2014-2015学年北师大版高中数学必修一课时训练第四章函数应用.pdf
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1、第四章函数应用 1函数与方程 11利用函数性质判定方程解的存在 (教师用书独具 ) 三维目标 1知识与技能 (1)了解函数零点的概念,领会方程的根与函数零点之间的关系 (2)掌握函数零点存在的方法 (3)能结合图像求解函数零点问题 2过程与方法 通过观察二次函数图像,并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点,找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法 3情感、态度与价值观 在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值进一步拓展了学生的视野,使他们体会到数学当中不同内容之间的内 在联系 重点难点 重点:连续函数在某区间上存在零点的判定方法 难点:发现与理解方程的根与函数零点的关系 通过对
2、二次函数的图像的研究判断一元二次方程根的存在性以及根的个数建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系, 然后由特殊到一般,将其推广到一般方程与相应的函数的情形它既揭示了初中一元二次方程与相应的二次函数的内在联系,也引出对 函数知识的总结拓展之后将函数零点与方程的根的关系在利用二分法解方程中加以应用,通过建立函数模型以及模型的求解更全面地 体现函数与方程的关系,逐步建立起函数与方程的联系渗透“方程与函数”思想 (教师用书独具 ) 教学建议 教材选取“探究具体的一元二次方程根与其对应二次函数的图像与x 轴的交点的横坐标之间的关系”作为内容的入口,其意图是让 学生从熟悉的环境中发现新知识,使新
3、知识与原知识形成联系教学时尽量多给学生提供探究情景,让学生自己发现并归纳结论:一元 二次方程ax2bxc 0(a0)的根就是相应的二次函数yax2bxc(a0)的图像与x 轴交点的横坐标值得注意的问题是:对于教材 中给出了函数零点的判定定理,只要求学生理解并会用,而不要求学生证明 教学流程 通过实例分析:判断方程x2x6 0 解的存在性, 引出本节课课题? 抽象概括出函数的零点的定义,根据定义完成例1 及其变式训 练? 函数图像从x 轴上方到下方或从x 轴下方到上方都会穿过x 轴,即图像连续且有使函数值为零的点的横坐标,那么对应方程一定有 解? 导出函数零点的存在定理,并由此完成例2 及其变式
4、训练 ? 根据零点存在定理,解决二次函数根的分布问题,完成例3 及其变式训练 ? 归纳整理,进行课堂小结,整体认识本节课所学知识 ? 完成当堂双基达标,巩固所学知识并进行反馈矫正 (见学生用书第63 页) 课标解读 1.了解函数零点的概念,领会方程的根与函数零点之间的关 系 (易混点 ) 2掌握函数零点存在的判定方法(重点 ) 3能结合图像求解零点问题(难点 ) 函数的零点及判定定理 【问题导思】 给定的二次函数yx22x3,其图像如下: 1方程 x 22x30 的根是什么? 【提示】方程的根为 3,1. 2函数的图像与x 轴的交点是什么? 【提示】交点为 (3,0),(1,0) 3方程的根与
5、交点的横坐标有什么关系? 【提示】相等 4通过观察图像,在每一个与x 轴的交点附近,两侧函数值符号有什么特点? 【提示】在每一点两侧函数值符号异号 1函数的零点 (1)定义:函数yf(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点 (2)意义:函数yf(x)的零点就是方程f(x)0 的解 2函数零点的判定定理 若函数yf(x)在闭区间 a,b上的图像是连续曲线,并且在区间端点的函数值符号相反,即f(a) f(b)0, 零点在 (1 4, 1 2)上 【答案】C 1确定函数零点、方程解所在的区间,通常利用函数零点的存在性定理,转化为确定区间两端点对应的函数值的符号是否相反 2有时,需要考察函数
