《偏微分方程概述及运用matlab求解偏微分方程常见问题》要点.pdf
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1、北京航空航天大学 偏微分方程概述及运用matlab 求解微分方 程求解常见问题 姓名徐敏 学号57000211 班级380911 班 2011 年 6 月 偏微分方程概述及运用matlab 求解偏微分 方程常见问题 徐敏 摘要 偏微分方程简介, matlab 偏微分方程工具箱应用简介,用这个 工具箱解方程的过程是:确定待解的偏微分方程;确定边界条件;确 定方程所在域的几何形状;划分有限元;解方程 关键词 MATLAB 偏微分方程程序 如果一个微分方程中出现的未知函数只含有一个自变量,这 个方程叫做常微分方程,也简称微分方程:如果一个微分方程中 出现多元函数的偏导数,或者说如果未知函数和几个变量
2、有关, 而且方程中出现未知函数对几个变量的导数,那么这种微分方程 就是偏微分方程。 一,偏微分方程概述 偏微分方程是反映有关的未知变量关于时间的导数和关于空间 变量的导数之间制约关系的等式。 许多领域中的数学模型都可以用偏 微分方程来描述, 很多重要的物理、 力学等学科的基本方程本身就是 偏微分方程。 早在微积分理论刚形成后不久,人们就开始用偏微分方 程来描述、解释或预见各种自然现象, 并将所得到的研究方法和研究 成果运用于各门科学和工程技术中,不断地取得了显著的成效, 显示 了偏微分方程对于人类认识自然界基本规律的重要性。逐渐地,以物 理、力学等各门科学中的实际问题为背景的偏微分方程的研究成
3、为传 统应用数学中的一个最主要的内容,它直接联系着众多自然现象和实 际问题,不断地提出和产生出需要解决的新课题和新方法,不断地促 进着许多相关数学分支 (如泛函分析、微分几何、计算数学等 )的发展, 并从它们之中引进许多有力的解决问题的工具。偏微分方程已经成为 当代数学中的一个重要的组成部分,是纯粹数学的许多分支和自然科 学及工程技术等领域之间的一座重要的桥梁。 在国外,对偏微分方程的应用发展是相当重视的。很多大学和研 究单位都有应用偏微分方程的研究集体,并得到国家工业、 科学部门 及军方、航空航天等方面的大力资助。 比如在国际上有重大影响的美 国的 Courant 研究所、法国的信息与自动化
4、国立研究所等都集中了相 当多的偏微分方程的研究人员,并把数学模型、数学方法、应用软件 及实际应用融为一体, 在解决实际课题、 推动学科发展及加速培养人 才等方面都起了很大的作用。 在我国,偏微分方程的研究起步较晚。但解放后,在党和国家的 大力号召和积极支持下,我国偏微分方程的研究工作发展比较迅速, 涌现出一批在这一领域中做出杰出工作的数学家,如谷超豪院士、 李 大潜院士等,并在一些研究方向上达到了国际先进水平。但总体来说, 偏微分方程的研究队伍的组织和水平、研究工作的广度和深度与世 界先进水平相比还有很大的差距。因此,我们必须继续努力,大力加 强应用偏微分方程的研究,逐步缩小与世界先进水平的差
5、距 二,偏微分方程的内容 偏微分方程是什么样的?它包括哪些内容?这里我们可从一 个例子的研究加以介绍。 弦振动是一种机械运动,当然机械运动的基本定律是质 点力学的 F=ma,但是弦并不是质点,所以质点力学的定律并不适 用在弦振动的研究上。然而,如果我们把弦细细地分成若干个极 小极小的小段,每一小段抽象地看作是一个质点,这样我们就可 以应用质点力学的基本定律了。 弦是指又细又长的弹性物质,比如弦乐器所用的弦就是 细长的、柔软的、带有弹性的。演奏的时候,弦总是绷紧着具有 一种张力,这种张力大于弦的重量几万倍。当演奏的人用薄片拨 动或者用弓在弦上拉动,虽然只因其所接触的一段弦振动,但是 由于张力的作
6、用,传播到使整个弦振动起来。 用微分的方法分析可得到弦上一点的位移是这一点所在 的位置和时间为自变量的偏微分方程。偏方程又很多种类型,一 般包括椭圆型偏微分方程、抛物型偏微分方程、双曲型偏微分方 程。上述的例子是弦振动方程,它属于数学物理方程中的波动方 程,也就是双曲型偏微分方程。 偏微分方程的解一般有无穷多个,但是解决具体的物理 问题的时候,必须从中选取所需要的解,因此,还必须知道附加 条件。因为偏微分方程是同一类现象的共同规律的表示式,仅仅 知道这种共同规律还不足以掌握和了解具体问题的特殊性,所以 就物理现象来说,各个具体问题的特殊性就在于研究对象所处的 特定条件,就是初始条件和边界条件。
7、 拿上面所举的弦振动的例子来说,对于同样的弦的弦乐 器,如果一种是以薄片拨动弦,另一种是以弓在弦上拉动,那么 它们发出的声音是不同的。原因就是由于“拨动”或“拉动”的 那个“初始”时刻的振动情况不同,因此产生后来的振动情况也 就不同。 天文学中也有类似情况,如果要通过计算预言天体的运 动,必须要知道这些天体的质量,同时除了牛顿定律的一般公式 外,还必须知道我们所研究的天体系统的初始状态,就是在某个 起始时间,这些天体的分布以及它们的速度。在解决任何数学物 理方程的时候,总会有类似的附加条件。 就弦振动来说, 弦振动方程只表示弦的内点的力学规律, 对弦的端点就不成立,所以在弦的两端必须给出边界条
