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1、2013 年上海市普通高等学校春季招生考试 数学试卷 一. 填空题(本大题满分36 分)本大题共有 12题,要求直接填写结果,每题填 对得 3 分,否则一律得0 分 1函数 2 log (2)yx的定义域是 2方程28 x 的解是 3抛物线 2 8yx的准线方程是 4函数2sinyx的最小正周期是 5已知向量(1)ak,(96)bk,。若/ab,则实数k 6函数4sin3cosyxx的最大值是 7复数23i(i是虚数单位)的模是 8在ABC中,角A B C、 、所对边长分别为a b c、,若5860abB,则b= 9在如图所示的正方体 1111 ABCDA BC D中,异面直线 1 AB与 1
2、 BC所成角的大小为 10从 4 名男同学和6 名女同学中随机选取3 人参加某社团活动,选出的 3 人中男女同学都 有的概率为(结果用数值表示) 。 11若等差数列的前6 项和为 23,前 9 项和为 57,则数列的前n项和 n= S。 1236 的所有正约数之和可按如下方法得到: 因为 22 36=23,所以 36 的所有正约数之和 为 22222222 (1 33 )(22 323 )(22323 )(122 ) 133 )91(参 照上述方法,可求得2000 的所有正约数之和为 二选择题(本大题满分36 分)本大题共有12 题,每题都给出四个结论,其 中有且只有一个结论是正确的。考生必须
3、把真确结论的代码写在题后的括号内, 选对得 3 分,否则一律得 0 分 13展开式为ad-bc的行列式是() D1 C1 B1 A1 D C AB (A) ab dc (B) ac bd (C) ad bc (D) ba dc 14设 -1( ) fx为函数( )f xx的反函数,下列结论正确的是() (A) 1 (2)2f (B) 1(2) 4f (C) 1(4) 2f (D) 1(4) 4f 15直线2310xy的一个方向向量是() (A) (23), (B) (2 3), (C) ( 3 2), (D) (3 2), 16函数 1 2 ( )f xx的大致图像是() 17如果0ab,那么
4、下列不等式成立的是() (A) 11 ab (B) 2 abb (C) 2 aba (D) 11 ab 18若复数 12 zz、满足2 1 zz,则 12 z z、在复数平面上对应的点 12 ZZ、() (A) 关于x轴对称 (B)关于y轴对称 (C) 关于原点对称 (D)关于直线yx对称 19 10 (1)x的二项展开式中的一项是() (A)45x(B) 2 90x(C) 3 120x(D) 4 252x 20既是偶函数又在区间(0),上单调递减的函数是() (A)sinyx( B)cosyx(C)sin 2yx(D)cos 2yx 21若两个球的表面积之比为1: 4,则这两个球的体积之比为
5、() (A)1: 2(B)1: 4(C)1: 8(D)1:16 22设全集UR,下列集合运算结果为R的是() (A) u ZNe( B ) u NNe(C)() uu 痧(D)0 u e 23已知a b cR、, “ 2 40bac”是“函数 2 ( )f xaxbxc的图像恒在x轴上方” 0 x y 0 x y B A 0x y C 0x y D 的() (A)充分非必要条件(B)必要非充分条件 (C)充要条件(D)既非充分又非必要条件 24已知A B、为平面内两定点,过该平面内动点M作直线AB的垂线,垂足为N. 若 2 MNAN NB,其中为常数,则动点 M的轨迹不可能是() (A)圆(B
6、) 椭圆(C) 抛物线(D)双曲线 三、解答题(本大题满分78 分)本大题共有 7 题,解答下列各题必须写出必要 的步骤 25 (本题满分 7 分) 如图,在正三棱锥 111 ABCABC中, 1 6AA,异面直线 1 BC与 1 AA所成角的大小为 6 , 求该三棱柱的体积。 26 (本题满分 7 分) 如图, 某校有一块形如直角三角形ABC的空地, 其中B为直角,AB长40米,BC长50 米,现欲在此空地上建造一间健身房,其占地形状为矩形,且B为矩形的一个顶点,求该 健身房的最大占地面积。 27 (本题满分 8 分) 已 知 数 列 n a的 前n项 和 为 2 n Snn, 数 列 n
