2014年一元一次方程培优讲义.pdf
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1、宜昌市迈克学习能力培训学校态度决定一切 编写人:胡老师1 培 优 讲 义 一元一次方程 姓名: 宜昌市迈克学习能力培训学校态度决定一切 编写人:胡老师2 一元一次方程知识点 1等式:用“=”号连接而成的式子叫等式. 2等式的性质: 等式性质1:等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式; 等式性质2:等式两边都乘以(或除以)同一个不为零的数,所得结果仍是等式. 3方程:含未知数的等式叫方程. 4方程的解:使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解;注意:“方程的解可直接带入代入”! 5移项:改变符号后,把方程的项从一边移到等号的另一边叫移项. 移项的依据是等式性质1. 6一元
2、一次方程:只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元 一次方程 . 7一元一次方程的标准形式: ax+b=0 (x 是未知数, a、b 是已知数,且a0). 8一元一次方程解法的一般步骤: 去分母 -同乘(不漏乘)最简公分母 去括号 -注意符号变化 移项-变号 合并同类项 -合并后注意符号 系数化为1-未知数系数是几就除以几 10列一元一次方程解应用题: (1)读题分析法 : 多用于“和,差,倍,分问题” 仔细读题,找出表示相等关系的关键字,例如:“大,小,多,少,是,共,合,为,完成,增加,减少, 配套 -” ,利用这些关键字列出文字等式,并且据题意设
3、出未知数,最后利用题目中的量与量的关系填入代 数式,得到方程. (2)画图分析法 : 多用于“行程问题” 利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现,仔细读题,依照题意画出有关图形,使图形各部分 具有特定的含义,通过图形找相等关系是解决问题的关键,从而取得列方程的依据,最后利用量与量之间的关 系(可把未知数看做已知量),填入有关的代数式是获得方程的基础. 宜昌市迈克学习能力培训学校态度决定一切 编写人:胡老师3 各类应用题关系式汇集 (一) 1、日历中的方程 ( 1)一个横行上相邻3 个数是 3 个连续整数,后面一个数比它前面的数大1. 若设中间一个数是x,则它前面一个 数为 x-1,
4、后面一个数为x+1. ( 2)一个竖列上相邻的3 个数, 下面一个数比它上面的一个数大7. 若设中间一个数为x,则它上面一个数为x-7, 下面一个数为x+7 ( 3)日历中的数的特点:日历表上每个月的天数都是不大于31 的正整数 ( 4)日历中存在的数量关系:横行:每一横行相邻两个数之间相差1 竖行:每一列相邻两个数之间相差7 斜向:从左上到右下斜对角相邻两个数之间相差8 从右上到左下斜对角相邻两个数之间相差6 2、数字问题 ( 1)连续整数之间的关系:连续整数中,较大的一个比较小的一个大1. 若设较小整数位x,则较大整数为x+1. ( 2)连续奇数之间的关系:两个连续奇数中,较大的一个比较小
5、的一个大. 若设较大的一个奇数为2n+1, 则较 小的一个奇数为2n-1 ( 3)连续偶数之间的关系:两个连续偶数中,较大的一个偶数比较小的一个偶数大. 若设较大的一个偶数为2n, 则较小的一个奇数为2n-2 ( 4)多位数的表示方法:一个多位数个位数字为a, 十位数字为b,百位数字为c,千位数字为d , 那么这个多 位数可表示为a+10b+100c+1000d (二)、等积变形问题 ( 1)等积问题:变形前的体积变形后的体积。 ( 2)周长为一定时,当长和宽相等时面积最大;面积一定时,当长和宽相等时周长最小 (三)、浓度问题应用题 1、有关浓度问题的数量关系: 溶液质量 =溶质质量 + 溶剂
6、质量浓度 = 溶液 溶质 100% 稀释:加水,溶质不变,溶液增加 加浓:加溶质,水(溶剂)不变,溶液增加 蒸发水,溶质不变,溶液减少 (合金混合问题:混合时所取各物质量的和=混合物的总重量) (四)、百分率应用题 1、打折销售 进价:又叫成本标价:又叫原价或定价售价:即卖价利润:售出高出成本的钱数 标价 =进价 1+提高百分数 售价标价折扣售价 =进价 +利润 =进价 1+利润率 利润售价进价(商品利润=商品售价商品进价) 利润率 商品进价 商品利润 100% 2、存款利息应用题(教育储蓄不需要缴纳利息税) 利息 = 本金 年利率 期数利息税 = 本金 年利率 期数税率(20% ) 利息利息
