2013年全国高中数学联赛广东省赛区预赛试题及答案.pdf
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1、一、填空题(每小题8 分,满分64 分) 1、已知sincos ,cossin2,则 22 sincos_. 解: 0 或 3 . 2 已知两式平方相加,得 2 sin0或 2 1 cos. 4 222 sincos2sin0 或 3 . 2 2、不等式 632 (2)(2)xxxx的解集为 _. 解:(, 1)(2,). 原不等式等价于 623 (2)(2).xxxx 设 3 ( )f xxx,则( )f x在 R 上单调增 . 所以,原不等式等价于 22 ()(2)212.f xf xxxxx或 3、已知(表示不超 过 x 的最大整数 ),设方程 1 2012 2013 xx的两 个不同实
2、数解为 12 ,x x,则 2 12 2013()xx_. 解:2011. 由于 1 0,1),(0,1) 2013 x,所以 11 2012( 1,1). 20122012 xx 当 1 0 2012 x时,原方程即 2 1 1 2012120132012 2013 xxx; 当 1 0 2012 x时,原方程即 2 2 1 201220131 2013 xxx. 4、在平面直角坐标系中,设点 * ( ,)( ,)A x yx yN,一只虫子从原点O 出发,沿x轴 正方向或y轴正方向爬行(该虫子只能在整点处改变爬行方向),到达终点A 的不同路线 数目记为( , )f x y. 则( ,2)f
3、 n_. 解: 1 (1)(2). 2 nn 111 (1,2)323,(2,2)63 4,(3,2)104 5. 222 fff 猜测 1 ( ,2)(1)(2) 2 f nnn,可归纳证明. 5、将一只小球放入一个长方体容器内,且与共点的三个面相接触若小球上一点P 到 这三个面的距离分别为4、5、 5,则这只小球的半径为_. 解: 3 或 11. 分别以三个面两两的交线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系. 设点 P 坐标为(4,5,5),小球圆心O 坐标为( , , ).r r r 所以, 222 (4)(5)(5)311.rrrrr或 6、将 2013 2012 表示成两个 *1 (
4、) n nN n 型分数的乘积的不同方法数是_.(其中 ab与ba是同一种表示方法) 解: 24. 设,p q是正整数,满足 20131120122013 2012. 20122012 pq p pqq 2 2012 201323 11 61 503的正因数的个数为 4 (12)(1 1)48. 注意到( , )()p qpq与( , )q p是相同的表示方法,故所求的方法数为24. 7、设 E 为正方形 ABCD 边 AB 的中点,分别在边AD、BC 上任取两点P、Q,则 PEQ 为锐角的概率为_. 解: 3ln 4 . 4 设正方形边长为1,,APx BQy. 则 1 () ()0. 4
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