《2014年人教A版必修五教案2.3等差数列的前n和.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2014年人教A版必修五教案2.3等差数列的前n和.pdf(14页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、2.3 .1 等差数列的前n 项和(一) 教学目标: 1掌握等差数列前n 项和公式及其推导过程和思想方法 2会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题 3.经历公式的推导过程,体会数形结合的数学思想,体验从特殊到一般的研究方法,学会观 察、归纳、反思 教学重点:等差数列n 项和公式的理解、推导及应 教学难点:灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题 授课类型:新授课 课时安排: 1 课时 内容分析: 本节是在学习了等差数列的概念和性质的基础上,使学生掌握等差数列求和公式,并 能利用它求和解决数列和的最值问题等差数列求和公式的推导,采用了倒序相加法,思路 的获得得
2、益于等到差数列任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和这一性质的 认识和发现通过对等差数列求和公式的推导,使学生能掌握“倒序相加”数学方法 教学过程: 一、复习引入: 首先回忆一下前几节课所学主要内容: 1等差数列的定义: n a 1n a =d , (n2,nN ) 2等差数列的通项公式: dnaan) 1( 1 ( n admnam)( 或 n a =pn+q (p、q 是常数 ) 3几种计算公差d 的方法: d= n a 1n a d= 1 1 n aan d= mn aa mn 4等差中项: , 2 ba ba A 成等差数列 5等差数列的性质:m+n=p+q qpnm aaa
3、a (m, n, p, q N ) 6数列的前n 项和: 数列 n a 中, n aaaa 321 称为数列 n a 的前 n 项和,记 n S . “ 小故事 ”: 高斯是伟大的数学家,天文学家,高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说 : “ 现在给大 家出道题目 : 1+2+,100=?” 过了两分钟 ,正当大家在:1+2=3;3+3=6;4+6=10, 算得不亦乐乎时,高斯站起来回答说: “1+2+3+,+100=5050 教师问:“你是如何算出答案的? 高斯回答说:因为1+100=101; 2+99=101;, 50+51=101,所以 10150=5050” 这个故事告诉我们:
4、(1)作为数学王子的高斯从小就善于观察,敢于思考,所以他能从一些简单的事物中发现 和寻找出某些规律性的东西 (2)该故事还告诉我们求等差数列前n 项和的一种很重要的思想方法,这就是下面我们要 介绍的“倒序相加”法 二、讲解新课: 如图,一个堆放铅笔的V 形架的最下面一层放一支铅笔,往上每一层 都比它下面一层多放一支,最上面一层放120 支,这个 V 形架上共放着 多少支铅笔 ? 这是一堆放铅笔的V形架,这形同前面所接触过的堆放钢管的示意图, 看到此图,大家都会很快捷地找到每一层的铅笔数与层数的关系,而且 可以用一个式子来表示这种关系,利用它便可以求出每一层的铅笔数.那么,这个V 形架上 共放着
5、多少支铅笔呢?这个问题又该如何解决呢?经过分析,我们不难看出, 这是一个等差 数求和问题? 这个问题,它也类似于刚才我们所遇到的“ 小故事 ” 问题, 它可以看成是求等差数列1, 2, 3, , , n, 的前120 项的和 .在上面的求解中,我们发现所求的和可用首项、末项及项数n 来表示, 且任意的第k 项与倒数第k 项的和都等于首项与末项的和,这就启发我们如何去求一般等差 数列的前n 项的和 .如果我们可归纳出一计算式,那么上述问题便可迎刃而解. 1等差数列的前 n项和公式 1: 2 )(1n n aan S 证明: nnn aaaaaS 1321 1221 aaaaaS nnnn +:
6、)()()()(2 23121nnnnnn aaaaaaaaS 23121nnn aaaaaa )(2 1nn aanS 由此得: 2 )( 1n n aan S 从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性 2 等差数列的前 n项和公式 2: 2 )1( 1 dnn naSn 用上述公式要求 n S 必须具备三个条件: n aan, 1 但 dnaan)1( 1 代入公式1 即得: 2 )1( 1 dnn naSn 此公式要求 n S 必须已知三个条件: dan, 1 (有时比较有用) 总之:两个公式都表明要求 n S 必须已知 n adan, 1 中三个 公式二又可化成式子: n) 2
