2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)函数及其表示(含解析).pdf
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1、第一节函数及其表示 知识能否忆起 1函数的概念 (1)函数的定义: 一般地,设A, B 是两个非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A 中的任意一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应;那么就称f:AB 为从集 合 A 到集合 B 的一个函数记作yf(x),xA. (2)函数的定义域、值域: 在函数 yf(x),xA 中,x 叫做自变量, x 的取值范围A 叫做函数的定义域;与x 的值 相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合 f(x)|xA叫做函数的值域显然,值域是集合B 的子集 (3)函数的三要素:定义域、值域和对应关系 (4)相等函数:如果两个函数的定义域和对应
2、关系完全一致,则这两个函数相等,这是 判断两函数相等的依据 2函数的表示法 表示函数的常用方法有:解析法、图象法、列表法 3映射的概念 设 A,B 是两个非空的集合,如果按照某一个确定的对应关系f,使对于集合A 中的任 意一个元素x,在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应,那么称对应f:AB 为集合 A 到集合 B 的一个映射 4分段函数 若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函 数通常叫做分段函数分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数 小题能否全取 1(教材习题改编)设 g(x)2x3,g(x2)f(x),则 f(x)等于 () A 2x1B2
3、x1 C2x3 D2x7 解析: 选 Df(x)g(x2)2(x 2)32x 7. 2(2012 江西高考 )设函数 f(x) x 21,x1, 2 x,x1, 则 f(f(3)() A. 1 5 B3 C.2 3 D.13 9 解析: 选 Df(3) 2 3,f(f(3) 2 3 2113 9 . 3已知集合A0,8,集合 B0,4 ,则下列对应关系中,不能看作从A 到 B 的映射 的是 () Af:xy 1 8x Bf:xy 1 4x Cf:x y 1 2x Df:xyx 解析: 选 D按照对应关系f:xyx,对 A 中某些元素 (如 x8),B 中不存在元素与 之对应 4已知 f 1 x
4、 x25x,则 f(x)_. 解析: 令 t 1 x,则 x 1 t .所以 f(t) 1 t 2 5 t . 故 f(x)5x1 x 2 (x 0) 答案: 5x1 x 2(x0) 5(教材习题改编)若 f(x)x 2bxc,且 f(1)0,f(3)0,则 f(1)_. 解析: 由已知得 1bc0, 93bc0, 得 b 4, c 3. 即 f(x)x24x3. 所以 f(1)(1)24(1) 38. 答案: 8 1.函数与映射的区别与联系 (1)函数是特殊的映射,其特殊性在于集合A 与集合 B 只能是非空数集,即函数是 非空数集 A 到非空数集B 的映射 (2)映射不一定是函数,从A 到
5、B 的一个映射, A、B 若不是数集,则这个映射便不 是函数 2 定义域与值域相同的函数,不一定是相同函数 如函数 yx 与 yx1,其定义域与值域完全相同,但不是相同函数;再如函数y sin x 与 ycos x,其定义域与值域完全相同,但不是相同函数因此判断两个函数是否相 同,关键是看定义域和对应关系是否相同 3 求分段函数应注意的问题 在求分段函数的值f(x0)时,一定要首先判断x0属于定义域的哪个子集,然后再代 入相应的关系式;分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集 函数的基本概念 典题导入 例 1有以下判断: (1)f(x) |x| x 与 g(x) 1,x0
6、, 1,x0,所以 t1, 故 f(x)的解析式是f(x)lg 2 x1(x1) (3)设 f(x)ax 2bxc(a 0), 由 f(0)0,知 c0,f(x)ax2bx, 又由 f(x 1) f(x)x1, 得 a(x 1)2b(x1)ax2bxx1, 即 ax2 (2ab)xa bax2(b1)x1, 所以 2abb1, ab1, 解得 ab 1 2. 所以 f(x) 1 2x 21 2x(x R) 由题悟法 函数解析式的求法 (1)配凑法:由已知条件f(g(x)F(x),可将 F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x 替 代 g(x),便得 f(x)的解析式 (如例 (1); (2
7、)待定系数法: 若已知函数的类型(如一次函数、 二次函数 ),可用待定系数法(如例 (3); (3)换元法: 已知复合函数f(g(x)的解析式, 可用换元法, 此时要注意新元的取值范围(如 例(2); (4)方程思想:已知关于f(x)与 f 1 x 或 f(x)的表达式,可根据已知条件再构造出另外一 个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x)(如 A 级 T6) 以题试法 2(1)已知 f(x1)x2x,求 f(x)的解析式; (2)设 yf(x)是二次函数,方程f(x)0 有两个相等实根,且f(x)2x2,求 f(x)的解 析式 解: (1)法一: 设 tx1,则 x(t1)2(t1); 代
8、入原式有f(t)(t1)22(t1)t22t1 2t2t21. 故 f(x)x21(x1) 法二: x2 x(x)2 2 x 11(x1) 21, f(x1)(x1)21(x1 1), 即 f(x)x21(x1) (2)设 f(x)ax 2bxc(a 0), 则 f(x)2axb2x2, a1,b2,f(x)x 22x c. 又方程 f(x)0 有两个相等实根, 44c 0,c1,故 f(x)x22x1. 分 段 函 数 典题导入 例 3(2012 广州调研考试 )设函数 f(x) 2 x,x , 1 , x 2,x1, , 若 f(x)4,则 x 的取值 范围是 _ 自主解答 当 x4,得
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