7、b满 足2 n a n b, 求 12 lim n n bbb()。 28 (本题满分 13 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 9 分 已知椭圆C的两个焦点分别为 1( 1 0) F,、 2(1 0) F,短轴的两个端点分别为 12 BB、 (1)若 112 F B B为等边三角形,求椭圆C的方程 ; (2)若椭圆C的短轴长为2,过点 2 F的直线l与椭圆C相交于P Q、两点,且 11 F PFQ , 求直线l的方程。 A BC B1 A1 C1 AC B 29 (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分
8、已知抛物线 2 4C yx:的焦点为F。 (1)点A P、满足2APFA。当点A在抛物线C上运动时,求动点P的轨迹方程; (2)在x轴上是否存在点Q,使得点Q关于直线2yx的对称点在抛物线C上?如果存 在,求所有满足条件的点Q的坐标;如果不存在,请说明理由。 30 (本题满分 13 分)本题共有 2 个小题,第一小题满分4 分,第二小题满分9 分 在平面直角坐标系xOy中,点A在y轴正半轴上, 点 n P在x轴上,其横坐标为 n x, 且 n x 是首项为1、公比为2 的等比数列,记 1nnn P AP,nN。 (1)若 3 1 arctan 3 ,求点A的坐标; (2)若点A的坐标为(0 8
9、 2),求 n的最大值及相应 n的值。 31 (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分,第 3 小题满分 6 分 已知真命题: “函数( )yf x的图像关于点()P a b、成中心对称图形”的充要条件为“函数 ()yf xab是奇函数”。 (1)将函数 32 ( )3g xxx的图像向左平移1 个单位,再向上平移2 个单位,求此时图像 对应的函数解析式,并利用题设中的真命题求函数( )g x图像对称中心的坐标; (2)求函数 2 2 ( )log 4 x h x x 图像对称中心的坐标; (3)已知命题:“函数( )yf x的图像关于某直
10、线成轴对称图像”的充要条件为“存在实 数 a 和 b,使得函数()yf xab是偶函数”。判断该命题的真假。如果是真命题,请 给予证明; 如果是假命题,请说明理由,并类比题设的真命题对它进行修改,使之成为真命 题(不必证明) 。 P2 0 x y A P1P3 P4 2013 年上海市普通高等学校春季招生考试 数 学 试 卷 参考答案 一 (第 1 至 12 题)每一题正确的给3 分,否则一律得0 分 1( 2,) 23 32x 42 5 3 4 6 5 713 8 7 9 3 10 4 5 11 2 57 66 nn 12 4836 二 (第 13 至 24 题)每一题正确的给3 分,否则一
11、律得0 分 13B 14 B 15 D 16 A 17 D 18 A 19 C 20B 21 C 22 A 23 D 24 C 三 (第 25 至 31 题) 25 解 因为 1 CC 1 AA. 所以 1 BCC为异面直线 1 BC与 1 AA. 所成的角,即 1 BCC= 6 。 在 Rt 1 BC C中, 11 3 tan62 3 3 BCCCBC C, 从而 2 3 3 3 4 ABC SBC, 因此该三棱柱的体积为 1 3 3 618 3 ABC VSAA. 26 解 如图,设矩形为EBFP,FP长为x米,其中040x, 健身房占地面积为y平方米。因为CFPCBA, 以 FPCF B
12、ACB , 50 4050 xBF ,求得 5 50 4 BFx, 从而 2 55 (50)50 44 yBF FPx xxx 2 5 (20)500500 4 x, 当且仅当20x时,等号成立。 答:该健身房的最大占地面积为500 平方米。 27 解 当2n时, 22 1 (1)(1)22 nnn assnnnnn。 且 11 0as,所以 n a22n。 A BC F P E 因为 221 1 2() 4 nn n b,所以数列 n b是首项为1、公比为 1 4 的无穷等比数列。 故 12 lim n n bbb() 14 1 3 1 4 。 28 解 (1)设椭圆C的方程为 22 22
