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1、一、选择题 (本大题共10 小题在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的) 1过点 P(1, 2),斜率为 3 的直线方程是 () Ay23(x1) By13(x2) Cy2 3(x1) Dy2 3(x1) 解析 :选 C.利用点斜式写出直线方程:y(2)3(x1),即 y23(x1),故选 C. 2下列说法不正确的是() A一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形 B同一平面的两条垂线一定共面 C过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一个平面内 D过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直 解析 :选 D.A 项是平行四边形的判定定理,正确B 项中,同一平面
2、的两条垂线平行, 所以一定在同一平面内,故B 正确 C 项过直线上一点与这条直线垂直的直线都在这条直线 过该点的垂面内,C 正确 D 项中,若直线与已知平面垂直,则有无数个平面过已知直线且 与已知平面垂直,故D 不正确 3一束光线自点P(1,1,1)发出,被xOy 平面反射到达点Q(3,3,6)后被吸收,那么光线 所走的路程是() A.57 B.47 C.37 D.33 解析 :选 A.点 P(1,1,1)关于 xOy 平面的对称点P的坐标为 (1,1, 1), 由两点间的距离 公式, 得|P Q|31 2 312 612 57, 由对称性知光线所走路程等于|PQ|的长 4体积为3 3的正方体
3、内接于球,则球的体积为() A36B. 27 2 C.9 2 D9 解析 :选 C.设正方体的棱长为a,则 a33 3,a3. 又 2R3a, R 3 2 a.故 V4 3 R 39 2. 所以选 C. 5若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是 () A3 B.3 C33 D3 4 3 解析 :选 D.由三视图可知, 该空间几何体是底面为直角三角形的 直三棱柱, 三棱柱的底面直角三角形的边长分别为1 和3,三棱柱的 高 为3, 故 该 几 何 体 的 表 面 积 为2 1 2 3 1 (13 3 1)334 3. 6正方体ABCDA1B1C1D1中, P, Q 分别为 D1D 和
4、 DC 的中点,则BC1与 PQ 的夹角 为() A30B60 C90D45 解析 :选 B.如图所示,由正方体的性质易知BC1AD1,因为 P,Q 为 D1D 与 DC 的中点,所以 PQD1C, 所以 AD1C 即为 BC1与 PQ 的夹角因 为 ACD 1为正三角形,所以 AD1C60 ,即 PQ 与 BC1的夹角为60 . 7过点 A(2,2),且在两坐标轴上截距相等的直线方程是() Axy 0 Bx 2 或 y2 Cxy2 20 Dxy 0 或 x y220 解析 :选 A.代入点 A(2,2)可排除 C、D 两项,又x 2 或 y2 是两条直线,且每一 条都仅有一个截距,所以B 项
5、错 8圆 x 2 y2 2x2y20 上的点到直线 xy2 的距离的最小值是() A0 B12 C222 D22 解析 :选 A.圆 x2y22x2y20 和直线 xy2 相交,最小距离是0. 9已知一圆与直线3x 4y5 0 相切于点 (1, 2),且圆心在直线xy9 2 0 上,则 圆的方程为 () Ax 2y2x8y10 0 Bx2y2x8y100 Cx 2y2x8y10 0 Dx 2y2x 8y100 解析 :选B.过点 (1, 2)与直线3x4y 50 垂直的直线方程为4x3y100,由 4x3y100, xy9 20, 解得圆心的坐标为 1 2, 4 ,且 r1 1 2 2 242
6、5 2,所以 圆的方程为x2y2x8y100. 10 在正方体ABCDA1B1C1D1中, BD1与 A1D 所成的角为1, AB1与 BC1所成的角为 2, AA1与 BD1所成的角为 3,则有 ( ) A321B231 C213D312 解析 :选 A.连接 AD1,因为 BA平面 A1ADD1,所以 AD1为 BD1在平 面 A1ADD1上的射影,如图所示,因为A1DAD1,所以 A1DBD1,即 1 90 .因为 AD1BC1,所以AD1与 AB1所成的角即为BC1与 AB1所成的 角连接B1D1.因为 AB1D1为等边三角形,所以 260 .因为 BB1AA1, 所以 BB1与 BD
7、1所成的角即为AA1与 BD1所成的角在RtBB1D1中, tan 3 B1D1 BB1 2,所以 45 360 ,所以 321. 二、填空题 (本大题共 5 小题把答案填在题中横线上) 11 在空间直角坐标系中, 已知 M(2,0,0), N(0,2,10), 若在 z轴上有一点D 满足 |MD|ND|, 则点 D 的坐标为 _ 解析 :设 D(0,0,z),由 |MD | |ND|,可解得 z5,故选 A. 答案: 5 12.如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1中, AB2,点 E 为 AD 的中点, 点 F 在 CD 上若 EF平面 AB1C,则线段 EF 的长度等于 _ 解析 :
8、因为 EF平面 AB1C, 而过 EF 的平面 ABCD 与平面 AB1C 交于 AC, 所以 EFAC,又因为点E 为 AD 的中点,所以EF 1 2AC 1 2 2 222 2. 答案:2 13若直线xay20 和 2ax3y10 互相垂直,则a 等于 _ 解析 :a 应满足: 12aa30,即 5a0, a0. 答案: 0 14(2012 高考江西卷 )过直线 xy 2 20 上点 P 作圆 x 2y21 的两条切线,若两条 切线的夹角是60 ,则点 P 的坐标是 _ 解析 :点 P 在直线 xy2 20 上,可设点P(x0, x022),且其中一个切点 为 M.两条切线的夹角为60 ,