6、在区间上是否连续,若要判断零点(或根 )的个数,还需结合函数的单调性 函数 f(x)ln x 2 x的零点所在的大致区间是 () A(1,2)B (2,3) C(3,4) D(e,3) 【解析】f(2)ln 210, f(2) f(3)0,a0 时,设 f(x)ax 22x 1, 方程的根分别在区间(0,1),(1,2)上, f 0 0, f 1 0, 即 10, a210, 解得 3 40.且函数 f(x)在2,3上连续,所以f(x)的零点 x0所属区间是 (2,3) 【答案】B 3函数 y2x 24x3 的零点个数是 () A0 B1 C2 D不能确定 【解析】由于方程2x24x3 0 的
7、 1624400,所以函数有两个零点 【答案】C 4若函数y ax 2x1 只有一个零点,求实数 a 的值 【解】(1)当 a 0 时,函数为y x1,显然该函数的图像与x 轴只有一个交点,即函数只有一个零点 (2)当 a0 时,函数yax 2x 1 是二次函数 因为 y ax2x1 只有一个零点, 所以关于x 的方程 ax2x10 有两个相等的实数根, 所以 0,即 14a0, 解得 a 1 4. 综上所述, a 的值为 0 或 1 4. (见学生用书第121 页) 一、选择题 1yx1 的图像与x 轴的交点坐标及其零点分别是() A1,(1,0)B(1,0),0 C(1,0), 1 D1,
8、1 【解析】由 yx1 0,得 x1, 故交点坐标为(1,0),零点是 1. 【答案】C 2若函数f(x)x 22xa 没有零点,则实数 a 的取值范围是 () Aa1 Ca1 Da1 【解析】由题意知, 44a1. 【答案】B 3(2013 延安高一检测)函数 f(x)e x1 x的零点所在的区间是 () A(0, 1 2) B(1 2, 1) C(1, 3 2) D(3 2, 2) 【解析】f(1 2)e 1 220, f(1 2) f(1)2. 【答案】(2, ) 7若函数f(x)axb 只有一个零点2,那么函数g(x)bx 2ax 的零点是 _ 【解析】由题意知2ab0, b 2a,
9、g(x) 2ax2ax ax(2x1), 令 g(x)0 得 x0 或 x 1 2. 【答案】0, 1 2 8方程 log2x2x 2 的实数解的个数为_ 【解析】方程 log2x2x2可变形为log2xx22,构造函数f(x)log2x,g(x)x22,画这两个函数的图像,由交点个数可知方 程解的个数为2. 【答案】2 三、解答题 9求函数y ax 2(2a1)x2(aR)的零点 【解】令 y0 并化为: (ax1)(x2)0. 当 a0 时,函数为y x2,则其零点为x2. 当 a 1 2时,则由 ( 1 2x1)(x2)0, 解得 x1,22,则其零点为x2. 当 a0 且 a 1 2时
10、,则由 (ax1)(x2)0, 解得 x 1 a或 x2,则其零点为 x 1 a或 x2. 10函数 f(x)ln xx 2a 有一个零点在 (1,2)内,求 a 的取值范围 【解】函数 f(x)ln xx 2a 在区间 (1,2)上是单调递增的,由题意知 f(1) f(2)0, 即 (ln 11 a) (ln 24a)0, 解得 1a4ln 2. 故 a 的取值范围为 (1,4 ln 2) 11关于 x 的方程 mx 2 2(m 3)x2m140 有两实根,且一个大于 4,一个小于4,求实数m 的取值范围 【解】令 g(x)mx22(m3)x2m14. 依题意得 m0, f 4 0, 即 m
11、0, 26m380, 解得 19 139 4或 a 2; 当函数在该区间内有两个不同零点时, 必须满足 0, 00, 00, 188a0, 解得29 4. 2连续函数f(x)在闭区间 a,b上,若满足f(a) f(b)0, 11 4 m0,所以方程x3 x10 在区间 1,1.5内有实数解 利用二分法得到方程x3x10 有解区间的表: 次数左端点 左端点 函数值 右端点 右端点 函数值 区间 长度 第 1 次111.50.8750.5 第 2 次1.250.296 8751.50.8750.25 第 3 次1.250.296 8751.3750.224 609 3750.125 第 4 次1.
