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1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷) 数学(理科) 一选择题 1已知i是虚数单位,则)2)(1(ii Ai3 B. i 31 C. i 33 D.i1 2设集合043|,2| 2 xxxTxxS,则TSCR)( A ( 2,1 B. 4,( C. 1 ,( D.), 1 3已知 yx, 为正实数,则 A. yxyxlglglglg 222 B. yxyxlglg)lg( 222 C. yxyxlglglglg 222 D. yxxylglg)lg( 222 4已知函数),0,0)(cos()(RAxAxf,则“)(xf是奇函数”是 2 的 A充分不必要条件 B. 必要不充分条件
2、C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是 5 9 ,则 A.4a B.5a C. 6a D.7a 6已知 2 10 cos2sin,R,则2tan A. 3 4 B. 4 3 C. 4 3 D. 3 4 开始 S=1,k=1 ka? S=S+ 1 k(k+1) k=k+1 输出 S 结束 是 否 (第 5 题图) 7 设 0 ,PABC是 边 AB 上 一 定 点 , 满 足ABBP 4 1 0 , 且 对 于 边 AB 上 任 一 点P, 恒 有 CPBPPCPB00。则 A. 0 90ABC B. 0 90BAC C. ACAB D.BC
3、AC 8已知e为自然对数的底数,设函数)2, 1() 1)(1()(kxexf kx ,则 A当1k时,)(xf在1x处取得极小值 B当1k时,)(xf在1x处取得极大值 C当2k时,)(xf在1x处取得极小值 D当2k时,)(xf在1x处取得极大值 9如图, 21, F F是椭圆1 4 : 2 2 1 y x C与双曲线 2 C的公共焦点,BA,分别是 1 C, 2 C在第二、四象限的 公共点。若四边形 21BF AF为矩形,则 2 C的离心率是 A. 2 B. 3 C. 2 3 D. 2 6 10在空间中,过点 A作平面 的垂线,垂足为 B,记)(AfB。设,是两个不同的平面,对空间 任意
4、一点P,)(),( 21 PffQPffQ,恒有 21 PQPQ,则 A平面与平面垂直 B. 平面与平面所成的(锐)二面角为 0 45 C. 平面与平面平行 D.平面与平面所成 的(锐)二面角为 0 60 二、填空题 11设二项式 5 3 ) 1 ( x x的展开式中常数项为A,则A_。 12若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于_ 2 cm。 Ox y A B F1 F2 (第 9 题图) 13设ykxz,其中实数 yx, 满足 042 042 02 yx yx yx ,若z的最大值为12,则实数k_。 14将FEDCBA,六个字母排成一排,且BA,均在C的同侧,则不
5、同的排法共有_种(用数 字作答) 15设F为抛物线xyC4: 2 的焦点,过点 )0, 1(P 的直线 l交抛物线C于两点BA, , 点Q为线 段AB的 中点,若2|FQ,则直线的斜率等于_。 16 ABC中, 0 90C,M是BC的中点,若 3 1 sinBAM,则BACsin_。 17设 21,e e为单位向量,非零向量Ryxeyexb, 21 ,若 21,e e的夹角为 6 ,则 | | b x 的最大值等于 _。 三、解 答题 18在公差为d的等差数列 n a中,已知10 1 a,且 321 5, 22,aaa成等比数列。 (1)求 n ad,;(2)若0d,求. | 321n aaa
6、a 19设袋子中装有a个红球,b个黄球,c个蓝球,且规定:取出一个红球得1 分,取出一个黄球2 分, 取出蓝球得3 分。 (1)当1,2,3cba时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2 个球,记随机变 量为取出此2 球所得分数之和,. 求分布列; ( 2)从该袋子中任取(且每球取到的机会均等)1 个球,记随机变量为取出此球所得分数. 若 9 5 , 3 5 DE,求.:cba 20如图,在四面体BCDA中,AD平面BCD,22,2,BDADCDBC.M是AD的中点, P 是BM的中点,点Q在线段AC上,且QCAQ3. (1)证明:/PQ平面BCD; (2)若二面角DBMC的大小为
