2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)直线、平面平行的判定及性质(含解析).pdf
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1、第四节直线、平面平行的判定及性质 知识能否忆起 一、直线与平面平行 1判定定理 文字语言图形语言符号语言 判定定理 平面外一条直线与此平 面内的一条直线平行,则 直线与此平面平行 a? b? ba ? a 2性质定理 文字语言图形语言符号语言 性质定理 一条直线与一个平面平 行,则过这条直线的任 一平面与此平面的交线 与该直线平行 a a? b ? ab 二、平面与平面平行 1判定定理 文字语言图形语言符号语言 判定定理 一个平面内的两条相交 直线与另一个平面平 行,则这两个平面平行 a? b? a bP a b ? 2两平面平行的性质定理 文字语言图形语言符号语言 性质定理 如果两个平行平面
2、同时 和第三个平面相交,那 么它们的交线平行 a b ? a b 小题能否全取 1(教材习题改编)下列条件中,能作为两平面平行的充分条件的是() A一个平面内的一条直线平行于另一个平面 B一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 解析: 选 D由面面平行的定义可知,一平面内所有的直线都平行于另一个平面时,两 平面才能平行,故D 正确 2已知直线a,b,平面 ,则以下三个命题: 若 ab, b? ,则 a ; 若 ab, a ,则 b ; 若 a ,b ,则 ab. 其中真命题的个数是() A0B 1 C2 D 3
3、 解析: 选 A对于命题,若ab,b? ,则应有 a或 a? ,所以不正确; 对于命题,若a b,a ,则应有b或 b? ,因此也不正确; 对于命题,若a ,b ,则应有 ab 或 a 与 b 相交或 a 与 b 异面,因此也不正 确 3(教材习题改编)若一直线上有相异三个点A,B, C 到平面 的距离相等,那么直线 l 与平面 的位置关系是() AlB l Cl 与 相交且不垂直D l或 l? 解析: 选 D由于 l 上有三个相异点到平面的距离相等,则l 与 可以平行, l? 时 也成立 4平面 平面 ,a? ,b? ,则直线a,b 的位置关系是 _ 解析: 由 可知, a,b 的位置关系是
4、平行或异面 答案: 平行或异面 5 (2012 衡阳质检 )在正方体ABCDA1B1C1D1中, E 是 DD1的中点,则 BD1与平面 ACE 的位置关系为 _ 解析: 如图 连接 AC,BD 交于 O 点,连接 OE,因为 OEBD1,而 OE? 平面 ACE,BD1?平面 ACE, 所以 BD1平面 ACE. 答案: 平行 1.平行问题的转化关系: 线线判定 判定 性质 线面 判定 性质 面面性质 2在解决线面、 面面平行的判定时,一般遵循从“低维”到“高维”的转化,即从“线 线平行”到“线面平行”,再到“面面平行”;而在性质定理的应用中,其顺序恰好相反, 但也要注意,转化的方向总是由题
5、目的具体条件而定,决不可过于“模式化” 3辅助线 (面)是求证平行问题的关键,注意平面几何中位线,平行四边形及相似中有 关平行性质的应用 线面平行、面面平行的基本问题 典题导入 例 1(2011 福建高考 )如图,正方体ABCDA1B1C1D1中, AB2, 点 E 为 AD 的中点,点F 在 CD 上若 EF平面 AB1C,则线段 EF 的长 度等于 _ 自主解答 因为直线EF平面AB1C, EF? 平面ABCD ,且平面 AB1C平面 ABCDAC,所以 EF AC.又因为点E 是 DA 的中点,所以F 是 DC 的中点, 由中位线定理可得EF1 2AC.又因为在正方体 ABCDA1B1C