7、税=应得利息 本息和 =本金 +利息 =本金 +本金 年利率 期数 =本金( 1+利率期数) 宜昌市迈克学习能力培训学校态度决定一切 编写人:胡老师4 年利率 =月利率 12 或月利率 =年利率 12 1 比例分配问题:全部数量=各种成分的数量之和 工程问题中的数量关系: 工作效率 = 工作时间 工作总量 甲、乙工作效率之和=甲的工作效率+乙的工作效率 工作总量 =工作效率工作时间 工作时间 = 工作效率 工作总量 各队合作工作效率=各队工作效率之和 全部工作量之和=各队工作量之和 调配问题:列表法 (五)、行程问题 1、行程问题基本关系式 路程 =速度时间时间 = 速度 路程 速度 = 时间
8、 路程 2、行程问题的等量关系 ( 1)相遇问题中的等量关系 速度和相遇时间=相遇距离甲行的路程 +乙行的路程 =甲、乙出发点间的路程 若甲、乙同时出发:甲行的时间=乙行的时间 ( 2)追及问题中的等量关系 速度差追及时间=追及距离。快者走的路程慢者走的路程=追及路程 若同时出发,追及时快者用的时间=慢者用的时间 3、 轮船在水中航行问题 ( 1)顺流航行 船顺流速度 =船静水速度 +水流速度时间 = 船顺流速度 路程 ( 2)逆流航行 船逆流速度 =船静水速度水流速度时间 = 船逆流速度 路程 顺流速度逆流速度=2水速 4、 环形道上的形成问题 ( 1)同向而行属于追及问题,数量关系式为:快
9、者的路程慢者的路程= 一圈长 ( 2)相背而行,属于相遇问题,数量关系式为:两人所行的路程的和为一圈长 宜昌市迈克学习能力培训学校态度决定一切 编写人:胡老师5 一元一次方程计算题专练 7(2x-1)-3(4x-1)=4(3x+2)-1 (5y+1)+ (1-y)= (9y+1)+ (1-3y) 2(x-2)+2=x+1 2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x) 11x+64-2x=100-9x 15-(8-5x)=7x+(4-3x) 3(x-7)-29-4(2-x)=22 0.52x-(1-0.52)x=80 3x+7=32-2x 3x+5(138-x)=540 3x-7(x-1)=3-2
10、(x+3) 18x+3x-3=18-2(2x-1) 3(20-y)=6y-4(y-11) 34(5y-1)-8=6 (x1) 3(x1)=13x; xx 4 1 32 4 3 (x2)2(4x1)=3(1 x) 1 5 24 2 13xx 2 2 )5( 5 4x x x 4 6 3 3 3 x xx 5 .2 4 5.0 4.2 xx 宜昌市迈克学习能力培训学校态度决定一切 编写人:胡老师6 3157 1 46 xx2151 1 36 xx322 1 26 xx x 12 3 34 yy y 1.51 0.5 30.6 xx2132 1 124 xx x 21 6 x = 21 3 x1 3
11、 y + 2 4 y =3+2y 2(1) 3 x5(1) 6 x 1 专题一:一元一次方程概念的理解 例 1:若 221 920 3 mxx m 是关于 x 的一元一次方程,则方程的解是。 练习: 1. 22 1180mxmx是关于x 的一元一次方程,则代数式199 23 1101mmm的值 为。 2. 已知关于 y 的方程4232yny和方程3261yny的解相同,求n 的值。 3. 已知关于 x 的方程 23 xmm x与 1 32 2 x x的解互为倒数,则m的值是。 4. 若方程321xkx与 6 2 kx k的解互为相反数,则k= 。 宜昌市迈克学习能力培训学校态度决定一切 编写人
12、:胡老师7 5. 若 1113 4220124 x ,则 1 4024 2012 2012 x = 。 6. 已知方程 111 5 420102 x ,则代数式 1 310 2 1005 x 的值是。 7. 当 m取什么数时,关于x 的方程 1514 2323 mxx 的解是正整数 ? 8. 若 k 为整数,则使得方程19992001 2000kxx的解也是整数的k 值有() A.4 个 B.8个 C.12个 D.16个 巩固练习: 1、若方程 2 30 m x是一元一次方程,则m= 2、若26 m mx是关于 x 的一元一次方程,则m 的值为 3、已知关于x 的方程 3x-2m=4 的解是