12、312 50.051 513 6711.3750.224 609 3750.062 5 至此,我们得到,区间1.312 5,1.375 的区间长度为0.062 5,它小于 0.1.因此,我们可以选取这一区间内的任意一个数作为方程x3x 10 的一个近似解例如,选取1.33 作为方程x3x1 0的一个近似解 二分法的实际应用 如图 411,有一块边长为15 cm 的正方形铁皮, 将其四个角各截去一个边长为x cm 的小正方形, 然后折成一个无盖的盒 子 图 41 1 (1)求出盒子的体积y 以 x 为自变量的函数解析式,并讨论这个函数的定义域; (2)如果要做成一个容积是150 cm 3 的无盖
13、盒子,那么截去的小正方形的边长x 是多少? (精确度为0.1) 【思路探究】先求出体积y 关于 x 的函数,再用二分法求近似解 【自主解答】(1)盒子的体积y 以 x 为自变量的函数解析式为y(152x)2x,其定义域为 x|00, 所以 f(2.2) f(2.4)0,f(1.25)0,即 (2,3)作为初始区间,用二分法列表如下: 次数左端点 左端点 函数值 右端点 右端点 函数值 第 1 次2 0.306 8531.098 61 第 2 次2 0.306 852.50.416 29 第 3 次2 0.306 852.250.060 93 第 4 次2.125 0.121 232.250.0
14、60 93 第 5 次2.187 5 0.029 742.250.060 93 至此,我们得到区间2.1875,2.25 的区间长度为0.062 5,它小于 0.1.因此,我们可以选取这一区间内的任意一个数作为方程ln x x 30 的一个近似解,例如,选取2.2 作为方程ln xx3 0 的一个近似解 (见学生用书第123 页) 一、选择题 1下列函数图像与x 轴均有交点,但不宜用二分法求函数的零点的是() 【解析】由二分法的定义可知,B 项符合题意 【答案】B 2若函数f(x)x 3x22x2 的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如表: f(1) 2f(1.5) 0.625
15、 f(1.25) 0.984f(1.375) 0.260 f(1.438)0.165f(1.406 5) 0.052 那么方程x 3x22x 20 的一个近似根 (精确度 0.1)为() A1.21B1.31C1.41D1.51 【解析】由表知 f(1.438)0 ,f(1.406 5)0,所以可取 2, 1为初始区间,用二分法逐次计算即得方程的近似解 为 1.7. 【答案】D 5函数 y(1 2) x 与函数 ylg x 的图像的交点的横坐标(精确度 0.1)约是 () A1.5 B1.6 C1.7 D1.8 【解析】设 f(x)lg x(1 2) x,经计算 f(1) 1 20,所以方程
16、lg x(1 2) x0 在1,2内有解应用二分法逐步缩小方 程实数解所在的区间,可知选项D 符合要求 【答案】D 二、填空题 6(2013 包头高一检测)求方程 x 32x50 在区间 (2,3)内的实根,取区间中点 x02.5,那么下一个有根区间是_ 【解析】f(x)x32x5,f(2)0,f(2.5)0 ,则 f(2) f(2.5)10, n 的最小值为 4. 【答案】4 8若函数f(x)唯一的零点在区间(1,3)或(1,4)或(1,5)内,则 函数 f(x)的零点在 (1,2)或(2,3)内; 函数 f(x)在(3,5)内无零点; 函数 f(x)在(2,5)内有零点; 函数 f(x)在
17、(2,4)内不一定有零点; 函数 f(x)的零点必在 (1,5)内 以上说法错误的是_(将标号填在横线上) 【解析】由于三个区间是包含关系,而(1,5)范围最大,零点位臵可能在区间(1,5) 的任何一个子区间内,错误 【答案】 三、解答题 9求出函数F(x)x 5x1 的零点所在的大致区间 【解】函数 F(x)x5x1 的零点即方程x5x10 的根由方程x5x 10, 得 x5x1, 令 f(x)x5,g(x)x1. 在同一平面直角坐标系中,函数f(x)与 g(x)的图像如图所示,显然它们只有1 个交点两函数图像交点的横坐标就是方程的解 又 F(1) 10, 函数的零点在区间(1,2)内 10