9、 OPM30 .故在 RtOPM 中,有 OP2OM 2.由两点 间的距离公式得OPx2 0 x0 2 2 22,解得 x 0 2.故点 P 的坐标是 (2,2) 答案: (2,2) 15过 ABC 所在平面外一点P,作 PO平面 ABC,垂足为O,连接 PA,PB,PC. 若 PAPBPC, ABC90 ,则 O 为 AB 边的中点; 若 PAPBPC,则 O 为 ABC 的外心; 若 PAPB,PBPC,PC P A,则 O 为 ABC 的垂心; 若 PABC,PBAC,则 PCAB; 若 PAPC,ABBC,则 PBAC. 以上五种说法中正确的是_ 解析 :P APBPC,PO平面 AB
10、C,RtPOARtPOBRtPOC,OAOB OC, O 为 ABC 的外心,故均正确;PAPB,PBPC,且 PAPC P, PB 平面 PAC.PBAC.又 POAC, AC平面POB, BOAC.同理可证AOBC,因而O 为 ABC 的垂心;类似于 可以证明正确;对于,取AC 中点为M,可得 PM AC,BMAC,且 PMBMM, AC平面 PMB, AC PB.故也正确 答案: 三、解答题 (本大题共 5 小题解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16.如图, 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F 分别是 BB1、CD 的中 点 (1)证明: ADD1F; (2)求
11、AE 与 D1F 所成的角 解: (1)证明 :因为 AC1是正方体, 所以 AD面 DC1. 又 D1F DC1,所以 ADD1F. (2)取 AB 的中点 G,连接 A1G,FG, 因为 F 是 CD 的中点,所以GFAD, 又 A1D1 AD,所以 GFA1D1, 故四边形GFD1A1是平行四边形,A1GD1F.设 A1G 与 AE 相交于 H, 则 A1HA 是 AE 与 D1F 所成的角 因为 E 是 BB1的中点,所以RtA1AG ABE, GA1A GAH,从而 A1HA 90 , 即直线 AE 与 D1F 所成的角为直角 17已知圆C:x 2(y1)25,直线 l: mxy1m
12、0(mR) (1)判断直线l 与圆 C 的位置关系; (2)设直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,若直线l 的倾斜角为120 ,求弦 AB 的长 解: (1)直线 l 可改写为 y1m(x1), 因此直线 l 过定点 D(1,1), 又12 11 21 5, 所以点 D 在圆 C 内,则直线l 与圆 C 必相交 (2)由题意知m 0,所以直线l 的斜率 km. 又 ktan 120 3,即 m3. 此时,圆心C(0,1)到直线 l:3xy31 0的距离 d |3| 3 212 3 2 ,又圆 C 的半径 r5, 所以 |AB| 2r 2d22 5 3 2 2 17. 18在正方体ABCDA
13、1B1C1D1中,棱长为 a,M,N 分别为 A1B 和 AC 上的点,且 A1M AN. (1)求证: MN平面 BB1C1C; (2)当 A1MAN 2 3 a 时,求 MN 的长 解: (1)证明 :如图所示,作MPAB 交 BB1于 P,NQAB 交 BC 于 Q,所以 MPNQ.因为 PM A1B1 BM A1B, 即 PM a BM 2a.又因为 NC AC NQ AB ,所以 NC 2a NQ a ,所以 PMNQ,所以四边形MPQN 是平行四边形, 所以 MN PQ. 又因为 PQ平面 BB1C1C,所以 MN平面 BB1C1C. (2)由题设 ANA1M 2 3 a,所以 B
14、Q a 3PB1, 所以 BP 2 3a,所以 MNPQ BP 2BQ2 5 3 a. 19一个简单多面体的直观图和三视图如图所示,它的主视图和左视图都是腰长为1 的 等腰直角三角形,俯视图为正方形,E 是 PD 的中点 (1)求证: PB平面 ACE; (2)求证: PCBD; (3)求三棱锥C-PAB 的体积 解: (1)证明 :连接 BD,BDACO,连接 OE,易知 OE 是 BPD 的中位线, BPOE.OE平面 ACE,PB?平面 ACE, PB平面 ACE. (2) 证明 :俯视图为正方形,即ABCD 是正方形, ACBD.PA平面 ABCD, PABD.PAACA,BD平面 P
15、 AC,PC平面 P AC, PCBD. (3)易知正方形ABCD 的边长为1,PA1,VC-PAB VP-ABC 1 3 1 211 1 1 6. 20已知坐标平面上点M(x,y)与两个定点M1(26,1),M2(2,1)的距离之比等于5. (1)求点 M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形; (2)记(1)中的轨迹为C,过点 M(2,3)的直线 l 被 C 所截得的线段的长为8,求直线l 的 方程 解: (1)由题意,得 |M1M| |M2M| 5, x26 2 y12 x 2 2 y12 5,化简,得x2 y2 2x2y230.即(x1)2(y1)225. 点 M 的轨迹方程是(x1)2 (y 1)225, 轨迹是以 (1,1)为圆心,以5 为半径的圆 (2)当直线 l 的斜率不存在时,l:x 2,此时所截得的线段的长为25 2328, l: x 2 符合题意 当直线 l 的斜率存在时,设l 的方程为 y3k(x2),即 kxy 2k3 0, 圆心到 l 的距离 d |3k2| k 21. 由题意,得 |3k2| k 2 1 24252.解得 k5 12. 直线 l 的方程为 5 12xy 23 6 0,即 5x12y46 0. 综上,直线l 的方程为x 2 或 5x12y460.
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