2014中考备考数学总复习_第6讲分式方程(含解析).pdf
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1、第 6 讲分式方程 考标要求考查角度 1.理解分式方程的概念,会解可化为一元一次(二 次)方程的分式方程(方程中的分式不超过两个), 知道解分式方程的基本思想是把分式方程化为整 式方程 2了解解分式方程产生增根的原因,能解决有关 字母系数的问题 3会列分式方程解决实际问题. 中考多以选择题、填空题、解答题 的形式考查以下几点:(1)找分式方程的 最简公分母,将分式方程化成整式方程; (2)已知方程有增根,确定有关字母的值; (3)解分式方程列分式方程解决实际问 题是中考的重点. 知识梳理 一、分式方程 1分母里含有_的有理方程叫做分式方程 2使分式方程分母为零的未知数的值即为_;分式方程的增根
2、有两个特征: (1)增根使 _为零; (2)增根是分式方程化成的_方程的根 二、分式方程的基本解法 解分式方程的一般步骤: (1)去分母,把分式方程转化为_方程 (2)解这个整式方程,求得方程的根 (3)检验,把解得整式方程的根代入最简公分母,如果最简公分母为零,则它不是原方 程的根,而是方程的_,必须舍去;如果使最简公分母不为零,则它是原分式方程 的根 三、分式方程的实际应用 分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似,不同的是要注意检验: (1)检验所求的解是否是所列分式方程的解; (2)检验所求的解是否符合实际 自主测试 1 (2012 浙江丽水 )把分式方程 2 x4 1 x转化为一元一
3、次方程时, 方程两边需同乘以() AxB2xC x4 Dx(x4) 2(2012 四川宜宾 )分式方程 12 x 29 2 x3 1 x 3 的解为 () A3 B 3 C无解D3 或 3 3(2012 浙江台州 )小王乘公共汽车从甲地到相距40 千米的乙地办事,然后乘出租车返 回,出租车的平均速度比公共汽车多20 千米 /时,回来时路上所花时间比去时节省了 1 4,设 公共汽车的平均速度为x 千米 /时,则下面列出的方程中正确的是() A 40 x20 3 4 40 x B 40 x 3 4 40 x20 C 40 x20 1 4 40 x D 40 x 40 x20 1 4 4(2012
4、广东梅州 )解方程: 4 x 21 x2 1x 1. 考点一、分式方程的解法 【例 1】 解方程: x1 2x x1 3 . 分析: 把分式方程转化为整式方程,通过解整式方程求得分式方程的解 解: 原方程两边同乘6x,得 3(x1)2x (x1),整理得 2x2x3 0,解得 x 1 或 x3 2.经验证知它们都是原方程的解,故原方程的解为 x 1 或 x 3 2. 方法总结解分式方程时应注意以下两点:(1)去分母时,要将最简公分母乘以每一个 式子, 不要 “漏乘 ” ;(2)解分式方程时必须检验,检验时只要代入最简公分母看其是否为0 即可若能使最简公分母为0,则该 解是原方程的增根 触类旁通
5、1解方程: x x 2 x2 x2 8 x 24. 【例 2】 解方程: x1 x x x1 5 2. 解: 设 x1 x y,则原方程化为y 1 y 5 2. 解得 y12,y2 1 2.当 y2 时, x1 x 2, 解得 x 1; 当 y 1 2 时, x1 x 1 2,解得 x2. 经检验, x1 1,x22 均符合题意, 所以原方程的解为x1 1,x22. 方法总结解分式方程时, 如按常规用约去分母的方法解,所得到的整式方程比较复杂, 不易继续求解,我们可采用换元法求解一般分式方程有以下两种情况时,可考虑换元法: 第一种情况是 “倒数型 ”,如 2x x1 x1 x 5 2,由于 x
6、 x 1与 x1 x 互为倒数,当设 x x1y 时, 原方程可化为2y 1 y 5 2;第二种情况是 “平方型 ”,如 x1 x 22 x1 x 3 0,此时设x 1 xy,则原方程可化为 y2 2y 30. 触类旁通2方程 66 x3 60 x 0 的根是 _ 考点二、分式方程的增根 【例 3】 分式方程 x x11 m (x1)(x2)有增根,则 m 的值为 () A0 或 3 B1 C1 或 2 D3 解析:由(x1)(x2)0 得增根可能是x1 或 x 2,把方程两边都乘(x1)(x2) 得 x(x 2)(x1) (x2) m, 当 x1 时,得 m3, 当 x 2 时,得 m0,
7、此时方程变为 x x1 10,即 xx 1,此时方程无解,故m0 舍去, 当 m 3 时,原方程有增根x 1. 答案: D 方法总结利用增根求分式方程中字母的值:(1)确定增根; (2)将原分式方程化成整式 方程; (3)增根代入变形后的整式方程,求出字母的值 触类旁通3若解分式方程 mx1 x1 1 时产生增根,则m 的值是 () A0 B1 C 1 D 1 考点三、分式方程的应用 【例 4】 某品牌瓶装饮料每箱价格26 元某商店对该瓶装饮料进行“买一送三”促销 活动,若整箱购买,则买一箱送三瓶,这相当于每瓶比原价便宜了0.6 元问该品牌饮料一 箱有多少瓶? 解: 设该品牌饮料一箱有x 瓶,
8、依题意,得 26 x 26 x30.6, 化简,得x 2 3x1300,解得 x 1 13(不合题意,舍去 ),x210.经检验: x10 符 合题意 答: 该品牌饮料一箱有10 瓶 方法总结列分式方程解决实际问题关键是找到“等量关系 ” , 将实际问题抽象为方程 问题 同时,既要注意求得的根是否是原分式方程的根,又要根据具体问题的实际意义,检 验是否合理 触类旁通4 某镇道路改造工程,由甲、乙两工程队合作20 天可完成甲工程队单独施 工比乙工程队单独施工要多用30 天才可完成 (1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天; (2)若甲工程队独做a 天后,再由甲、乙两工程队合作_天(用含
9、 a 的代数式表 示)可完成此项工程; (3)如果甲工程队施工每天需付施工费1 万元,乙工程队施工每天需付施工费2.5 万元, 甲工程队至少要单独施工多少天后,再由甲、 乙两工程队合作施工完成剩下的工程,才能使 施工费不超过64 万元? 1(2012 湖南邵阳 )分式方程 2 x x1 x 2 的解是 () Ax 1 Bx1 Cx 2 Dx2 2(2012 湖南永州 )下面是四位同学解方程 2 x 1 x 1x1 过程中去分母的一步,其中 正确的是 () A2xx1 B2x 1 C2 x1xD2xx 1 3(2012 湖南衡阳 )分式方程 2 x 3 x1的解为 _ 4(2012 湖南怀化 )
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