7、d a(n 2 d S 1 2 n ,当 d0,是一个常数项为零的二次式 三、例题讲解 例 1 一个堆放铅笔的V 型的最下面一层放一支铅笔,往上每一层都比它下面一层多放一支, 最上面一层放120 支,这个 V 形架上共放着多少支铅笔? 解:由题意可知,这个V 形架上共放着120 层铅笔,且自下而上各层的铅笔成等差数列, 记为 n a ,其中 120, 1 1201 aa ,根据等差数列前n 项和的公式,得 7260 2 )1201(120 120 S 答: V 形架上共放着7260 支铅笔 例 2 等差数列 -10,-6,-2,2,, 前多少项的和是54? 解:设题中的等差数列为 n a ,前
8、 n 项为 n S 则 54,4)10()6(,10 1n Sda 由公式可得 544 2 )1( 10 nn n 解之得: 3, 9 21 nn (舍去) 等差数列 -10,-6,-2,2, 前9 项的和是54. 例 3 一凸 n 边形各内角的度数成等差数列,公差是10,最小内角为100,求边数 n. 解:由 (n2)180100n 2 ) 1(nn 10, 求得 n 2 17n720, n8 或 n9, 当 n9 时, 最大内角100(91)10180不合题意,舍去,n8. 例 4 在等差数列 n a 中,已知 34 151296 aaaa ,求前 20 项之和 分析:本题可以用等差数列的
9、通项公式和求和公式求 1 a , d 求解;也可以用等差数列的性 质求解 解:法一由 34384 1151296 daaaaa .由 daS 2 1920 20 120 da19020 1 )384(5 1 da 345170 法二由 )(1020 2 )( 201 201 20 aa aa S , 而 201129156 aaaaaa , 所 以 17 201 aa ,所以 1701710 20 a 小结: 在解决等差数列有关问题时,要熟练运用等差数列的一些性质在本题的第二种解法 中,利用 qpnm aaaa )(qpnm 这一性质,简化了计算,是解决这类问题的常 用方法 四巩固练习 1求集
10、合 100*,7|mNnnmmM且 的元素个数,并求这些元素的和 3等差数列 an的首项为 1 a ,公差为d,项数为n,第 n 项为 n a ,前 n 项和为 n S ,请填 写下表: 1 a d n n a n S 5 10 10 -2 8 104 -38 -10 -360 4.在等差数列 n a 中, 4 0.8a , 11 2.2a ,求 515280 aaa . 五、小结本节课学习了以下内容: 1.等差数列的前 n项和公式 1: 2 )( 1n n aan S 2.等差数列的前 n项和公式 2: 2 ) 1( 1 dnn naSn 3. n) 2 d a(n 2 d S 1 2 n
11、,当 d0,是一个常数项为零的二次式 六、课后作业: P46 . 4 题, 6 题 七、板书设计(略) 八、课后记: 学校:临清二中学科:数学编写人:郝伟光一审:李其智二审:马英济 2.3.1 等差数列的前n 项和(一)(学案) 一、 【学习目标】 1、知识与技能 : 掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路;会用等差数列的前n 项和公式 解决一些简单的与前n 项和有关的问题 2、经历公式的推导过程,体会数形结合的数学思想,体验从特殊到一般的研究方法, 学会观察、归纳、反思 二、 【本节重点】等差数列前n项和公式的理解、推导及应用. 三、 【本节难点】灵活运用等差数列前 n项公式解决一些简单的有
12、关问题 四、 【知识储备】 1、 复习:等差数列的概念、通项公式、等差中项,等差数列的性质 2、 (1)一般形式: n aaa, 21 (2)通项公式: )(nfan (3)前 n 项和: nn aaaS 21 3、等差数列 (1)定义: 成等差数列)2( 1nnn andaa (2)通项公式: BAndnaan) 1( 1 推广: dmnaa mn )( (3)性质: 2 ba AAba的的等差中项与 qpnm aaaaqpnm则若, 特别地: pnm aaapnm2,2则若 奇数项 daaa2, 531 成等差数列,公差为 偶数项 daaa2, 642 成等差数列,公差为 五、 【自主学习
13、】 1、学习等差数列 n a 前n项和 n S 公式推导过程。 2、等差数列 n a 的公差为 d ,首项为 1 a ,前n项和 n S 公式( 1) n S , 公式( 2) n S 。 3、前 n 项和公式 n S 与 n 的关系 :式变形 : d nn naS n 2 )1( 1 n d an d ) 2 ( 2 1 2 六、小试身手 1 等差数列 an 中, (1)已知 150 a3,101a 则 50 s =_ (2)已知 1 a3 , 1 2 d 则 10 s =_ 2 等差数列 an 中,已知 1 2 d , 3 a 2 n , 15 2 n s 则 1 a =_及 n=_ 3、
14、等差数列 n a 中,若 2 32 n Snn ,则公差 d . 七、 典型例析 例 1 在等差数列 an中, (1)已知 a1510,a4590,求 60 s (2)已知 S1284,S20460,求 S28; (3)已知 a610,S55,求 a8 和 S8 例 2 在等差数列 n a 中,已知a6+ a9+ a12+ a15 = 34,求前 20 项之和 八、 当堂检测 1一个等差数列前4 项的和是24,前 5 项的和与前2 项的和的差是27,求这个等差数列的 通项公式。 2根据下列各题的条件,求相应等差数列的未知数. 1) 3 1 a , 12nan , 195 n S 求 nd, 2
