2014年人教A版选修2-1教案3.1空间向量及其运算.pdf
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1、3.1 空间向量及其运算 第一课时3.1.1 空间向量及其加减运算-3.1.2 空间向量的数乘运算 教学要求 :理解空间向量的概念,掌握其表示方法;会用图形说明空间向量加法、减法、数 乘向量及它们的运算律;能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题 教学重点 :空间向量的加减与数乘运算及运算律 教学难点 :由平面向量类比学习空间向量 教学过程 : 一、复习引入 1、有关平面向量的一些知识:什么叫做向量?向量是怎样表示的呢? 既有大小又有方向的量叫向量向量的表示方法有:用有向线段表示;用字母a、b等表 示; 用有向线段的起点与终点字母:AB长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 2.
2、 向量的加减以及数乘向量运算: 向量的加法: 向量的减法: 实数与向量的积: 实数 与向量a的积是一个向量,记作a,其长度和方向规定如下:|a| | |a| (2) 当 0 时, a与a同向;当 0 时, a与a反向;当 0 时, a0. 3. 向量的运算运算律:加法交换律:a b b a 4. 三个力都是200N,相互间夹角为60,能否提起一块重500N 的钢板? 二、新课讲授 1. 定义:我们把空间中具有大小和方向的量叫做空间向量向量的大小叫做向量的长度或 模. 举例?表示?(用有向线段表示)记法? 零向量?单位向量?相反向量? 讨论:相等向量?同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量
3、 讨论:空间任意两个向量是否共面? 2. 空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样: OBOAAB=a + b , ABOBOA(指向被减向量) , OPa()R(请学生说说数乘运算的定义?) 3. 空间向量的加法与数乘向量的运算律 加法交换律:a + b = b + a; 加法结合律:(a + b ) + c=a+ ( b+ c); 数乘分配律: (a + b ) =a + b ; 数乘结合律: (ua) =( u)a 4. 推广: 12233411nnn A AA AA AAAA A; 12233411 0 nnn A AA AA AAAA A;空间平行四边形法则 5. 出
4、示例: 已知平行六面体 (底面是平行四边形的四棱柱)ABCDA B C D (如图),化简下列向量表达式,并标出化简结果的向量: ABBC;ABADAA; 1 (3) 2 ABADCC; 1 ( ) 3 ABADAA 师生共练 变式训练 6. 小结:概念、运算、思想(由平面向量类比学习空间向量) 第二课时3.1.2 空间向量的数乘运算(2) 教学要求 :了解共线或平行向量的概念,掌握表示方法; 理解共线向量定理及其推论;掌握 空间直线的向量参数方程;会运用上述知识解决立体几何中有关的简单问题 教学重点 :空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式 教学过程 : 一、复习引入 1. 回顾平
5、面向量向量知识:平行向量或共线向量?怎样判定向量b 与非零向量 a是否共 线? 方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量 由于任何一组平行向量都可以平移到同一条 直线上,所以平行向量也叫做共线向量 向量 b 与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数 ,使 b a.称平面向量共线 定理, 二、新课讲授 1.定义:与平面向量一样,如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这 些向量叫做 共线向量 或平行向量a平行于 b 记作a/b 2关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论: 共线向量定理:空间任意两个向量a、b(b0) ,a / b 的充要条件是存在实数 ,使a b . 理解:
6、上述定理包含两个方面:性质定理:若a b (a0) ,则有 b a,其 中是唯一确定的实数。判断定理:若存在唯一实数,使 b a(a0) ,则有a b(若用此结论判断a、 b 所在直线平行,还需a(或 b )上有一点不在b (或a)上) . 对于确定的和a,b a表示空间与a平行或共线, 长度为|a|,当 0 时与a 同向,当0 时与a反向的所有向量. 3. 推论: 如果 l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量 a的直线,那么对于任意一点O, 点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数t 满足等式OPOAta 其中向量a叫做直线l 的 方向向量 . 推论证明如下: l/a ,对于 l 上任意
7、一点P,存在唯一的实数t,使得APta(*) 又对于空间任意一点O,有APOPOA, OPOAta ,OPOAta 若在 l 上取ABa,则有OPOAt AB(*) 又A BO BO A()OPOAt OBOA(1)t O At O B 当 1 2 t时, 1 () 2 OPOAOB 理解:表达式和都叫做空间直线的向量参数表示式,式是线段的中点公式 事 实上,表达式 (*) 和 (*) 既是表达式和的基础,也是直线参数方程的表达形式 表达式和三角形法则得出的,可以据此记忆这两个公式 推论一般用于解决空间中的三点共线问题的表示或判定 空间向量共线(平行)的定义、共线向量定理与平面向量完全相同,是
8、平 面向量相关知识的推广 4. 出示例1:用向量方法证明顺次连接空间四边形四边中点的四边形是平行四 边形 . (分析:如何用向量方法来证明?) 5. 出示例 2: 如图 O 是空间任意一点, C、 D 是线段 AB 的三等分点, 分别用OA、 OB表示OC、OD. 三、巩固练习 :作业: O A B C D 第三课时3.1.2 空间向量的数乘运算(3) 教学要求 :了解向量与平面平行、共面向量的意义,掌握向量与平面平行的表示方法;理解 共面向量定理及其推论;掌握点在已知平面内的充要条件;会用上述知识解决立几中有关的 简单问题 教学重点 :点在已知平面内的充要条件 教学难点 :对点在已知平面内的
9、充要条件的理解与运用 教学过程 : 一、复习引入 1. 空间向量的有关知识共线或平行向量的概念、共线向量定理及其推论以及空间直线 的向量表示式、中点公式 2. 必修平面向量 ,平面向量的一个重要定理平面向量基本定理:如果e1、e2是同 一平面内两个不共线的向量,那么对这一平面内的任意一个向量a,有且只有一对实数 1、 2,使 a1e12e2.其中不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 基底 二、新课讲授 1. 定义: 如果表示空间向量a 的有向线段所在直线与已知平面平行或在平面内,则称 向量 a 平行于平面 ,记作 a/ 向量与平面平行,向量所在的直线可以在平面内,而直线与平面平
10、行时两者是没有公共点 的 2. 定义: 平行于同一平面的向量叫做共面向量共面向量不一定是在同一平面内的,但可 以平移到同一平面内 3. 讨论:空间中任意三个向量一定是共面向量吗?请举例说明 结论:空间中的任意三个向量不一定是共面向量例如:对于空间四边形 ABCD,AB、AC、AD这三个向量就不是共面向量 4. 讨论:空间三个向量具备怎样的条件时才是共面向量呢? 5. 得出 共面向量定理:如果两个向量a、b 不共线,则向量p 与向量 a、b共 面的充要条件是存在实数对x,y,使得p= xa+yb 证明:必要性:由已知,两个向量a、b不共线 向量 p与向量 a、b 共面 由平面向量基本定理得:存在
11、一对有序实数对x,y,使得p= xa+yb 充分性:如图,xa,yb分别与 a、b 共线,xa,yb 都在 a、b 确定的平面内 又xa+yb是以 xa、 yb为邻边的平行四边形的一条对角线所表示的向量,并且 此平行四边形在a、b 确定的平面内, p= xa+yb 在 a、b确定的平面内,即向量p 与向量 a、b共面 说明:当 p、a、b都是非零向量时,共面向量定理实际上也是p、a、b 所在的三条直线共 面的充要条件, 但用于判定时, 还需要证明其中一条直线上有一点在另两条直线所确定的平 面内 6. 共面向量定理的推论是:空间一点P 在平面 MAB 内的充要条件是存在有序实数对x, y, 使得
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- 2014 年人教 选修 教案 3.1 空间 向量 及其 运算
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