4-2-4_燕尾定理[1].题库教师版.doc资料.pdf
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1、4- 2- 4 燕尾定理题库page 1 of 18 燕尾定理: 在三角形ABC 中,AD,BE, CF 相交于同一点O ,那么: ABOACO SSBDDC O F E D CB A 上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段,因为ABO 和ACO 的形状很象燕子的尾巴,所以这 个定理被称为燕尾定理该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用,它的特殊性在于,它可以存在于任何 一个三角形之中,为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径. 通过一道例题证明一下燕尾定理: 如右图,D是 BC 上任意一点,请你说明: 1423 :SSSSBDDC S3 S1S4 S2 E D C B A
2、【解析】 三角形 BED与三角形 CED 同高,分别以BD、 DC 为底, 所以有 14 :SSBDDC ;三角形ABE与三角形EBD同高, 12 :SSEDEA ;三角形ACE 与三角形 CED 同高,43: :SSEDEA,所以 1423 :SSSS ;综上可得 1423 :SSSSBDDC . 【例1】(2009 年第七届希望杯五年级一试试题)如图,三角形ABC 的面积是1,E是 AC 的中点,点D在 BC 上,且 :1: 2BDDC,AD与BE交于点F则四边形DFEC 的面积等于 F E D C B A 3 3 3 21 F E D C B A A BC D E F 【解析】 方法一:
3、连接CF , 例题精讲 燕尾定理 4- 2- 4 燕尾定理题库page 2 of 18 根据燕尾定理, 1 2 ABF ACF SBD SDC ,1 ABF CBF SAE SEC , 设1 BDF S份,则2 DCF S份,3 ABF S份,3 AEFEFC SS 份,如图所标 所以 55 1212 DCEFABC SS 方法二:连接DE,由题目条件可得到 11 33 ABDABC SS , 1121 2233 ADEADCABC SSS ,所以 1 1 ABD ADE SBF FES , 1111111 22323212 DEFDEBBECABCSSSS , 而 211 323 CDEAB
4、CSS 所以则四边形DFEC 的面积等于 5 12 【巩固】如图,已知BDDC ,2ECAE ,三角形ABC 的面积是 30 ,求阴影部分面积. D E F CB A D E F CB A D E F CB A 【解析】 题中条件只有三角形面积给出具体数值,其他条件给出的实际上是比例的关系,由此我们可以初步 判断这道题不应该通过面积公式求面积. 又因为阴影部分是一个不规则四边形,所以我们需要对它 进行改造,那么我们需要连一条辅助线, ( 法一 ) 连接 CF ,因为 BDDC ,2ECAE ,三角形ABC 的面积是30, 所以 1 10 3 ABEABC SS , 1 15 2 ABDABC
5、SS 根据燕尾定理, 1 2 ABF CBF SAE SEC ,1 ABF ACF SBD SCD , 所以 1 7.5 4 ABFABCSS ,157.57.5 BFDS , 所以阴影部分面积是30107.512.5 ( 法二 ) 连接DE,由题目条件可得到 1 10 3 ABEABCSS , 112 10 223 BDEBECABCSSS ,所以 1 1 ABE BDE SAF FDS , 111111 2.5 223232 DEFDEAADCABC SSSS , 而 21 10 32 CDEABC SS 所以阴影部分的面积为12.5 【巩固】 如图,三角形 ABC 的面积是 2 200c