7、 0 60,求BDC的大小 . 4 3 2 3 3 正视图 侧视图 俯视图 (第 12 题图) 21如图,点)1,0(P是椭圆)0(1: 2 2 2 2 1 ba b y a x C的一个顶点, 1 C的长轴是圆4: 22 2 yxC的 直径 . 21,l l是过点P且互相垂直的两条直线,其中 1 l交圆 2 C于两点, 2 l交椭圆 1 C于另一点D (1)求椭圆 1 C的方程;(2)求ABD面积取最大值时直线 1 l的方程 . 22已知Ra,函数 . 3333)( 23 aaxxxxf (1)求曲线)(xfy在点)1 (,1 (f处的切线方程; (2)当 2,0x时,求|)(|xf的最大值
8、。 A B C D P Q M (第 20 题图) x O y B l1 l2 P D A (第 21 题图) 参考答案 一、选择题 1B 2C 3 D 4 B 5 A 6 C 7 D 8 C 9 D 10 A 二、填空题 11-10 1224 13 2 14 480 15 1 16 6 3 172 三、解答题 18解:()由已知得到: 222 21 311 (22)54(1)50(2 )(11)25(5)aa aadaddd 22 41 1212212525340 4611 nn dd ddddd anan 或 ; ()由( 1)知,当0d时,11 n an, 当111n时, 123123
9、(1011)(21) 0 | 22 nnn nnnn aaaaaaaaa 当12n时, 123123111213 2 12311123 0|() 11(2111)(21)21220 2()()2 222 nnn n aaaaaaaaaaaa nnnn aaaaaaaa 所以,综上所述: 123 2 (21) ,(111) 2 | 21220 ,(12) 2 n nn n aaaa nn n ; 19解: ()由已知得到:当两次摸到的球分别是红红时2,此时 331 (2) 664 P ;当两次摸 到的球分别是黄黄,红蓝,蓝红时4,此时 223 11 35 (4) 66666618 P ;当两次摸
10、到的球 分别是红黄, 黄红时3, 此时 32231 (3) 66663 P ; 当两次摸到的球分别是黄蓝,蓝黄时5, 此时 12211 (5) 66669 P ;当两次摸到的球分别是蓝蓝时6,此时 1 11 (6) 6636 P ; 所以的分布列是: 2 3 4 5 6 P 1 4 1 3 5 18 1 9 1 36 ()由已知得到:有三种取值即1,2,3 ,所以的分布列是: 1 2 3 P a abc b abc c abc 所以: 222 523 3 555253 (1)(2)(3) 9333 abc E abcabcabc abc D abcabcabc ,所以 2,3:bcacabc。
11、 20解:证明()方法一:如图6,取MD的中点F,且M是AD中点,所以3AFFD。因为P是 BM中点,所以/ /PFBD;又因为()3AQQC且3AFFD,所以/ /QFBD,所以面/ /PQF 面BDC,且PQ面BDC,所以/ /PQ面BDC; 方法二:如图7 所示,取BD中点O,且P是BM中点,所以 1 / / 2 POMD;取CD的三等分点H,使 3DHCH, 且3A QQ C, 所以 11 / / / 42 QHADMD, 所以/ / /POQHPQOH, 且O HB C D, 所以/ /PQ面BDC; () 如图 8所示, 由已知得到面ADB面BDC,过C作CGBD于G,所以CGBM
12、D,过G作 GHBM于H,连接CH,所以CHG就是CBMD的二面角;由已知得到813BM, 设BDC,所以 cos,sin22 cos ,22 cossin,2 2 sin, CDCGCB CDCGBC BDCDBD , 在RTBCG中 , 2 s i n22 s i n BG BCGBG BC , 所 以 在R TB H G中, 2 2 12 2sin 33 2 2sin HG HG,所以在RT CHG中 2 2 2 cossin tantan603 2 2sin 3 CG CHG HG tan3(0,90 )6060BDC; 21解:()由已知得到1b,且242aa,所以椭圆的方程是 2
