2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)等差数列及其前n项和(含解析).pdf
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1、第二节等差数列及其前n 项和 知识能否忆起 一、等差数列的有关概念 1定义:如果一个数列从第2 项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那 么这个数列就叫做等差数列符号表示为an1and(nN *,d 为常数 ) 2等差中项:数列a,A,b 成等差数列的充要条件是A ab 2 ,其中 A 叫做 a, b 的 等差中项 二、等差数列的有关公式 1通项公式:ana1(n1)d. 2前 n 项和公式: Snna1 n n1 2 d a1ann 2 . 三、等差数列的性质 1若 m,n,p,qN *,且 mnpq,a n 为等差数列,则aman ap aq. 2在等差数列an中, ak,a2k,
2、a3k,a4k,, 仍为等差数列,公差为 kd. 3若 an 为等差数列,则Sn,S2nSn, S3nS2n,, 仍为等差数列,公差为 n2d. 4等差数列的增减性:d0 时为递增数列,且当a10 时前 n 项和 Sn有最大值 5等差数列 an的首项是a1,公差为 d.若其前n 项之和可以写成SnAn 2Bn,则 A d 2,Ba1 d 2,当 d0 时它表示二次函数,数列 an的前 n 项和 SnAn 2 Bn 是 a n成等 差数列的充要条件 小题能否全取 1(2012 福建高考 )等差数列 an 中, a1a510,a47,则数列 an 的公差为 () A1B2 C3 D4 解析: 选
3、B法一 :设等差数列 an 的公差为 d,由题意得 2a14d10, a13d 7. 解得 a11, d2. 故 d2. 法二 :在等差数列an中, a1a52a310, a35. 又 a47,公差d752. 2(教材习题改编)在等差数列 an 中, a2a6 3 2 ,则 sin 2a4 3 () A. 3 2 B.1 2 C 3 2 D 1 2 解析: 选 D a2a6 3 2 , 2a4 3 2 . sin 2a4 3 sin 3 2 3 cos 3 1 2. 3 (2012 辽宁高考 )在等差数列 an中,已知 a4a816, 则该数列前 11 项和 S11 () A58 B 88 C
4、143 D 176 解析: 选 BS11 11 a1a11 2 11 a 4a8 2 88. 4在数列 an中,若 a11,an1an2(n1),则该数列的通项 an_. 解析: 由 an1 an2 知an为等差数列其公差为 2. 故 an1(n1)22n1. 答案 :2n1 5(2012 北京高考 )已知 an为等差数列, Sn为其前 n 项和,若 a11 2,S2a3,则 a2 _,Sn_. 解析: 设 an的公差为 d, 由 S2a3知, a1a2a3,即 2a1da12d, 又 a1 1 2,所以 d 1 2,故 a 2a1 d1, Snna1 1 2n(n1)d 1 2n 1 2(n
5、 2n)1 2 1 4n 21 4n. 答案 :1 1 4n 21 4n 1.与前 n 项和有关的三类问题 (1)知三求二:已知a1、d、n、an、Sn中的任意三个,即可求得其余两个,这体现了方 程思想 (2)Snd 2n 2 a 1 d 2 nAn 2Bn? d2A. (3)利用二次函数的图象确定Sn的最值时,最高点的纵坐标不一定是最大值,最低点的 纵坐标不一定是最小值 2设元与解题的技巧 已知三个或四个数组成等差数列的一类问题,要善于设元, 若奇数个数成等差数列且和 为定值时,可设为, ,a 2d,a d,a,ad,a2d,,; 若偶数个数成等差数列且和为定值时,可设为,,a3d,ad,a
6、d,a3d,, ,其 余各项再依据等差数列的定义进行对称设元 等差数列的判断与证明 典题导入 例 1在数列 an中, a1 3,an2an12 n3(n2,且 nN* ) (1)求 a2,a3的值; (2)设 bn an 3 2 n (nN *),证明: b n是等差数列 自主解答 (1) a1 3, an2an12 n3(n2,且 nN*), a 22a1 2 231, a32a22 3313. (2)证明:对于任意nN *, bn1bn an13 2 n1 an3 2 n 1 2 n1(an12an)3 1 2 n1(2 n13)31, 数列 bn是首项为 a13 2 33 2 0,公差为