15、) 16 62 aa , 39 6 S 求 n ad, 3. , 3d7 2 a , 12n ,求 n Sa , 1 4. 在等差数列 n a 中, a2+a5=19 S5 =40 则 a10 为 (A)27 (B)28 (C)29 (D)30 5. 在等差数列 n a 中, d=2, n a =11, Sn =35 则 a1 为 (A)5 或 7 (B)3 或 5 ( C)7 或 1 (D)3 或 1 6. 已知数列 1,2,3,4,,2n, 则其和为,奇数项的和为。 九、重点概念总结应用 等差数列 an的首项为 1 a ,公差为 d,项数为 n,第 n 项为 n a ,前 n 项和为 n
16、S ,请填写下 表: 1 adn n a n S 5 10 10 -2 8 104 -38 -10 -360 检测答案: 1. n a =2n+1. 2. d=2 ,n=13 3. 246, 4 121 sa 4. C 5.A 6. nns n 2 2 2 , 2 ns奇 学校:临清二中学科:数学编写人:郝伟光一审:李其智二审:马英济 2.3.2 等差数列的前n 项和(二) 教学目标 1.知识与技能:进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式;了解等差数列的一些 性质,并会用它们解决一些相关问题;会利用等差数列通项公式与前项和的公式研究 的最值; 2.过程与方法:经历公式应用的过程; 3
17、.情感态度与价值观: 通过有关内容在实际生活中的应用,使学生再一次感受数学源于生活, 又服务于生活的实用性,引导学生要善于观察生活,从生活中发现问题,并数学地解决问题。 教学重点 熟练掌握等差数列的求和公式 教学难点 灵活应用求和公式解决问题 授课类型:新授课 教学过程 .课题导入 首先回忆一下上一节课所学主要内容: 1.等差数列的前 n项和公式 1: 2 )(1n n aan S 2.等差数列的前 n项和公式 2: 2 ) 1( 1 dnn naSn .讲授新课 例 1.已知一个等差数列的前10 项的和是310,前 20 项的和是1220, 求其前 n项和的公式 . 解:由题设: 310 1
18、0 S1 2 2 0 20 S 得: 122019020 3104510 1 1 da da 6 4 1 d a : 易得: nn nn nsn 2 36 2 ) 1( 4 探究1. nnn sss 32 , 之间的关系 例 2. 已知数列 , n a 是等差数列, n S 是其前 n 项和, 求证: 6 S , 12 S - 6 S , 18 S - 12 S 成等差数列; nnnnn SSSSS 232 , ( Nn )成等差数列 证明:设 , n a 首项是 1 a ,公差为 d 则 6543216 aaaaaaS 121110987612 aaaaaaSS )6()6()6()6()6
19、()6( 654321dadadadadada dSdaaaaaa3636)( 6654321 1817161514131218 aaaaaaSS )6()6()6()6()6()6( 121110987 dadadadadada daaaaaa36)( 121110987 dSS36)( 612 12186126 ,SSSSS 是以 36d 为公差的等差数列 同理可得 nnnnn SSSSS 232 , 是以 2 n d 为公差的等差数列. 例 3. 已知数列 n a 的前 n 项和为 nnsn 2 12 ,求这个数列的通项公式. 解:根据 nnn aaaas 121 与 1211nn aa
20、as , (n1) 得: 当 n1 时, 2 1 21 2 1 1 2 1 2 2 1 nnnnnssa nnn 当 n=1 时, 2 3 1 2 1 1 2 11 sa 也满足式 所以数列 n a 的通项公式为: 2 1 2nan 探究 2. 课本 P51 的探究活动 一般地,如果一个数列 , n a 的前 n 项和为 2 n Spnqnr , 其中 p、 q、 r 为常数,且 0p , 那么这个数列一定是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是多少? 分析:由 2 n Spnqnr ,得 11 Sapqr 当 2n 时 1nnn aSS = 22 () (1)(1)pnqnrp nq nr
21、 = 2()pnpq 1 2()2(1)() nn daapnpqp npq =2p 结论:通项公式是 11 1 ,1 2(),2 n nn Sapqrn a SSpnpqn 当时 当时 探究 3. 对等差数列的前 n项和公式 2: 2 )1( 1 dnn naSn 可化成式子: n) 2 d a(n 2 d S 1 2 n ,当 d0,是一个常数项为零的二次式,那么它有何作用呢? 例 4. 已知等差数列 , 7 4 3 , 7 2 4,5 的前n 项和 n s ,求使得 n s 最大的序号n 的值 . 解:由题意得,等差数列 , 7 4 3 , 7 2 4,5 的公差为 7 5 ,所以 56