6、m ,E在 AC上, 点D在 BC 上,且:3: 5AE EC,:2:3BDDC, AD与BE交于点F则四边形DFEC 的面积等于 4- 2- 4 燕尾定理题库page 3 of 18 F E D C B A A BC D E FF E D CB A 【解析】 连接 CF , 根据燕尾定理, 26 39 ABF ACF SBD SDC , 36 510 ABF CBF SAE SEC , 设6 ABF S份,则9 ACF S份,10 BCF S份, 545 9 358 EFC S份, 3 106 23 CDF S份, 所以 24545 200(6910)(6)8(6)93 (cm ) 88 D
7、CFE S 【巩固】如图,已知3BDDC ,2ECAE ,BE与 CD 相交于点 O , 则ABC被分成的4部分面积各占ABC 面积的几分之几? O E D CB A 13.5 4.5 9 2 1 1 2 13 O E D CB A 【解析】 连接 CO ,设1 AEO S份,则其他部分的面积如图所示,所以1291830 ABC S份,所以四部 分按从小到大各占ABC面积的 124.51393 13.59 , 303060 30103020 【巩固】 ( 2007 年香港圣公会数学竞赛) 如图所示,在ABC中, 1 2 CPCB , 1 3 CQCA , BQ与AP相交于 点X,若ABC的面积
8、为 6 ,则ABX的面积等于 X Q P AB C X Q P AB C 4 4 1 1 X Q P C B A 【解析】 方法一:连接PQ 由于 1 2 CPCB , 1 3 CQCA ,所以 2 3 ABQABC SS, 11 26 BPQBCQABC SSS 由蝴蝶定理知, 21 :4:1 36 ABQBPQABCABC AXXPSSSS, 所以 44122 62.4 55255 ABXABPABCABC SSSS 方法二:连接CX 设1 CPX S份,根据燕尾定理标出其他部分面积, 所以6(1144)42.4 ABX S 【巩固】如图,三角形ABC 的面积是1,2BDDC ,2CEAE
9、 ,AD与BE相交于点F,请写出这4部分 4- 2- 4 燕尾定理题库page 4 of 18 的面积各是多少? A B C D E F 48 6 2 1 A B C D E F 【解析】 连接 CF ,设1 AEFS 份,则其他几部分面积可以有燕尾定理标出如图所示,所以 1 21 AEF S, 62 217 ABF S, 8 21 BDF S, 242 217 FDCE S 【巩固】如图,E在 AC 上,D在 BC 上,且:2:3AE EC,:1: 2BDDC,AD与BE交于点F 四边形 DFEC 的面积等于 2 22 cm ,则三角形ABC 的面积 A B C D E F A B C D
10、E F 2.4 1.6 2 A B C D E F 1 2 【解析】 连接 CF ,根据燕尾定理, 1 2 ABF ACF SBD SDC , 2 3 ABF CBF SAE SEC , 设1 BDF S份 , 则2 DCF S份 ,2 ABF S份 ,4 AFC S份 , 2 41 . 6 23 AEFS 份, 3 42.4 23 EFC S份,如图所标 ,所以22.44.4 EFDC S份,2349 ABC S份 所以 2 224.4945 (cm ) ABC S 【巩固】三角形ABC 中, C 是直角,已知2AC,2CD,3CB,AMBM,那么三角形AMN ( 阴影 部分 ) 的面积为多
11、少? A BC D M N A BC D M N 【解析】 连接 BN ABC的面积为 3223 根据燕尾定理,:2:1ACNABNCDBD; 同理:1:1CBNCANBMAM 设AMN面积为 1 份,则MNB的面积也是1 份,所以ANB的面积是 112份,而 ACN的 面积就是224份,CBN也是4 份,这样ABC的面积为 441110份,所以AMN的 面积为 31010.3 【巩固】如图,长方形ABCD 的面积是2平方厘米,2ECDE ,F是 DG 的中点阴影部分的面积是多少 4- 2- 4 燕尾定理题库page 5 of 18 平方厘米 ? x y y x A BC D EF G G F
