2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)圆的方程(含解析).pdf
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1、圆_的_方_程 知识能否忆起 1圆的定义及方程 定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹 ) 标准 方程 (xa) 2(yb)2r2 (r0) 圆心: (a, b),半径: r 一般 方程 x 2 y2 DxEyF0 (D 2E24F0) 圆心: D 2 , E 2 , 半径: 1 2 D 2 E24F 2点与圆的位置关系 点 M(x0,y0)与圆 (xa)2(y b)2r2的位置关系: (1)若 M(x0,y0)在圆外,则 (x0a) 2 (y 0b) 2r2. (2)若 M(x0,y0)在圆上,则 (x0a) 2 (y 0b) 2 r2. (3)若 M(x0,y0)在圆内,则 (x0
2、a) 2 (y 0b) 2r2. 小题能否全取 1(教材习题改编)方程 x 2 y2 4mx 2y5m0 表示圆的充要条件是 () A. 1 4m1 Bm 1 4 或 m1 Cm1 4 Dm1 解析: 选 B由 (4m)244 5m0 得 m 1 4或 m1. 2(教材习题改编)点(1,1)在圆 (xa) 2(ya)24内,则实数 a 的取值范围是() A(1,1) B(0,1) C(, 1) (1, ) D(1, ) 解析: 选 A点 (1,1)在圆的内部, (1a)2(1a)24, 1 a1. 3圆心在y 轴上,半径为1,且过点 (1,2)的圆的方程为() Ax 2 (y2)21 Bx 2
3、(y2)21 C(x1) 2(y3)2 1 Dx2(y3)21 解析: 选 A设圆心坐标为(0,b),则由题意知0 1 2 b22 1,解得 b2,故 圆的方程为x2(y2)21. 4 (2012 潍坊调研 )圆 x 22xy230的圆心到直线 x3y30的距离为 _ 解析: 圆心 (1,0),d |1 3| 13 1. 答案: 1 5(教材习题改编)圆心在原点且与直线xy2 0相切的圆的方程为 _ 解析: 设圆的方程为x2y2a2(a0) |2| 11 a, a2, x2y22. 答案: x 2y22 1.方程 Ax 2BxyCy2DxEyF0 表示圆的充要条件是: (1)B0; (2)AC
4、 0;(3)D 2E24AF0. 2求圆的方程时,要注意应用圆的几何性质简化运算 (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上 (2)圆心在任一弦的中垂线上 (3)两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线 圆的方程的求法 典题导入 例 1(1)(2012顺义模拟 )已知圆 C 关于 y 轴对称,经过点(1,0)且被 x 轴分成两段弧长 之比为 12,则圆 C 的方程为 () A. x 3 3 2y24 3 B. x 3 3 2y21 3 Cx 2 y 3 3 24 3 Dx 2 y 3 3 21 3 (2)已知圆 C 经过 A(5,1), B(1,3)两点, 圆心在 x 轴上,则圆 C 的方程为 _
5、 自主解答 (1)由已知知圆心在y 轴上,且被 x 轴所分劣弧所对圆心角为 2 3 , 设圆心 (0, b),半径为r,则 r sin 31,rcos 3|b|,解得 r 2 3 ,|b| 3 3 ,即 b 3 3 . 故圆的方程为x2 y 3 3 24 3. (2)圆 C 的方程为x 2y2DxF0, 则 26 5DF0, 10 DF0, 解得 D 4, F 6. 圆 C 的方程为x2y24x60. 答案 (1)C(2)x 2y24x60 由题悟法 1利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a,b,r 或 D,E,F 的方程组 2利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程,体
6、现了数形 结合思想的运用 以题试法 1(2012 浙江五校联考)过圆 x 2y24 外一点 P(4,2)作圆的两条切线,切点分别为 A, B,则 ABP 的外接圆的方程是() A(x 4) 2(y2)2 1 Bx2(y2)24 C(x2) 2(y1)2 5 D(x2)2(y1)25 解析: 选 D易知圆心为坐标原点O,根据圆的切线的性质可知OAPA,OBPB, 因此 P,A,O,B 四点共圆, PAB 的外接圆就是以线段OP 为直径的圆,这个圆的方程是 (x2) 2(y1)25. 与圆有关的最值问题 典题导入 例 2(1)(2012湖北高考 )过点 P(1,1)的直线,将圆形区域 (x, y)