18、求方程 log3xx 5的一个实数解(精度为 0.1) 【解】构造函数f(x) log3xx5,经计算, f(5)log35551.464 973 5210,f(9)log399 5 20, 即 f(1.5) f(1)0, f(1)0. (1)求证: a0; (2)利用二分法证明函数f(x)在0,1内有两个零点 【思路探究】(1)利用已知abc0,且 f(0)0,f(1)0 可得 a0; (2)只需在 0,1内找到一个点的函数值小于零即可 【自主解答】(1)f(1)0, 3a2bc0, 即 3(abc)b2c0. abc0, b2c0,则 bcc,即 ac. f(0)0, c0,则 a0. (
19、2)在0,1内选取二等分点 1 2, 则 f(1 2) 3 4abc 3 4a (a) 1 4a0, f(1)0, f(x)在区间 0, 1 2和 1 2,1内分别存在一个零点,又二次方程 f(x)0 最多有两个实根, f(x)在0,1 内有两个零点 1本题中,若f(1 2)0 时,求证:方程有一根在0 和 1之间 【解】(1)当 a 0 时, 3b6c0, 所以 b 2c,方程为bxc0, x c b,从而可得 x 1 2. (2)证明当 a0 时, b 24ac(2 3a 2c) 24ac 4 9a 24 3ac4c 24 9(a 3 2c) 23c20, 方程 ax2bxc 0 有两个根
20、 令 f(x)ax 2bxc, 当 c0. f(0) f(1)0 时, f(1 2) 1 4a 1 2bc, b 2 3a2c, f(1 2) 1 4a 1 2( 2 3a2c)c, 即 f(1 2) 1 4a 1 3acc 1 12a. 由 a0 知, f(1 2)0 知 f(0)c0. f(0) f(1 2)0 时,方程ax2bx c0 有一根在 (0,1)内 探求新知 迭代法求方程的近似解 若函数 yf(x)在区间 a,b内的图像是一条连续的曲线,且在区间端点的函数值满足f(a)f(b)0,所以 5500. (2)当 x20601 200(min) 时, x500,应付 y0.151 2
21、00180(元) (3)90 元已超过30 元,所以上网时间超过500 min,由解析式可得上网时间为600 min. 【错因分析】此题错解主要是对“超过 500 min 的部分按0.15 元/min 计费 ”中的 “超过部分 ”理解出错,产生了与事实相违的结 论,如第 (2)小题上了1 200 min 的网,要180 元,是 30 元包月用500 min 的 6 倍,而时间上才2 倍多,与事实不符;又如第(3)小题,用 了 90 元,几乎是30 元的 3 倍,而上网时间才多了100 min,与事实不符 【防范措施】函数应用问题,就是利用函数思想解决生产生活实践中的实际问题此类题考查了同学们多
22、方面的数学能力,要求 较高,有一定的难度,出错较多 【正解】(1)设上网时间为x min,由已知条件所付费用y 关于 x 的函数关系式为 y 0,0500. (2)当 x20601 200(min) 时, x500, 应付 y 300.15(1 200500)135(元) (3)90 元已超过30 元,所以上网时间超过500 min,由解析式可得上网时间为900 min. 1选择函数模型时,要让函数的性质、图像与所解决的问题基本吻合根据散点图猜想函数模型,通过待定系数法求模拟函数的解 析式,再通过数据验证 2解函数应用问题的一般步骤: (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系; (2
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