12、E D CB A 33 G F E D CB A 2 1 3 【解析】 设1 DEF S份,则根据燕尾定理其他面积如图所示 55 1212 BCDSS 阴影 平方厘米 . 【例2】如图所示,在四边形ABCD 中,3ABBE ,3ADAF ,四边形AEOF 的面积是12,那么平行四边 形 BODC 的面积为 _ O F ED C B A 6 8 4 6 2 1 O F ED C B A 【解析】 连接,AO BD ,根据燕尾定理:1: 2 ABOBDO SSAFFD ,:2:1 AODBOD SSAE BE ,设1 BEO S, 则其他图形面积,如图所标,所以221224 BODCAEOF SS
13、. 【例3】 ABCD 是边长为 12厘米的正方形,E、F分别是AB、 BC 边的中点,AF与 CE 交于 G ,则四边形 AGCD 的面积是 _平方厘米 G F E DC B A G F E DC BA 【解析】 连接 AC 、GB , 设1 A G C S份,根据燕尾定理得1 AGB S份,1 BGC S份,则11126S正方形 () 份,314 ADCG S份,所以 22 126496 (cm ) ADCG S 【例4】如图,正方形ABCD 的面积是 120平方厘米,E是AB的中点,F是 BC 的中点,四边形BGHF的 面积是 _平方厘米 H G F E D CB A H G F E D
14、 CB A 【解析】 连接BH,根据沙漏模型得:1: 2BG GD,设1 BHC S份,根据燕尾定理2 CHD S份,2 BHD S份, 因此122)210S正方形(份, 127 236 BFHG S,所以 7 1201014 6 BFHG S(平方厘米 ). 4- 2- 4 燕尾定理题库page 6 of 18 【例5】如图所示,在ABC中,:3:1BE EC,D是AE的中点,那么:AFFC F E D CB A F E D CB A 【解析】 连接 CD 由于:1:1 ABDBED SS ,:3: 4 BEDBCD SS ,所以:3: 4 ABDBCD SS , 根据燕尾定理,:3: 4
15、ABDBCD AFFCSS 【巩固】在ABC 中,:3: 2BDDC,:3:1AEEC,求:OBOE? A BCD E O A BCD E O 【解析】 连接 OC 因为:3:2BDDC,根据燕尾定理,:3: 2 AOBAOC SSBDBC,即 3 2 AOBAOCSS; 又:3:1AE EC,所以 4 3 AOCAOESS则 334 2 223 AOBAOCAOEAOESSSS, 所以:2 :1 AOBAOE OB OESS 【巩固】在ABC 中,:2:1BDDC,:1: 3AE EC,求:OBOE? A BC D E O 【解析】 题目求的是边的比值,一般来说可以通过分别求出每条边的值再作
16、比值,也可以通过三角形的面积 比来做桥梁,但题目没告诉我们边的长度,所以应该通过面积比而得到边长的比本题的图形一看 就联想到燕尾定理,但两个燕尾似乎少了一个,因此应该补全,所以第一步要连接OC 连接 OC A BCD E O 4- 2- 4 燕尾定理题库page 7 of 18 因为:2:1BDDC,根据燕尾定理,:2:1 AOBAOC SSBDBC,即2 AOBAOC SS; 又:1: 3AE EC,所以4 AOCAOE SS则2248 AOBAOCAOEAOE SSSS, 所以:8:1 AOBAOEOB OESS 【例6】(2009 年清华附中入学测试题)如图,四边形ABCD 是矩形, E
17、、F分别是AB、 BC 上的点,且 1 3 AEAB , 1 4 CFBC ,AF与 CE 相交于 G ,若矩形ABCD 的面积为 120,则AEG 与CGF 的 面积之和为 A B C D E F G H A B C D E F G A B C D E F G 【解析】 ( 法 1) 如图,过 F做 CE 的平行线交AB于H,则:1: 3EHHBCFFB , 所以 1 2 2 AEEBEH , :2AG GFAE EH,即2AGGF , 所以 12231 10 33942 AEGABFABCD SSS 且 2231 3342 EGHFECEC ,故 CGGE ,则 1 15 2 CGFAEG