7、|x 2y24分为两部分, 使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为() Axy20 B y10 Cxy0 D x3y40 (2)P(x, y)在圆 C:(x1) 2 (y 1)21 上移动,则 x2y2的最小值为 _ 自主解答 (1)当圆心与P 的连线和过点P 的直线垂直时,符合条件圆心O 与 P 点 连线的斜率k1,直线 OP 垂直于 x y20. (2)由 C(1,1)得|OC|2,则 |OP|min 21,即 (x2y2)min2 1.所以 x2y2的最小 值为 (21)232 2. 答案 (1)A(2)322 由题悟法 解决与圆有关的最值问题的常用方法 (1)形如u yb xa的
8、最值问题,可转化为定点 (a,b)与圆上的动点(x,y)的斜率的最值问 题(如 A 级 T9); (2)形如 taxby 的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题(如以题试法2(2); (3)形如 (xa) 2(yb)2 的最值问题,可转化为动点到定点的距离的最值问题(如例 (2) 以题试法 2(1)(2012东北三校联考 )与曲线 C:x 2y2 2x2y0 相内切,同时又与直线 l:y 2x 相切的半径最小的圆的半径是_ (2)已知实数x,y 满足 (x2) 2(y1)21 则 2xy 的最大值为 _,最小值为 _ 解析: (1)依题意, 曲线 C 表示的是以点C(1,1)为圆心,2为半
9、径的圆, 圆心 C( 1, 1)到直线y2x 即 xy20 的距离等于 |1 12| 2 22,易知所求圆的半径等 于2 22 2 3 2 2 . (2)令 b2xy, 则 b 为直线 2xy b在 y 轴上的截距的相反数,当直线 2xy b 与圆 相切时, b 取得最值由 |221b| 5 1.解得 b5 5,所以 2x y 的最大值为55,最 小值为 55. 答案: (1)3 2 2 (2)5555 与圆有关的轨迹问题 典题导入 例 3(2012 正定模拟 )如图,已知点A(1,0)与点 B(1,0),C 是圆 x 2 y21 上的动点,连接BC 并延长至D,使得 |CD|BC|,求 AC
10、 与 OD 的交点 P 的轨迹方程 自主解答 设动点 P(x, y),由题意可知P 是 ABD 的重心 由 A(1,0),B(1,0),令动点C(x0,y0), 则 D(2x01,2y0),由重心坐标公式得 x 112x01 3 , y 2y0 3 , 则 x0 3x1 2 , y0 3y 2 y00 , 代入 x2y21,整理得 x 1 3 2y24 9(y0), 故所求轨迹方程为x 1 3 2 y24 9(y0) 由题悟法 求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采用以下方法: (1)直接法:直接根据题目提供的条件列出方程 (2)定义法:根据直线、圆、圆锥曲线等定义列方程 (3)几何法
11、:利用圆与圆的几何性质列方程 (4)代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式等 以题试法 3(2012 郑州模拟 )动点 P 到点 A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2 倍,则动点P 的 轨迹方程为 () Ax 2 y232 Bx2y216 C(x1) 2y216 Dx2(y1)216 解析: 选 B设 P(x,y),则由题意可得2x 2 2y2 x8 2 y2,化简整理得 x2 y 216. 1圆 (x 2) 2y25 关于原点 P(0,0)对称的圆的方程为() A(x 2) 2y25 Bx2(y2)25 C(x2) 2(y2)2 5 Dx2(y2)25 解析:选
12、A圆上任一点 (x, y)关于原点对称点为(x, y)在圆 (x2)2y25 上,即( x2) 2(y)25.即(x2)2y25. 2(2012 辽宁高考 )将圆 x 2y22x4y10 平分的直线是 ( ) Axy10 Bxy30 Cxy1 0 Dx y30 解析: 选 C要使直线平分圆,只要直线经过圆的圆心即可,圆心坐标为(1,2)A,B, C,D 四个选项中,只有C 选项中的直线经过圆心 3(2012 青岛二中期末)若圆 C 的半径为1,圆心在第一象限,且与直线 4x 3y0 和 x 轴都相切,则该圆的标准方程是() A(x 3) 2 y7 3 21 B(x2)2(y1)21 C(x1)
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