13、x=m,则 m 的值是 4、已知 x=5 是关于 x 的方程 3x-2a=7 的解,则a的值为 5、已知关于x 的方程 ax+3=4x+1 的解为正整数,则整数a 的值为 6、若 2 340 m mxm是关于 x 的一元一次方程,求代数式 2 1 2mm m 的值 7、已知 x=1 是方程 ax+b=0 的解,计算下列各式的值: ( 1) 22 2ababab(2) 22012 +2+aba b(3) 20132013 ab 8、若关于x 的方程32151xaxa的解减方程 2 1 323 xx 的解得 1 2 ,求 a 的值。 9、已知关于x 的方程2122xmm的解比方程511411xx的
14、解大 2,求 m 的值。 宜昌市迈克学习能力培训学校态度决定一切 编写人:胡老师8 10、已知关于x 的方程 2 1 32 xaxa x与方程3245xx有相同的解,求a 的值。 专题二、方程的解的讨论 当方程中的系数是用字母表示时,这样的方程叫含字母系数的方程,含字母系数的一元一次方程总可以化为ax=b 的形式,继续求解时,一般要对字母系数a、b 进行讨论。 ( 1)当0a时,方程有唯一解 b x a ; ( 2)当0,0ab时,方程无解; ( 3)当0,0ab时,方程有无数个解。 例 2:已知关于x 的方程2132axx无解,试求a 的值。 练习: 1、如果 a,b 为定值,关于x 的方程
15、 2 2 36 kxaxbk ,无论 k 为何值,它的根总是1,求 a,b 的值。 2、对于任何a 值,关于x,y 的方程11axaya有一个与a 无关的解,这个解是() A.2,xy1 B.2,1xy C.2,1xy D.2,1xy 3、若关于x 的方程42axbbxa有无穷多个解,则 4 ab等于() A.0 B.1 C.81 D.256 4、问:当a、 b满足什么条件时,方程251xabx; (1) 有唯一解;( 2)有无数解; ( 3)无解 5、若关于x 的方程311xxk x无解,则k= 。 宜昌市迈克学习能力培训学校态度决定一切 编写人:胡老师9 专题三、实际问题与一元一次方程 1
16、、配套问题与工程问题、行程问题 2、销售盈亏问题与球赛积分问题 3、电话计费问题 1、若干个学生若干个房间,如果每间住3 人,则有4 人没处住,如果每间住4 人,则前面房间住满后刚好空出两 间房。房间有多少间?有多少个学生? 2、某中学计划购买A型和 B型课桌凳200套,经招标,购买一套A型课桌凳比购买一套B型课桌凳少用40 元,且 购买 4 套 A型和 5 套 B型课桌凳共需1820 元。求购买一套A型课桌凳和一套B型课桌凳各需多少元? 数字问题 1、一个两位数,十位上的数字比个位上的数字小4,如果把十位与个位上的数字对调后,那么所得的两位数比原 两位数的2 倍少 12,求原来的两位数。 2
17、、 有一个三位数,个位数字为百位数字的2 倍,十位数字比百位数字大1,若将此数个位与百位顺序对调(个位 变百位)所得的新数比原数的2 倍少 49,求原数。 3、 一个五位数最高位上的数字是2, 如果把这个数字移到个位数字的右边,那么所得的数比原来的数的3 倍多 489, 求原数。 调配问题、配套问题 1、乙两车间各有工人若干,如果从乙车间调100 人到甲车间,那么甲车间的人数是乙车间剩余人数的6 倍;如果 从甲车间调100 人到乙车间,这时两车间的人数相等,求原来甲乙车间的人数。 宜昌市迈克学习能力培训学校态度决定一切 编写人:胡老师10 2、某学校春游,若包租相同的大巴13 辆,那么就有14
18、 人没有座位,如果多租1 辆,那么就多了26 个空位。问: 春游的总人数是多少人? 3、某车间有28 名工人生产螺栓和螺母,每人每小时能生产螺栓12 个或螺母 18 个,已知 1 个螺栓配2 个螺母,应 如何分配生产螺栓和螺母的工人,才能使生产的螺栓和螺母正好配套? 4、一车间有27 名工人,生产甲乙两种零件,每3 个甲种零件与2 个乙种零件配套,已知每名工人每天能生产甲种 零件 12 个或乙种零件16 个,为使每天生产的两种零件配套,应如何分配工人的生产任务? 5、用铁皮做罐头盒,每张铁皮可制作盒身25 个,或制作盒底40 个,一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒,现有 36 张白铁皮,用多少张