7、1 的等差数列 由题悟法 1证明 an 为等差数列的方法: (1)用定义证明:anan1d(d 为常数, n2)? an为等差数列; (2)用等差中项证明:2an1anan2? an为等差数列; (3)通项法: an为 n 的一次函数 ? an 为等差数列; (4)前 n 项和法: SnAn 2Bn 或 S n n a1an 2 . 2用定义证明等差数列时,常采用的两个式子an1 and 和 anan1d,但它们的 意义不同,后者必须加上“n2”,否则n1 时, a0无定义 以题试法 1已知数列 an的前 n项和 Sn是 n 的二次函数,且 a1 2,a22, S3 6. (1)求 Sn; (
8、2)证明:数列 an 是等差数列 解: (1)设 SnAn2 BnC(A0), 则 2ABC, 04A 2BC, 69A 3BC, 解得 A2,B 4,C0.故 Sn2n24n. (2)证明:当n1 时, a1S1 2. 当 n2 时, anSnSn12n24n2( n1)24(n1)4n6. an4n6(nN *) a n1 an4, 数列 an是等差数列 . 等差数列的基本运算 典题导入 例 2(2012 重庆高考 )已知 an 为等差数列,且a1a38,a2a412. (1)求 an的通项公式; (2)记 an的前 n 项和为 Sn,若 a1,ak,Sk2成等比数列,求正整数 k 的值
9、自主解答 (1)设数列 an的公差为d,由题意知 2a12d8, 2a14d12, 解得 a12, d2. 所以 ana1(n1)d22(n1)2n. (2)由(1)可得 Sn n a1an 2 n 22n 2 n(n1) 因为 a1,ak,Sk2成等比数列,所以a2 ka1Sk2. 从而 (2k)22(k2)(k3),即 k25k60, 解得 k6 或 k 1(舍去 ),因此 k6. 由题悟法 1 等差数列的通项公式ana1 (n 1)d及前 n 项和公式 Sn n a1an 2 na1 n n 1 2 d, 共涉及五个量a1, an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想
10、 2数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用,而a1和 d 是等差数列 的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法 以题试法 2(1)在等差数列中,已知a610, S55,则 S8_. (2)(2012江西联考 )设等差数列 an的前 n 项和为 Sn,若 S4 12 S3 9 1,则公差为 _ 解析: (1) a610,S55, a15d 10, 5a110d5. 解方程组得 a1 5, d 3. 则 S88a128d8(5)28344. (2)依题意得S44a1 43 2 d4a16d,S33a1 32 2 d3a13d,于是有 4a16d 12 3a13d 9 1,由此解
11、得d 6,即公差为6. 答案 :(1)44(2)6 等差数列的性质 典题导入 例 3(1)等差数列 an中, 若 a1 a4 a739, a3a6a927, 则前 9项和 S9等于 ( ) A66 B 99 C144 D 297 (2)(2012天津模拟 )设等差数列 an的前 n 项和 Sn,若 S48,S8 20,则 a11a12a13 a14() A18 B17 C16 D15 自主解答 (1)由等差数列的性质及a1a4a739, 可得 3a439,所以 a413.同理, 由 a3a6a927,可得 a69. 所以 S99 a 1a9 2 9 a 4a6 2 99. (2)设 an的公差
12、为d,则 a5 a6a7a8S8S412,(a5a6a7a8) S416d,解 得 d 1 4,a11a12a13 a14S440d18. 答案 (1)B(2)A 由题悟法 1等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n 项和公式等基础知识的推广 与变形,熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题 2应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系 以题试法 3(1)(2012江西高考 )设数列 an,bn都是等差数列,若a1b17,a3b321,则 a5b5_. (2)(2012海淀期末 )若数列 an满足: a119,an1an3(nN *),则数列
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