13、2 1 4 x y; ( ) 因 为 直 线 12 ll, 且 都 过 点(0, 1)P, 所 以 设 直 线 1 :110lykxkxy, 直 线 2 1 :10lyxxkyk k , 所 以 圆 心(0,0)到 直 线 1: 110lykxkxy的 距 离 为 2 1 1 d k , 所以直线 1 l被圆 22 4xy所截的弦 2 2 2 2 34 2 4 1 k ABd k ; 由 222 2 2 0 480 1 4 xkyk k xxkx x y ,所 以 22 22222 816481 |(1) 4(4)4 DP kkk xxDP kkkk ,所以 2222 222 2 112 34
14、818 4348 43 | 22444313 1 ABD kkkk SABDP kkk k 2 2 2 22 32323216 13 13 13 43132 13 43 43 4343 k k k kk , 当 22 2 13510 43 22 43 kkk k 时等号成立,此时直线 1 10 :1 2 lyx 22解: ()由已知得: 2 ( )363(1)33fxxxafa,且(1)133331faa,所 以所求切线方程为:1(33)(1)yax,即为:3(1)430axya; ( ) 由 已 知 得 到 : 2 ( )3633(2)fxxxax xa, 其 中44a, 当0, 2x时 ,
15、 (2)0x x, (1)当0a时,( )0fx,所以( )f x在0, 2x上递减,所以 max |( ) |max(0),(2)f xff,因为 max (0)3(1),(2)31(2)0(0)|( ) |(0)33fafafff xfa; ( 2 ) 当440a, 即1a时 ,( )0fx恒 成 立 , 所 以( )fx在0, 2x上 递 增 , 所 以 max |( ) |max(0),(2)f xff,因为 max (0)3(1),(2)31(0)0(2)|( ) |(2)31fafafff xfa; (3)当440a,即01a时, 2 12 ( )363011,11fxxxaxa
16、xa,且 12 02xx,即 x0 1 (0,)x 1 x 12 (,)x x 2 x 2 (,2)x2 ( )fx + 0 - 0 + ( )f x 33a递增极大值递减极小值递增31a 所以 12 ()12(1) 1,()12(1) 1f xaa f xaa,且 3 1212 ()()20,()()14(1)0,f xf xf xf xa所以 12 ()|() |f xf x, 所以 max1 |( )|max(0),(2),()f xfff x; 由 2 (0)(2)333100 3 ffaaa,所以 () 当 2 0 3 a时,(0)(2)ff,所以(,1 ,)xa时,( )yf x递
17、增,(1, )xa时, ( )yf x递减,所以 max1 |( )|max (0),()f xff x,因为 2 1 (34 ) ()(0)12(1) 1332(1) 1(23 ) 2(1) 1(23 ) aa f xfaaaaaa aaa , 又 因为 2 0 3 a,所以230,3aa,所以 1 ()(0)0fxf,所以 max1 |()|()12(1)1fxfxaa ( ) 当 2 1 3 a时 ,( 2 )0 ,( 0 )ff, 所 以 max1 |( ) |max (2),()f xff x, 因 为 2 1 (34 ) ()(2)12(1) 1312(1) 1(32) 2(1) 1(32) aa f xfaaaaaa aaa , 此时 320a,当 2 1 3 a时,34a是大于零还是小于零不确定,所以 当 23 34 a时 ,340a, 所 以 1 ()|(2) |f xf,所以此时 max1 |( ) |()12(1) 1f xf xaa; 当 3 1 4 a时 ,340a, 所 以 1 ()|(2) |f xf,所以此时 max |( ) |(2)31f xfa 综上所述: max 33 ,(0) 3 |( ) |12(1) 1,(0) 4 3 31,() 4 aa f xaaa aa 。
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