6、1D1中,AB 2,所以 AC2 2. 所以 EF2. 答案 2 本例条件变为“E 是 AD 中点, F,G,H,N 分别是 AA1,A1D1,DD1与 D1C1的中点, 若 M 在四边形EFGH 及其内部运动”,则M 满足什么条件时,有MN平面 A1C1CA. 解: 如图, GN平面 AA1C1C, EG平面 AA1C1C, 又 GN EGG, 平面 EGN平面 AA1C1C. 当 M 在线段 EG 上运动时,恒有MN平面 AA1C1C. 由题悟法 解决有关线面平行、面面平行的基本问题要注意: (1)判定定理与性质定理中易忽视的条件,如线面平行的判定定理中条件线在面外易忽 视 (2)结合题意
7、构造或绘制图形,结合图形作出判断 (3)举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确 以题试法 1(1)(2012浙江高三调研)已知直线l平面 ,P ,那么过点P 且平行于直线l 的直 线() A只有一条,不在平面内 B有无数条,不一定在平面内 C只有一条,且在平面内 D有无数条,一定在平面内 解析: 选 C由直线l 与点 P 可确定一个平面 ,且平面 ,有公共点,因此它们有 一条公共直线,设该公共直线为m,因为 l ,所以 l m,故过点P 且平行于直线l 的直 线只有一条,且在平面内 (2)(2012潍坊模拟 )已知 m,n,l1,l2表示直线, ,表示平面若 m? ,n? ,l1? , l2
8、? ,l1l2M,则 的一个充分条件是 () Am 且 l1 Bm 且 n Cm且 n l2Dml1且 nl2 解析:选 D由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行,那么这 两个平面平行”可得,由选项D 可推知 . 直线与平面平行的判定与性质 典题导入 例 2(2012 辽宁高考 )如图,直三棱柱ABC ABC, BAC90 , ABAC2,AA 1,点 M,N 分别为AB 和 B C的中点 (1)证明: MN平面 AACC; (2)求三棱锥A MNC 的体积 (锥体体积公式V 1 3Sh,其中 S为底面面积, h 为高 ) 自主解答 (1)证明:法一 :连接 AB、AC,因为
9、点 M,N 分别是 AB 和 BC的中点, 所以点 M 为 AB 的中点 又因为点 N 为 BC的中点, 所以 MNAC. 又 MN?平面 AACC, AC? 平面 AACC, 因此 MN平面 AACC. 法二: 取 AB的中点 P.连接 MP. 而点 M,N 分别为 AB与 BC的中点,所以MPAA , PNAC . 所以 MP平面 A ACC,PN平面 AACC .又 MPPN P, 因此平面 MPN平面 AACC.而 MN? 平面 MPN, 因此 MN平面 AACC. (2)法一 :连接BN,由题意得ANBC ,平面ABC 平面BBCC BC,所以 A N平面 NBC. 又 AN1 2B
10、C1, 故 VAMNCVNAMC 1 2VN ABC1 2VA NBC 1 6. 法二 :VA MNCVANBCVMNBC 1 2VA NBC1 6. 由题悟法 利用判定定理证明线面平行的关键是找平面内与已知直线平行的直线,可先直观判断平 面内是否已有, 若没有, 则需作出该直线,常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过 已知直线作一平面找其交线 以题试法 2(2012 淄博模拟 )如图, 在棱长为2 的正方体ABCD A1B1C1D1 中, E,F 分别是 BD,BB1的中点 (1)求证: EF平面 A1B1CD; (2)求证: EFAD1. 解: (1)在正方体ABCDA1B1C1D1中
11、,连接B1D, 在平面 BB1D 内, E,F 分别为 BD,BB1的中点, EFB1D. 又 B1D? 平面 A1B1CD. EF?平面 A1B1CD, EF平面 A1B1CD. (2)ABCDA1B1C1D1是正方体, AD1A1D,AD1A1B1. 又 A1DA1B1A1, AD1平面 A1B1D. AD1B1D. 又由 (1)知, EFB1D, EFAD1. 平面与平面平行的判定与性质 典题导入 例 3如图, 已知 ABCD A1B1C1D1是棱长为 3 的正方体, 点 E 在 AA1上,点 F 在 CC1上,G 在 BB1上,且 AEFC1B1G1,H 是 B1C1的中点 (1)求证