8、件,也就 是考虑研究对象所处的边界上的物理状况。边界条件也叫做边值 问题。 当然,客观实际中也还是有“没有初始条件的问题”, 如定场问题(静电场、稳定浓度分布、稳定温度分布等),也有 “没有边界条件的问题”,如着重研究不靠近两端的那段弦,就 抽象的成为无边界的弦了。 在数学上,初始条件和边界条件叫做定解条件。偏微分 方程本身是表达同一类物理现象的共性,是作为解决问题的依据; 定解条件却反映出具体问题的个性,它提出了问题的具体情况。 方程和定解条件合而为一体,就叫做定解问题。 求偏微分方程的定解问题可以先求出它的通解,然后再 用定解条件确定出函数。但是一般来说,在实际中通解是不容易 求出的,用定
9、解条件确定函数更是比较困难的。 偏微分方程的解法还可以用分离系数法,也叫做傅立叶 级数;还可以用分离变数法,也叫做傅立叶变换或傅立叶积分。 分离系数法可以求解有界空间中的定解问题,分离变数法可以求 解无界空间的定解问题;也可以用拉普拉斯变换法去求解一维空 间的数学物理方程的定解。对方程实行拉普拉斯变换可以转化成 常微分方程,而且初始条件也一并考虑到,解出常微分方程后进 行反演就可以了。 应该指出,偏微分方程的定解虽然有以上各种解法,但 是我们不能忽视由于某些原因有许多定解问题是不能严格解出 的,只可以用近似方法求出满足实际需要的近似程度的近似解。 常用的方法有变分法和有限差分法。变分法是把定解
10、问 题转化成变分问题,再求变分问题的近似解;有限差分法是把定 解问题转化成代数方程,然后用计算机进行计算;还有一种更有 意义的模拟法,它用另一个物理的问题实验研究来代替所研究某 个物理问题的定解。虽然物理现象本质不同,但是抽象地表示在 数学上是同一个定解问题,如研究某个不规则形状的物体里的稳 定温度分布问题,在数学上是拉普拉斯方程的边值问题,由于求 解比较困难,可作相应的静电场或稳恒电流场实验研究,测定场 中各处的电势,从而也解决了所研究的稳定温度场中的温度分布 问题。 随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展,偏 微分方程的应用范围更广泛。从数学自身的角度看,偏微分方程 的求解促使数
11、学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代 数、微分几何等各方面进行发展。从这个角度说,偏微分方程变 成了数学的中心。 三,用 matlab 解偏微分方程 解偏微分方程不是一件轻松的事, 但是偏微分方程在自然科学和 工程领域中应用很广,因此,我们可以运用matlab 这个软件来解决 一些常见的偏微分方程。 (一) Matlab偏微分方程工具箱简介。 1,概述。本文只给出该工具箱的函数列表 2,偏微分方程算法函数列表。 adaptmesh 生成自适应网络及偏微分方程的解 assemb 生成边界质量和刚度矩阵 assema 生成积分区域上质量和刚度矩阵 assempde 组成偏微分方程的刚度矩阵
12、及右边 hyperbolic 求解双曲线型偏微分方程 parabolic 求解抛物线型偏微分方程 pdeeig 求解特征型偏微分方程 pdenonlin 求解非线性型微分方程 poisolv 利用矩阵格式快速求解泊松方程 3, 图形界面函数。 pdecirc 画圆 pdeellip 画椭圆 pdemdlcv 转化为版本 1.0 式的*.m文件 pdepoly 画多边形 pderect 画矩形 pdetool 偏微分方程工具箱的图形用户界面 4, 几何处理函数。 csgchk 检查几何矩阵的有效性 csgdel 删除接近边界的小区 decsg 将固定的几何区域分解为最小区域 initmesh 产
13、生最初的三角形网络 jigglemesh 微调区域内的三角形网络 poimesh 在矩形区域上产生规则的网络 refinemesh 细化三角形网络 wbound 写一个边界描述文件 wgeom 写一个几何描述文件 pdecont 画轮廓图 pdemesh 画偏微分方程的三角形网络 pdeplot 画偏微分方程的三角形网络 pdesurf 画表面图命令 5,通用函数。 pdetriq 三角形单元的品性度量 poiasma 边界点对快速求解泊松方程的“贡献”矩阵 poicalc 规范化的矩阵格式的点索引 (二) Matlab偏微分方程工具箱应用。 可以用词工具箱求解如椭圆方程,双曲线方程,特征值方
14、程,抛 物线方程。 椭圆型偏微分方程 椭圆型偏微分方程的一般形式为 ()( , )div cuauf x t 其中:若 12 (, )( , ) n uu x xxtu x t,u为u的梯度,则其定义为 12 , n uu xxx 散度( )div v的定义为 12 ( ) n div vv xxx 这样,()div c u可以更明确地表示为 1122 () nn uuu div c uccc xxxxxx 若c为常数,则进一步化简为 222 222 12 () n div c ucuc u xxx 其中,又称为 Laplace算子。这样椭圆型偏微分方程可以简单地写 为 222 222 12
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