理的理论意义和现实意义。 参考书 七、证明利润函数是价格的凸函数。 参考书 八、给出要素需求函数、条件要素需求函数、成本函数及利润函数形式化描述, 并解释经济意义。说明其性质,并证明其中的凹凸性性质。 参考书 第三部分不确定性选择 8 一、一决策者的效用函数为 xxu)( ,初始财富160000,5% 损失 70000,5% 损失 120000,问其愿意支付的最大保险金额多大?如果保险公司不承担损失中的 7620,其愿意支付的最大保险金额又多大? 解答:用确定性
15、等值, (1) R160000160000%90120000160000%570000160000%5 11775R (2) RRR160000%907620160000%57620160000%5 160000%90120000160000%570000160000%5 11004R 二、给出简单彩票、复合彩票、货币彩票及彩票空间的独立性公理的形式化描述, 并解释经济意义。 *二、期望效用函数的存在性证明 参考书 三、写出并证明绝对和相对风险系数不变的效用函数。 参考书 四、简要分析保险需求理论的基本框架。 参考书 五、简要分析资产组合理论的基本框架 参考书 六、假定个人具有效用函数xxu)
16、(, (1)计算当财富水平 5w 时的绝对和相对 风险规避系数。(2)计算彩票 )21,21; 4,16( 的确定性等价和风险溢价(3)计算 彩票 )21,21;16,36( 的确定性等价和风险溢价。 将这一结果与(2)比较,并解释。 解: (1) 10 1 2 1 2 1 ) 2 1 ( 2 1 1 2 1 2 3 x x x u u r, 2 1 x u u 9 (2))()()( 2211 xuxuwcu,9)(,4 2 1 16 2 1 )(wcwc 104 2 1 16 2 1 )( 2211 xxwE,1)()()(wcwEwR (3)25)(wc,26)(wE,1)()()(wc
17、wEwR 对同一个人,不同财富水平的彩票有不同确定性等价可能有相同的风险溢价。 第四部分:局部、一般均衡和福利经济学 1 有 一 个 卖 方 垄 断 者 , 其 需 求 和 成 本 函 数 分 别 为qp602200和 qqqc27405.195.0 23 ,请确定其在完全价格歧视和没有p 价格歧视情况下的最 大利润和对应的边际价格与数量。 (题目有错,请对应书的例题) 解答: (1)完全价格歧视 MCp2740183q-1.5q60q2200 2 ,3.77q, (7 .4q舍去) 94793)77.3(c60q)dq-(2200c(q)pdq 77.3 0 q 0 (2)无价格歧视 MCM
18、R2740183q-1.5q120q2200 2 30q, (12q舍去) -135030c3030p)()( 2一个卖方垄断者为两个空间上分离的市场服务,在这两个市场上,可以采取 两种价格,不必担心市场之间的竞争和返销。卖方垄断者的需求和生产成本函数 为: 2 21212211 )()(8031202100qqqqcqpqp,请确定 2121 ,qqpp 的值。 解答:由于两个市场分离,因此两个市场的价格、需求量独立 Max cqpqp 2211 , 0q,0q 21 ,可得到 30,40,30,20 2121 qqpp 3考虑具有下列结构的行业。50个以竞争方式行动的厂商,具有相同的成本函
19、 数 2yc(y) 2 ,一个具有零边际成本的垄断者。产品的需求曲线由下式给出 10 50p1000)p(D 。 (1)什么是垄断者的利润最大化产量?(2)什么是垄断者 的利润最大化价格?( 3)在此价格下,该竞争部门供给多少?(答案修改了) 解答:竞争厂商的供给:yycMCp)(, 竞争厂商的总供给:50p50yyc 由市场均衡:)p(S)p(D, mc yy50p1000 垄断者的产量:100p1000ym 垄断者的利润为:FC100p-1000pFC-pycpy 2 mm 利润最大化一阶条件:0200p-100,5p 500100p1000ym,25050pyc 4 设 某 垄 断 厂
20、商 的 成 本 函 数 为 20q50qc)( , 市 场 的 需 求 函 数 为 4q100qp)( ,求其进行完全价格歧视和没有进行完全价格歧视两种情况 下的利润、产量和价格。 解答见书。 5考虑一种两个人、两种商品、纯交换的竞争经济。消费者的效用函数为 121112111 312qqqqU, 222122212 98qqqqU。消费者 1 的初始拥有量为8 单位 1 Q 和 30 单位 2 Q;消费者 2 每种商品各拥有10 单位。决定这两个消费者的超额需 求函数和这种经济的均衡价格比率。 答案: 2 p p 2 1 , 10-5,EE10,E,5E 22211211 6考虑一个经济,有