12、: E,B,F,D1四点共面; (2)求证:平面A1GH平面 BED1F. 自主解答 (1)在正方形AA1B1B 中, AEB1G1, BGA1E2, BG 綊 A1E. 四边形 A1GBE 是平行四边形 A1GBE. 又 C1F 綊 B1G, 四边形 C1FGB1是平行四边形 FG 綊 C1B1綊 D1A1. 四边形 A1GFD1是平行四边形 A1G 綊 D1F. D1F 綊 EB. 故 E,B,F, D1四点共面 (2)H 是 B1C1的中点, B1H 3 2. 又 B1G1, B1G B1H 2 3. 又 FC BC 2 3,且 FCB GB1H90 , B1HG CBF. B1GH C
13、FB FBG . HGFB. GH?面 FBED1,FB? 面 FBED1, GH面 BED1F. 由(1)知 A1G BE,A1G?面 FBED1,BE? 面 FBED1, A1G面 BED1F. 且 HGA1GG, 平面 A1GH平面 BED1F. 由题悟法 常用的判断面面平行的方法 (1)利用面面平行的判定定理; (2)面面平行的传递性( , ? ); (3)利用线面垂直的性质(l ,l ? ) 以题试法 3(2012 北京东城二模)如图,矩形AMND 所在的平面与直角梯 形 MBCN 所在的平面互相垂直,MBNC,MNMB. (1)求证:平面AMB平面 DNC; (2)若 MCCB,求
14、证: BCAC. 证明: (1)因为 MBNC,MB?平面 DNC,NC? 平面 DNC, 所以 MB平面 DNC. 又因为四边形AMND 为矩形,所以MADN. 又 MA?平面 DNC,DN? 平面 DNC. 所以 MA平面 DNC. 又 MAMB M,且 MA,MB? 平面 AMB, 所以平面 AMB平面 DNC. (2)因为四边形AMND 是矩形, 所以 AMMN. 因为平面 AMND 平面 MBCN ,且平面AMND平面 MBCN MN, 所以 AM平面 MBCN. 因为 BC? 平面 MBCN , 所以 AMBC. 因为 MCBC,MCAMM, 所以 BC平面 AMC. 因为 AC?
15、 平面 AMC, 所以 BCAC. 1(2013 浙江模拟 )已知直线m平面 ,直线 n? 平面 ,则下列命题正确的是() A若 n ,则 B若 ,则 mn C若 mn,则 D若 ,则 mn 解析: 选 D由 m , ,n? ? mn. 2平面 平面 的一个充分条件是() A存在一条直线a,a ,a B存在一条直线a,a? ,a C存在两条平行直线a,b,a? ,b? ,a ,b D存在两条异面直线a,b, a? ,b? ,a ,b 解析: 选 D若 l,a l,a? ,a? ,a ,a ,故排除 A.若 l,a? , al,则 a ,故排除B.若 l,a? ,a l,b? ,bl,则 ,b
16、,故排除 C. 3.如图,正方体ABCDA1B1C1D1中, E,F 分别为棱 AB,CC1 的中点,在平面 ADD1A1内且与平面D1EF 平行的直线 ( ) A不存在B有 1 条 C有 2 条D有无数条 解析: 选 D由题设知平面ADD1A1与平面 D1EF 有公共点 D1, 由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共直线l,在平面ADD 1A1内与 l 平行的线有 无数条,且它们都不在平面D1EF 内,由线面平行的判定定理知它们都与平面 D1EF 平行 4(2012 浙江模拟 )已知 , , 是三个不重合的平面,a,b 是两条不重合的直线,有 下列三个条件:a ,b? ; a ,b ;
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