2014-2015学年人教a版数学选修2-2第2章《推理与证明》综合检测(含答案).pdf
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1、第二章综合检测 时间 120 分钟,满分150 分。 一、选择题 (本大题共12 个小题,每小题5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中 只有一个是符合题目要求的) 1观察数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4, , 的特点,按此规律,则第100 项为 () A10B14 C13 D100 答案 B 解析 设 nN *,则数字 n 共有 n 个, 所以 n n1 2 100 即 n(n1)200, 又因为 nN *,所以 n 13,到第 13 个 13 时共有 1314 2 91 项,从第 92 项开始为14, 故第 100 项为 14. 2 有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分
2、数,整数是有理数, 则整数是真分数”, 结论显然是错误的,因为() A大前提错误B小前提错误 C推理形式错误D不是以上错误 答案 C 解析 大小前提都正确,其推理形式错误故应选C. 3用数学归纳法证明等式12 3 , (n 3) n3 n4 2 (nN *)时,验证 n1, 左边应取的项是() A1 B1 2 C123 D1 234 答案 D 解析 当 n1 时,左 12,(13)123 4,故应选D. 4(2012 福建南安高二期末)下列说法正确的是() A“ a0”,故 B 错; C 正确; D 中 pq 为假命题,则p、 q 中至少有一个为假命题,故D 错 5(2014 东北三校模拟)
3、下列代数式 (其中 kN * )能被 9 整除的是 () A66 7 k B2 7 k1 C2(27 k1) D3(2 7 k) 答案 D 解析 特值法:当k1 时,显然只有3(27 k)能被 9 整除,故选 D. 证明如下: 当 k1 时,已验证结论成立, 假设当 kn(nN*)时,命题成立,即 3(27 n)能被 9 整除,那么 3(2 7 n1)21(27n) 36. 3(27n)能被 9 整除, 36 能被 9 整除, 21(27n) 36 能被 9 整除, 这就是说, kn1 时命题也成立 故命题对任何kN * 都成立 6已知 f(n) 1 n 1 n1 1 n2, 1 n 2,则
4、( ) Af(n)中共有 n 项,当 n2 时, f(2) 1 2 1 3 Bf(n)中共有 n 1 项,当 n2 时, f(2)1 2 1 3 1 4 Cf(n)中共有 n 2n 项,当 n2 时, f(2)1 2 1 3 Df(n)中共有 n 2n1 项,当 n2 时, f(2)1 2 1 3 1 4 答案 D 解析 项数为 n 2 (n1)n2n 1,故应选 D. 7已知 a bc0,则 abbcca 的值 () A大于 0 B小于 0 C不小于0 D不大于0 答案 D 解析 解法 1: abc0, a 2b2c22ab2ac2bc0, abacbc a 2b2c2 2 0. 解法 2:
5、令 c0,若 b 0,则 abbcac0,否则 a、b 异号, abbcacab 0, 排除 A、B、C,选 D. 8已知 c 1,ac 1c,bcc1,则正确的结论是() AabBa b CabDa、 b大小不定 答案 B 解析 ac1c 1 c1c , bcc1 1 cc1 , 因为c1c0,cc10, 所以c1ccc10,所以 a0),观察: f 1(x)f(x) x x2, f 2(x) f(f1(x) x 3x4,f 3(x) f(f2(x) x 7x8,f 4(x)f(f3(x) x 15x16,, 根据以上事实,由归纳 推理可得:当nN *且 n 2时, f n(x)f(fn1(
6、x)_. 答案 x 2 n1 x2n 解析 观察 f1(x)、 f2(x)、f3(x)、f4(x)的表达式可见,fn(x)的分子为x,分母中x 的系数 比常数项小1,常数项依次为2,4,8,16,2n.故 fn(x) x 2 n 1 x2n. 14(2014 厦门六中高二期中)在平面上, 我们用一直线去截正方形的一个角,那么截下 的一个直角三角形,按如图所标边长,由勾股定理有c 2a2b2.设想正方形换成正方体, 把 截线换成如图截面,这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN,如果用S1、 S2、S3表示三个侧面面积, S表示截面面积,那么类比得到的结论是_ 答案 S 2S2 1S
7、2 2S 2 3 解析 类比如下: 正方形 ? 正方体; 截下直角三角形? 截下三侧面两两垂直的三棱锥;直角三角形斜边平 方? 三棱锥底面面积的平方;直角三角形两直角边平方和? 三棱锥三个侧面面积的平方和, 结论 S 2S2 1S 2 2S 2 3. 证明如下:如图,作OE平面 LMN ,垂足为E,连接 LE 并延长交MN 于 F, LOOM,LOON, LO平面 MON , MN? 平面 MON , LO MN, OEMN, MN平面 OFL, SOMN1 2MN OF, S MNE 1 2MN FE, S MNL 1 2MN LF, OF 2FE FL, S2 OMN(1 2MN OF)
8、2(1 2MN FE) (1 2 MN FL )SMNE SMNL,同理 S2OMLS MLE SMNL,S 2 ONL SNLE SMNL, S2OMNS2OML S2ONL(SMNE SMLESNLE) SMNL S 2 MNL,即 S 2 1S 2 2S 2 3S 2 . 16(2014 洛阳部分重点中学教学检测)观察下列等式: 3 12 1 21 1 2 2, 3 12 1 2 4 23 1 2 21 1 32 2, 3 12 1 2 4 23 1 2 2 5 3 4 1 2 31 1 42 3,, ,由以上等式推测到一个 一般的结论:对于nN * , 3 12 1 2 4 23 1
9、2 2 , n2 n n 1 1 2 n_. 答案 1 1 n1 2 n 解析 由已知中的等式: 3 12 1 21 1 2 2 3 12 1 2 4 2 3 1 2 21 1 32 2, 3 12 1 2 4 2 3 1 2 2 5 34 1 2 31 1 42 3,, , 所以对于 nN *, 3 12 1 2 4 23 1 2 2, n2 n n1 1 2 n1 1 n1 2 n. 三、解答题 (本大题共 6 个大题, 共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17(本题满分12 分)已知: a、b、c R,且 ab c1. 求证: a2b2c2 1 3. 证明 由 a 2
10、b22ab,及 b2c22bc,c2a22ca. 三式相加得a2b2c2abbcca. 3(a2b2c2)(a2b2c2)2(ab bcca)(a bc)2. 由 abc1,得 3(a 2b2c2)1, 即 a2b2c2 1 3. 18(本题满分12 分)设 nN,用归纳推理猜想111,1 2n个1222, 2 n个2 的值 解析 记 f(n)111,1 2n个1222, 2 n个2 , 则 f(1)1123,f(2)111122108933,f(3)111111222110889 333. 猜想 f(n)333,3 n个. 点评 f(n)333,3 n个可证明如下: 111,1 2n个 1
11、9(10 2n1), 222,2 n个2 2 9(10 n 1), 令 10 nx1,则 f(n)1 9 x 21 2 9 x1 1 9 x 22x1 1 3(x1) 1 3(10 n 1), 即 f(n)33,3 n个. 19(本题满分12 分)(2013 华池一中高二期中)在圆 x 2y2r2(r0)中, AB 为直径, C 为圆上异于A、 B的任意一点, 则有 kAC kBC 1.你能用类比的方法得出椭圆 x 2 a 2 y 2 b 21(ab0) 中有什么样的结论?并加以证明 解析 类比得到的结论是:在椭圆 x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)中, A、B 分别是椭圆长轴的左右
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