2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)平面向量的概念及其线性运算(含解析).pdf
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1、第一节平面向量的概念及其线性运算 知识能否忆起 一、向量的有关概念 1向量:既有大小又有方向的量叫向量;向量的大小叫做向量的模 2零向量:长度等于0 的向量,其方向是任意的 3单位向量:长度等于1 个单位的向量 4平行向量:方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量,规定:0 与任一向量共线 5相等向量:长度相等且方向相同的向量 6相反向量:长度相等且方向相反的向量 二、向量的线性运算 向量运算定义法则 (或几何意义 )运算律 加法求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 (1)交换律: abb a; (2)结合律: (ab)c a(bc) 减法 求 a 与 b 的相反向量 b的和的运算叫做
2、a 与 b 的差 三角形法则 三、向量的数乘运算及其几何意义 1定义:实数 与向量 a 的积是一个向量,这种运算叫向量的数乘,记作 a,它的长 度与方向规定如下: | a| |a|; 当 0 时, a 的方向与a 的方向相同;当 |b|,则 ab; , 为实数,若 a b,则 a 与 b 共线 其中假命题的个数为() A1B 2 C3 D 4 自主解答 不正确当起点不在同一直线上时,虽然终点相同,但向量不共线 正确ABDC, |AB|DC|且ABDC. 又 A,B,C, D 是不共线的四点, 四边形 ABCD 是平行四边形 反之,若四边形ABCD 是平行四边形,则AB 綊 DC 且AB与DC方
3、向相同,因此AB DC. 不正确两向量不能比较大小 不正确 当 0 时,a 与 b 可以为任意向量,满足 a b,但 a 与 b 不一定共线 答案 C 由题悟法 1平面向量的概念辨析题的解题方法 准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键,特别是对相等向量、零向量等概念的 理解要到位,充分利用反例进行否定也是行之有效的方法 2几个重要结论 (1)向量相等具有传递性,非零向量的平行具有传递性; (2)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量; (3)向量平行与起点的位置无关. 以题试法 1设 a0为单位向量,若 a 为平面内的某个向量,则a|a|a0;若 a 与 a0平行,则 a|a|a0;
4、若 a 与 a0平行且 |a|1,则 aa0.上述命题中,假命题的个数是() A0 B 1 C2 D 3 解析: 选 D向量是既有大小又有方向的量,a 与|a|a0的模相同,但方向不一定相同, 故是假命题;若a 与 a0平行,则a 与 a0的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向 时 a |a|a0,故也是假命题综上所述,假命题的个数是3. 向量的线性运算 典题导入 例 2(1)(2011四川高考 )如图,正六边形ABCDEF 中,BACD EF () A0BBE CADDCF (2)在 ABC 中,已知D 是 AB 边上一点,若AD 2DB,CD 1 3 CACB,则 等于 () A. 2
5、 3 B.1 3 C 1 3 D 2 3 自主解答 (1)如图,在正六边形ABCDEF 中,CDAF ,BF CE , BACDEFBAAFEFBFEFCEEF CF. (2)CDCAAD,CDCBBD, 2CDCACBADBD. 又AD2DB, 2CDCACB 1 3 AB CACB 1 3( CBCA) 2 3CA 4 3CB . CD 1 3 CA 2 3 CB,即 2 3. 答案 (1)D(2)A 若(2)中的条件作如下改变:若点D 是 AB 边延长线上一点且|BD|BA|,若 CD CBCA,则 的值为 _ 解析: CDCAADCA 2ABCA2(CBCA)2CBCACB CA. 2
6、, 1. 3. 答案: 3 由题悟法 在进行向量的线性运算时要尽可能转化到平行四边形或三角形中,运用平行四边形法 则、三角形法则求解,并注意利用平面几何的性质,如三角形中位线、相似三角形等知识 以题试法 2(2012 汉阳调研 )若 A, B,C,D 是平面内任意四点,给出下列式子: ABCDBCDA;ACBDBCAD; ACBDDCAB.其中正确的有 () A0 个B 1 个 C2 个D 3 个 解析:选 C式的等价式是ABBCDACD, 左边ABCB, 右边DA DC,不一定相等; 式的等价式是ACBCADBD,ACCBADDB AB成立;式的等价式是ACDCABBD,ADAD成立 共 线
7、 向 量 典题导入 例 3设两个非零向量a 与 b 不共线 (1)若AB ab,BC2a8b,CD3(ab)求证: A,B,D 三点共线; (2)试确定实数k,使 kab 和 akb 共线 自主解答 (1)证明:ABab,BC2a 8b, CD3(a b), BDBCCD2a8b 3(ab) 2a8b3a3b 5(ab) 5AB. AB,BD共线, 又它们有公共点B, A,B,D 三点共线 (2)kab 与 akb 共线,BC 存在实数 ,使 kab (akb), 即 kab akb. (k )a(k1)b. a,b 是不共线的两个非零向量, k k10,即 k210. k 1. 由题悟法 1
8、当两向量共线时,只有非零向量才能表示与之共线的其他向量,解决向量共线问题 要注意待定系数法和方程思想的运用 2证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与 联系 以题试法 3已知 a,b 不共线,OA a,OB b,OCc,ODd,OBe,设 t R,如 果 3ac,2bd,e t(ab),是否存在实数t 使 C, D, E 三点在一条直线上?若存在,求 出实数 t 的值,若不存在,请说明理由 解: 由题设知,CDdc2b 3a,CEec (t3)atb,C,D,E 三点在一条 直线上的充要条件是存在实数k,使得CEkCD,即 (t3)atb 3ka2kb, 整理得
9、 (t33k)a(2kt)b. 因为 a,b 不共线,所以有 t33k0, t2k0, 解之得 t6 5. 故存在实数t 6 5使 C,D,E 三点在一条直线上 1下列等式:0a a; ( a)a; a (a)0; a0 a; aba (b)正确的个数是() A2B3 C4 D5 解析: 选 Ca( a)0,故错 2(2012 福州模拟 )若 abc0,则 a,b,c() A都是非零向量时也可能无法构成一个三角形 B一定不可能构成三角形 C都是非零向量时能构成三角形 D一定可构成三角形 解析: 选 A当 a,b,c 为非零向量且不共线时可构成三角形,而当a,b,c 为非零向 量共线时不能构成三
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