21、两家企业,两个消费者。企业1 有消费者 1 完全所有。他 通过生产函数xg2,用石油生产枪支。企业2 有消费者 2 完全所有,他通过 生产函数xb3,用石油生产黄油。每个消费者拥有10 单位石油。消费者1 的 效用函 数是 6.04 .0 ),(bgbgu,消费者2的 效用函 数是 bgbguln5 .0ln5 .010),(。 (1)找到枪支、黄油和石油的市场出清价格。 (2) 每个消费者消费枪支和黄油各多少?(3)每个企业各使用多少石油? 11 解答:做法与第三题类似, 只是还要区分生产和消费两部门,区分要素投入和产 品3:2:6p:p:p gbx ,消费者 1 使用 9 单位石油, 8
22、单位枪支, 18 单位黄油 消费者 2 使用 11 单位石油,10 单位枪支,15 单位黄油为了区分起见对每个消费 者加上脚标, 对消费者 1: Max 60 1 40 1111 bg)b,g(u s.t. x1b1g 10pbpgp 对消费者 2: Max 22222 505010bln.gln.)b ,g(u s.t. x2b2g 10pbpgp 对两个消费者加上生产约束: 20xxx3b(bx2g(g bgb21g21 /)/) 按上述求解可得。 7考虑一种两个人、两种商品、有纸币纯交换的竞争经济。消费者的效用函数 为 5. 0 12111 qqU, 5. 0 22212 qqU。消费者
23、 1 的初始拥有量初始拥有量为30单位 1 Q、 5 单位 2 Q 和 43 单位货币;消费者 2 初始拥有量分别为20、10和 2。每个消费者 都想持有等于起初始商品拥有量价值的五分之一的货币存量。决定 1 Q和 2 Q的均 衡货币价格。表明如果消费者1、2 的货币存量分别增加到129 和 6,则均衡价 格应为原先的三倍。 解答:首先不考虑货币存量,按第三题的做法求出 5 3 p p 2 1 ,接着再从货币市场均 衡求出均衡货币价格,5, 3 21 pp。证明“如果消费者1、2 的货币存量分别增 加到 129 和 6,则均衡价格应为原先的三倍” ,再从货币市场均衡求出均衡货币 价格或从货币均
24、衡方程表达式直接证明即可。 8货币均衡分析的基本框架。 见书。 9、一般均衡的基本分析框架。 10、利用艾奇沃斯框图,说明两种商品如何在两个消费者之间进行配置。 12 后面为福利经济学 1有一种经济,除了有一个生产者,其在产出市场上是个卖方垄断者,在其产 出的唯一投入市场上是个买方垄断者。此外满足帕雷托最优的全部条件。其生产 函数是xq5.0,对其产出的需求函数是qp4100,对其投入的供给函数是 xr22。求其最大化生产者利润的值。求如果满足对应的帕雷托条件,这些 变量应该达到的值。 解答: (1) )4q2(2q4q100q)2x2(x4q)q100(xrpqcpq 2 利润最大化得84p
25、,8x192,4q (2)满足对应的帕雷托条件:MCp 得到:8.80p,9.6x32,.184,4.8q 2. 假 定 生产 相 同 商品 的 两 个 产 商的 成 本 函 数 为 211 2 11 2202qqqqC, 2 2 22 603qqC,根据每个厂商都使其个体的MC与固定市场价格240 相等的 假定, 确定厂商的产出水平。 根据每个厂商使他的社会MC等于市场价格的假定, 确定他们的产出水平。 确定将致使厂商实现帕雷托最优配置,但是他们的利润不 变的税收和补贴。配置上的这种改变所保证的社会受益的规模是什么? 解答: (1)个体的MC与固定市场价格相等 由 1 MCp 2 MCp解得2700,980030,q,70q 2121 (2)社会MC等于市场价格 2121 CC)qq(p,然后由最大化的一阶条件求得, 348,1411258,q,84q 2121 (3)税收和补贴 tMCp 1 sp 2 MC使其产量为社会最优58q,84q 21 , 则168s,0t 总值税:4312*tq*L 1111 ,7392*sq*L 2222 13 社会受益:1960LL*sq*tq 2121
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