13、1(0) xy ab ab 。 根据题意知 22 2 1 ab ab , 解得 24 3 a, 21 3 b 故椭圆C的方程为 22 1 41 33 xy 。 (2)容易求得椭圆C的方程为 2 2 1 2 x y。 当直线l的斜率不存在时,其方程为1x,不符合题意; 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为(1)yk x。 由 2 2 (1) 1 2 yk x x y 得 2222 (21)42(1)0kxk xk。 设 1122 ()()P x yQ xy, ,则 22 121211112222 42(1) (1)(1) 2121 kk xxx xF PxyFQxy kk , , 因为 11
14、F PFQ ,所以 11 0F P FQ , 即 2 1212121212 (1)(1)()1(1)(1)xxy yx xxxkxx 222 1212 (1)(1)()1kx xkxxk 2 2 71 0 21 k k , 解得 2 1 7 k,即 7 7 k。 故直线l的方程为710xy或710xy。 29 (1) 设动点P的坐标为()x y,点A的坐标为() AA xy,, 则() AA APxxyy, , 因为F的坐标为(1 0),所以(1) AA FAxy, , 由2APFA得()2(1) AAAA xxyyxy,。 即 2(1) 2 AA AA xxx yyy 解得 2 A A xx
15、 yy 代入 2 4yx,得到动点P的轨迹 方程为 2 84yx。 (2)设点Q的坐标为( 0)t,. 点Q关于直线2yx的对称点为()Q x y, 则 1 2 2 y xt y xt 解得 3 5 4 5 xt yt 若Q在C上,将Q的坐标代入 2 4yx,得 2 4150tt,即0t或 15 4 t。 所以存在满足题意的点Q,其坐标为(0 0),和 15 ( 0) 4 ,。 30 解 (1)设(0)At,根据题意, 1 2 n n x。由 3 1 arctan 3 ,知 3 1 tan 3 , 而 34 43 343 22 34 43 ()4 tantan() 32 1 xx t xxt
16、tt OAPOAP xx txxt tt , 所以 2 41 323 t t ,解得4t或8t。 故点A的坐标为(0 4),或(0 8),。 (2)由题意,点 n P的坐标为 1 (2 0) n , 1 2 tan 8 2 n n OAP。 1 1 1 121 22 21 8 28 2 tantan() 222 1622 18 2 8 2 8 28 22 8 2 nn n nnn nnnn n OAPOAP 。 因为 16 22 2 2 28 2 n n ,所以 12 tan 42 2 n , 当且仅当 16 22 28 2 n n ,即4n时等号成立。 易知0tan 2 n yx,在(0)
17、2 ,上为增函数, 因此,当4n时, n 最大,其最大值为 2 arctan 4 。 31 (1)平移后图像对应的函数解析式为 32 (1)3(1)2yxx, 整理得 3 3yxx, 由于函数 3 3yxx是奇函数, 由题设真命题知,函数( )g x图像对称中心的坐标是(12),。 (2)设 2 2 ( )log 4 x h x x 的对称中心为()P a b,由题设知函数()h xab是奇函数。 设( )(),f xh xab则 2 2() ( )log 4() xa f xb xa ,即 2 22 ( )log 4 xa f xb ax 。 由不等式 22 0 4 xa ax 的解集关于原点对称,得2a。 此时 2 2(2) ( )log( 2 2) 2 x f xb x x ,。 任取( 2,2)x,由()( )0fxf x, 得1b, 所以函数 2 2 ( )log 4 x h x x 图像对称中心的坐标是(2 1),。 (3)此 命题是假命题。 举反例说明: 函数( )f xx的图像关于直线yx成轴对称图像, 但是对任意实数a和b, 函数()yf xab,即yxab总不是偶函数。 修改后的真命题: “函数( )yfx的图像关于直线xa成轴对称图像” 的充要条件是 “函数()yf xa是 偶函数”。
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