22、 1125 2 15 14 5 14 575 ) 7 5 )(1(52 2 2 2 n nn n n sn 于是,当 n 取与 2 15 最接近的整数即7 或 8 时, n s 取最大值。 例 5. 在数列 n a 中,已知 nan225 , (n N*),那么使其前n 项和 Sn取得最大值的 n 值等于. 解:依题意知, 1 a 0 . 12 a 0, 13 a 0,d0,前 n 项和有最小值 可由 n a 0,且 1n a 0,求得 n 的值 利用 n S : 由 n) 2 d a(n 2 d S 1 2 n 利用二次函数配方法求得最值时n 的值 .课堂练习 已知等差数列的前n 项和为 a
23、,前 2n 项和为 b,求前 3n 项和。 2.已知数列 n a 的前 n 项和为 3 3 2 4 12 nnsn ,求这个数列的通项公式. 3. 等差数列 n a 中, 4 a 15, 公差 d3, 求数列 n a 的前 n 项和 n S 的最小值 . 4. 等差数列 n a 的第 10 项为 23,第 25 项为 22,求此数列 (1)第几项开始为负? (2)前 10 项的和? (3)从首项到第几项之和开始为负? 5. 在等差数列 n a 中,已知a1=25, S9= S17 ,问数列前多少项和最大,并求出最大值。 .课时小结 1. n S 表示 n a , ).Nn, 1n(SS ),1
24、n(S a * 1nn 1 n 2差数列前项和的最值问题有两种方法: (1)当 n a 0,d0,前 n 项和有最小值 可由 n a 0,且 1n a 0,求得 n 的值。 (2)由 n) 2 d a(n 2 d S 1 2 n 利用二次函数配方法求得最值时n 的值 3. nnnnn SSSSS 232 , 是以 2 n d 为公差的等差数列. .课后作业 课本 P46 3 题 学校:临清二中学科:数学编写人:郝伟光一审:李其智二审:马英济 2.3.2 等差数列的前n 项和(二) 一 【学习目标】 1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式 . 2.了解等差数列的一些性质,并会用它们
25、解决求通项公式,求前n 项和的最值等问题 二 【学习重点】熟练掌握等差数列的求和公式 三 【本节难点】灵活应用求和公式解决相关问题 四【知识储备】 1、 1 () 2 n n n aa S 1 (1) 2 n n nad 2、前 n 项和公式 n S 与 n 的关系 :式变形 : d nn naSn 2 )1( 1 n d an d ) 2 ( 2 1 2 五 【自主学习】 阅读并完成课本例2例 4 探究下列问题: 1. n a 是等差数列, n S 是其前n 项和,参考课本46 页 B 组 2 题,探究 kkk sss 32 , 的关系 ( kkkkk SSSSS 232 , ( Nk )仍
26、成等差数列) 2. 完成例3,已知数列an的前n 项的和为Sn,则Sn 与Sn-1 之间的递推关系式 是.由此可推得,数列an的通项公式an= . 3等差数列 an的前 n 项和与二次函数的关系是.,如何从中读出 公差,求最值 . 六 小试身手 1 数列 n a 前n项和 nnSn9 2 ,且 85 k a ,则正整数 k _ 2 设等差数列 n a 前n项和 n S ,若 36,9 63 SS ,则 987 aaa 3. 等差数列 n a 前n项和为 n s ,若 1617 0,0ss ,则当 n=_时, n s 最大 七 典型例析 例 1 在等差数列 an中, 10 100s , 100
27、10s ,求 110 s 例 2 已知数列 n a 的前 n 项和为 nnsn 2 1 2 ,求这个数列的通项公式. 例 3 在等差数列 an中,已知a125,S9S17,问数列前多少项和最大,并求出最大值 . 八、 当堂检测 1. 数列 n a 是等差数列的一个充要条件是 (A)Sn=an2+bn+c (B)Sn=an2+bn (C)Sn=an2+bn+c )0(a (D) Sn=an2+bn )0(a 2、等差数列 an中, d 为公差 .若前 n 项的和为Sn= -n2,则() A.an=2n-1,d= -2 B. an=2n-1,d= 2 C. an= -2n+1,d= -2 D. an= -2n+1,d= 2 3.一个等差数列的前10 项和为 100,前 100 项和为 10,求它的前110 项和 4.已知数列 an的前 n 项和 *)(2 2 12 NnnnSn ,判断数列 an是否为等差数列,并证 明你的结论; 5在等差数列 n a 中, 4 a 15, 公差 d3, 求数列 n a 的前 n 项和 n S 的最小值 6设等差数列 n a 的前 n 项和为 n S ,已知 3 a 12, 12 S 0, 13 S 0, 6 a 7 a 0, 6 a 0, 6 S 最大 .
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