2013年北京市高考真题数学试卷及答案(理科)word版.pdf
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1、2013 北京高考理科数学试题 第一部分(选择题共 40 分) 一、选择题共8 小题 . 每小题 5 分,共 40 分. 在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的一项. 1. 已知集合 A=1,0,1 ,B=x| 1 x 1 ,则 AB= A.0 B.1,0 C.0, 1 D.1,0,1 2. 在复平面内,复数(2 i) 2 对应的点位于 ( ) A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D. 第四象限 3. “ =”是“曲线y=sin(2x ) 过坐标原点的” A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4. 执行如图所示的程序框图
2、,输出的S值为 A.1 B. 2 3 C. 13 21 D. 610 987 5. 函数 f(x) 的图象向右平移1 个单位长度,所得图象与y=e x 关于 y 轴对称,则f(x)= A. 1 e x B. 1 e x C. 1 e x D. 1 e x 6. 若双曲线 22 22 1 xy ab 的离心率为3,则其渐近线方程为 A.y=2x B.y=2x C. 1 2 yx D. 2 2 yx 7. 直线 l 过抛物线C: x 2=4y 的焦点且与 y 轴垂直,则l 与 C所围成的图形的面积等于 A. 4 3 B.2 C. 8 3 D. 16 2 3 开始 是 否 0,1iS 2 1 21
3、S S S 1ii 2i 输出S 结束 8. 设关于x,y的不等式组 210, 0, 0 xy xm ym 表示的平面区域内存在点P(x0,y0) ,满足x0 2y0=2,求得 m的取值范围是 A. 4 , 3 B. 1 , 3 C. 2 , 3 D. 5 , 3 第 二部分(非选择题共 110 分) 二、填空题共6题,每小题5 分,共 30 分. 9. 在极坐标系中,点(2 , 6 ) 到直线 sin =2 的距离等于 . 10. 若等比数列 an 满足 a2a4=20, a3a5=40, 则公比 q= ; 前 n 项和 Sn= . 11. 如图,AB为圆 O的直径,PA为圆 O的切线,PB
4、与圆 O相交于 D.若 PA=3 ,916PDDB:, 则 PD= ;AB= . 12. 将序号分别为1,2, 3,4,5 的 5 张参观券全部分给4 人,每人至少1 张,如果分给同 一人的 2 张参观券连号,那么不同的分法种数是 . 13. 向量a, b, c 在正方形网格中的位置如图所示. 若c=a b ( , R) ,则 = . 14. 如图,在棱长为2 的正方体ABCD A1B1C1D1中, E为 BC的中点,点P在线段 D1E上,点 P 到直线 CC1的距离的最小值为 . b c a 三、解答题共6小题,共80 分. 解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. ( 本小题共13
5、 分) 在ABC中, a=3,b=26,B=2 A. (I) 求 cosA 的值; (II)求 c 的值 . 16.( 本小题共13 分) 下图是某市3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图, 空气质量指数小于 100 表示空气质量 优良,空气质量指数大于200 表示空气重度污染,某人随机选择3 月 1 日至 3 月 13 日中的 某一天到达该市,并停留2 天. ()求此人到达当日空气重度污染的概率; ()设X是此人停留期间空气质量优良的天数,求X的分布列与数学期望; ()由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明) 17. ( 本小题共14 分) 如图,在三棱柱
6、ABC A1B1C1中, AA1C1C是边长为4 的正方形,平面ABC 平面 AA1C1C,AB=3 , BC=5. ()求证: AA1平面 ABC ; ()求二面角A1BC1B1的余弦值; ()证明:在线段BC1存在点 D,使得 AD A1B,并求 1 BD BC 的值 . 1 D 1 B P D 1 C C E B A 1 A 18. ( 本小题共13 分) 设 L 为曲线 C: ln x y x 在点 (1 ,0) 处的切线 . (I) 求 L 的方程; (II)证明:除切点(1,0) 之外,曲线C在直线 L 的下方 . 19. ( 本小题共14 分) 已知 A、 B 、C是椭圆 W :
7、 2 2 1 4 x y上的三个点,O是坐标原点 . (I) 当点 B是 W的右顶点,且四边形OABC 为菱形时,求此菱形的面积; (II)当点 B不是 W的顶点时,判断四边形OABC 是否可能为菱形,并说明理由. 20. ( 本小题共13 分) 已知 an 是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n 项的最大值记为An,第 n 项之后各项 1n a , 2n a , , 的最小值记为Bn,dn=AnBn 。 (I) 若an为 2, 1, 4, 3, 2, 1, 4, 3, , , 是一个周期为4 的数列 ( 即对任意n N *, 4nn aa) , 写出 d1,d2,d3,d4的值; (II)设
8、 d 为非负整数,证明:dn=d(n=1,2,3,)的充分必要条件为an 为公差为d 的等差 数列; (III)证明:若a1=2,dn=1(n=1,2,3 ,,) ,则an 的项只能是1 或者 2,且有无穷多项为1. 参考答案 一、 选择题: 1.B 2.D 3.A 4.C 5.D 6.B 7.C 8.C 二、填空题: 9.1 10.2, 1 22 n 11. 9 5 ;4 12.96 13.4 14. 2 5 5 三. 解答题: 15. 解: (I ) 因为 a=3, b=26, B=2 A.所以在 ABC中,由正弦定理得 32 6 sinsin 2AA . 所以 2sincos2 6 si
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