18、 SS 所以两三角形面积之和为10515 ( 法 2) 如上右图,连接AC 、 BG 根据燕尾定理,:3:1 ABGACG SSBF CF,:2:1 BCGACG SSBEAE, 而 1 60 2 ABCABCD SS, 所以 3 321 ABG S, 1 6030 2 ABC S, 2 321 BCG S, 1 6020 3 ABC S, 则 1 10 3 AEGABG SS, 1 5 4 CFGBCG SS, 所以两个三角形的面积之和为15 【例7】如右图,三角形ABC 中,:4: 9BDDC,:4:3CEEA,求:AFFB O F E D CB A 【解析】 根据燕尾定理得:4:912:
19、 27 AOBAOC SSBD CD :3: 412:16 AOBBOC SSAE CE (都有AOB的面积要统一,所以找最小公倍数) 所以:27:16: AOCBOC SSAF FB 【点评】 本题关键是把AOB的面积统一,这种找最小公倍数的方法,在我们用比例解题中屡见不鲜,如果 能掌握它的转化本质,我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量! 4- 2- 4 燕尾定理题库page 8 of 18 【巩固】如右图,三角形ABC 中,:3: 4BDDC,:5:6AE CE,求:AFFB . OF E DCB A 【解析】 根据燕尾定理得:3: 415: 20 AOBAOC SSBDCD :5:
20、615:18 AOBBOC SSAE CE (都有AOB的面积要统一,所以找最小公倍数) 所以:20:1810:9: AOCBOC SSAFFB 【巩固】如图,:2:3BDDC,:5: 3AE CE,则:AFBF G F E D C B A 【解析】 根据燕尾定理有:2:310:15 ABGACG SS ,:5: 310 :6 ABGBCG SS ,所以 :15: 65: 2: ACGBCGSSAFBF 【巩固】如右图,三角形ABC 中,:2:3BDDC,:5:4EA CE,求:AFFB . OF E D CB A 【解析】 根据燕尾定理得:2:310:15 AOBAOC SSBD CD :5
21、: 410:8 AOBBOC SSAE CE (都有AOB的面积要统一,所以找最小公倍数) 所以:15:8: AOCBOCSSAFFB 【点评】 本题关键是把AOB的面积统一,这种找最小公倍数的方法,在我们用比例解题中屡见不鲜,如果 能掌握它的转化本质,我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量! 【例8】( 2008 年“学而思杯” 六年级数学试题) 如右图, 三角形 ABC 中,:3: 2AFFBBDDCCEAE, 且三角形ABC 的面积是1,则三角形ABE的面积为 _,三角形AGE 的面积为 _,三角 形 GHI 的面积为 _ 4- 2- 4 燕尾定理题库page 9 of 18 I H
22、G F E D CB A I H G F E D CB A 【分析】 连接AH、BI、 CG 由于:3: 2CEAE,所以 2 5 AEAC ,故 22 55 ABEABC SS; 根据燕尾定理,:2 :3 ACGABG SSCDBD,:3: 2 BCGABG SSCEEA,所以 :4: 6:9 ACGABGBCG SSS,则 4 19 ACG S, 9 19 BCG S; 那么 2248 551995 AGEAGCSS ; 同样分析可得 9 19 ACHS ,则:4 : 9 A CGAC HEGEHSS,:4:19ACGACBEG EBSS,所以 :4:5:10EG GHHB,同样分析可得:
23、10 :5:4AG GIID, 所以 5521 101055 BIEBAESS, 5511 1919519 GHIBIESS 【巩固】如右图,三角形ABC 中,:3: 2AFFBBD DCCEAE,且三角形 GHI 的面积是1,求三角形 ABC 的面积 I H G F E DC B A I H G F E DC B A 【解析】 连接 BG, AGC S 6 份 根据燕尾定理,:3: 26: 4 AGCBGC SSAFFB ,:3: 29:6 ABGAGC SSBDDC 得4 BGC S( 份) ,9 ABG S(份) ,则19 ABC S( 份) ,因此 6 19 AGC ABC S S ,
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