2013年秋北师大版必修1示范教案3.5.3对数函数的图像和性质(2).pdf
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1、53 对数函数的图像和性质(2) 导入新课 思路 1. 复习指数函数与对数函数的关系,那么函数ya x 与函数ylogax到底还有什 么关系呢?这就是本堂课的新内容反函数 思路2. 在比较系统地学习对数函数的定义、图像和性质的基础上,利用对数函数的图 像和性质研究一些含有对数式的、形式上比较复杂的函数的图像和性质,特别明确了对数函 数的单调性,并且我们通过对数函数的单调性解决了有关问题因此,搞清ya x 与函数y logax的关系,培养学生综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力 推进新课 新知探究 提出问题 用列表描点法在同一个直角坐标系中画出xlog2y与y2 x 与y log2x的函数图
2、像 . 通过图像探索在指数函数y2 x 中,x为自变量,y为因变量,如果把y当成自变量, x当成因变量,那么x是y的函数吗? 如果是,那么对应关系是什么?如果不是,请说明理由. 探索y2 x 与xlog2y的图像间的关系. 探索y2 x 与ylog2x的图像 间的关系 . 结合与推测函数ya x 与函数y logax的关系 . 讨论结果:y2 x 与xlog2y. x 3210123 y 1 8 1 4 1 2 1248 ylog 2x. y 3210123 x 1 8 1 4 1 2 1248 图像如图 7. 图 7 在指数函数y2 x 中,x是自变量,y是x的函数 (xR,yR ) ,而且
3、其在R上是单 调递增函数过y轴的正半轴上任意一点作x轴的平行线,与y2 x 的图像有且只有一个交 点,即对任意的y都有唯一的x相对应,可以把y作为自变量,x作为y的函数 由指数式与对数式关系,y2 x 得xlog2y,即对于每一个y,在关系式xlog2y的 作用之下, 都有唯一的确定的值x和它对应, 所以, 可以把y作为自变量,x作为y的函数, 即xlog2y. 这时我们把函数xlog2yy(0 ,) 叫作函数y 2 x( xR) 的反函数, 但 习惯上,通常以x表示自变量,y表示函数,对调xlog2y中的x、y写成y log2x,这样 ylog2xx (0 , ) 是指数函数y2 x( xR
4、) 的反函数由上述讨论可知,对数函数 ylog2xx(0 , ) 是指数函数y2 x( xR) 的反函数;同时,指数函数y2 x( x R) 也是对数函数ylog2xx(0 , ) 的反函数因此,指数函数y2 x( xR)与对数函 数ylog2xx(0 , ) 互为反函数 以后,我们所说的反函数是x,y对调后的函数如ylog3x,x(0 , ) 与y 3 x( x R) 互为反函数,ylog0.5x与y0.5 x( xR) 互为反函数 从我们的列表中知道,y2 x 与xlog2y是同一个函数图像 通过观察图像可知,y2 x 与ylog2x的图像关于直线yx对称 通过与类比, 归纳知道,ya x
5、( a0, 且a1)的反函数是ylogax(a0且a1), 且它们的图像关于直线yx对称 由反函数的概念可知,同底的指数函数和对数函数互为反函数,它们的图像关于直线y x对称 提出问题 1用计算机在同一坐标系中作出下列函数的图像:ylog3x;ylog2x;y log5x. 2从图像上观察它们之间有什么样的关系? 3函数ylogax,a1 时,a的变化对图像有何影响? 4函数ylogax, 0a1 时,a的变化对图像有何影响? 活动: 学生动手画出函数图像,教师点拨,学生没有思路教师可以提示 学生回忆函数作图的方法与步骤,按规定作出图像,特别是关键点 讨论结果: (1) 如图 8. 图 8 (
6、2) 观察图 8 可以看出,ylog3x,ylog2x,ylog5x的图像间有如下关系:都过 (1,0) 点,都在y轴右边,都是定义域上的增函数,不同的是函数增长的速度不同 (3)ylogax,a1 时,a越大,函数增长得越慢,向右离x轴越近,向下离y轴越近 (4)ylogax,0a 1 时,a越小,向右离x轴越近,向上离y轴越近 应用示例 例 1 观察在同一坐标系内函数ylog2x与y2 x 的图像,分析它们之间的关系 活动: 学生独立在同一坐标系内作出两个函数的图像,要抓住关键点和关键步骤,教 师指点、引导学生动手、动脑,注意观察的方法 解:图 9 是函数ylog2x与y 2 x 的图像
7、从图像上可以看出,函数ylog2x与函数y 2 x 的图像关于直线yx对称事实上,函数ylog2x与函数y2 x 互为反函数,对应于 函数y log2x的图像上的任一点P(a,b) ,P点关于直线yx的对称点Q(b,a) 总在函数y 2 x 的图像上 图 9 例 2 课本例 7. 活动: 学生仔细阅读题目,分析问题的实际意义列出数学模型,从而达到解决问题 的目的 解: 因为 14C的半衰 期是 5 730 年所以建立方程1 2e 5 730 r. 解得r0.000 121 ,由此可知 14C的衰减规律服从指数型函数 C(t) C0e 0.000 121t . 设发现 Hammurbi王朝木炭的
8、时间(1950 年 )为t0年 因为放射性的物质的衰减速度是与其质量成正比的,所以 Ct0 C0 4.09 6.68 . 于是 e0.000 121t0 4.09 6.68 . 两边取自然对数,得0.000 121 t0ln 4.09ln 6.68,解得t04 054( 年 ) 即 Hammurbi王朝大约存在于公元前2100 年 例 3 若 1x2,比较 (log2x) 2,log 2x 2,log 2(log2x) 的大小 活动: 学生思考、交流,教师要求学生展示自己的思维过程,学生有困难,教师可以提 示并及时评价这是有条件的比较大小,几个对数式各不相同,应采取中间量法很明显, log2(
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