19、制盒身,多少张制盒底可以使盒身与盒底正好配套? 工程问题 1、厂生产一批零件,原计划10 天完成,由于采用了新的操作方法,提前3 天完成了任务。已知原计划每天生产零 件个数比采用新方法后每天生产的零件的个数的 3 4 还少 1 个, 求原计划每天生产零件的个数比采用新方法后每天生 产零件的个数少多少? 2、市对城区沿江两岸的部分路段进行亮化工程建设,整个工程拟由甲、乙两个安装公司共同完成从两个公司的 业务资料看到:若两个公司合做,则恰好用12 天完成;若甲、乙合做9 天后,由甲再单独做5 天也恰好完成如 果每天需要支付甲、乙两公司的工程费用分别为1.2 万元和 0.7 万元 试问: ( 1)甲
20、、乙两公司单独完成这项工程各需多少天? ( 2)要使整个工程费用不超过22.5 万元,则乙公司最少应施工多少天? 3、加工一批零件,由一人做需100 小时,现在计划先由若干人做2 小时,再增加5 人做 9 小时,恰好完成任务, 求先做 2 小时有多少人? 宜昌市迈克学习能力培训学校态度决定一切 编写人:胡老师11 打折销售、利润、盈亏问题 1、求售价 ( 1)一件商品原价为120 元,按八折出售,则现价应为元 ( 2)某件商品进价是270 元,八折销售可获利润50 元,则原售价为元 2、求标价 某商品的进价为每件2000 元,如果按标价的80% 出售,每件利润将减少60% ,则该商品的标价是元
21、 某商品的进价是1530 元,若按商品标价的九折出售,利润率是15% ,求该商品的标价。 3、 求进价 某商场对一种商品进行促销,按原价的8 折出售,仍可获利10% (相对于进价) ,此商品的原价是2200 元,则此商 品的进价是多少元? 4、 求利润 某商店老板将一件进价为800 元的商品先提价50% ,再打 8 折卖出,则卖出这件商品所获利润是元 5、 求利润率 某种品牌电视机,每台进价是1200 元,标价是2500 元,为了促销,某商场规定按标价的6 折出售,则此品牌的电 视机的利润是多少?利润率是多少? 6、 求打折数 某商品的进价是2000 元,标价是 3000 元,超市要求按利润为
22、5% 的售价打折出售,售货员可以打几折出售此商品? 7、 商店在某一时间以每件135 元价格卖出两件衣服,其中一件盈利25% ,另一件亏损25% ,卖这两件衣服总的是盈 利还是亏损,或是不盈不亏? 8、 某商店出售一件商品,按定价打九折赚215 元,打八折亏125 元,这件商品进价多少元? 宜昌市迈克学习能力培训学校态度决定一切 编写人:胡老师12 9、 某公司月末的进货价比月初的进货价低8% ,但这批货物的销售价格保持不变,这样,公司按进货价而定的利润 率月末比月初高10% ,问这个公司月初的利润率是多少? 10、每件成本72 元,原来按定价出售,每天可售出100 件,每件利润为成本的25%
23、 ,后来按定价的90% 出售,每 天销售量提高到原来的2.5 倍,照这样计算,每天的利润比原来增加了多少元? 11、生产一种产品,每件成本价是400 元,销售价为510 元。本季度销售了m件,为了扩大市场,该企业决定在 降价销售同时降低生产成本。经过市场调研,预测下季度这种产品每件销售价降低4% 后,销量将提高10% 。要使 销售利润不变,该产品每件的成本应降低多少元? 12、某商场国庆节搞促销活动,购物不超过200 元不给优惠,超过200 元而不超过500 元的优惠10% ,超过 500 元 的,其中500 元按九折优惠,超过的部分按八折优惠,某人两次购物分别用了134 元, 466 元。
24、( 1)此人两次购物其物品实际值多少元? ( 2)在这次活动中他节省了多少钱? ( 3)若两人将这两次的钱合起来一起购物是更节省还是亏损?说明理由。 13、为了拉动内需,广东启动“家电下乡”活动。某家电公司销售给农户的型冰箱和型冰箱在启动活动前一个 月共售出960 台,启动活动后的第一个月销售给农户的型和型冰箱的销量分别比启动活动前一个月增长30% 、 25% ,这两种型号的冰箱共售出1228 台。 ( 1)在启动活动前的一个月,销售给农户的型冰箱和型冰箱分别多少台? 宜昌市迈克学习能力培训学校态度决定一切 编写人:胡老师13 ( 2)若型冰箱每台2298 元,型冰箱1999 元,政府按每台冰
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