《小学数学专题研究》自考资料.pdf
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1、1 小学数学教学研究自考复习资料 教材小学数学专题研究李星云著 第一章小学数学课程目标及内容 一、数学 是一种研究客观世界中数量关系和 空间形式的一门科学。 数学本质:数学是一种研究思想事物的 科学恩格斯。 二、数学的作用 :一种科学只有在成功运用 数学时,才算达到了真正完美的地步。数 学 是 一切科学技术的基础,数学的内容、 思想、方法和语言已广泛渗入自然和社 会科学中,数学作为一种文化,已成人们的 共识。 三、我国数学课程及演变过程: (1)萌芽时期(公元前600 年前) (2)初等数学时期(公元前600 年 17 2 世纪中叶 ) (3)变量数学时期(17 世纪中叶19 世纪 20 年代
2、) (4)近代数学时期(19 世纪 20 年代 第二次世界大战) (5)现代数学时期(第二次世界大战以来) 作为一门学科,在我国却迟到隋唐时期,才 在国子监设算学馆。置博士、助教,选定和 注释从汉朝以来的十部算经, 以 算 经 十 书 著 。 算经十书是我 国古代数学发展和成就的代表文献,构 成了我国古代传统数学体系。周髀算 经勾股定理;九章算术方程章中第 13 题是著名“五家共井”最早的不定方程问 题;孙子算经“知客几何”“鸡兔同笼” 3 尤其是“物不知数”是后来驰名于世的“大衍 求一术”的起源, 是中国古代数学最具独创精 神的成就之一。张丘建算经 提出了有趣的不定方程和解法“百鸡问题”;
3、缉古算经三次方程的代数解法;数 学记遗“九宫图”。三国时期刘徽用 割圆 术求出了圆周率值为3.14, 之后法国数学家 伟达用 解析方法求出值。 世界上第一本讨论排列组合 的书是 周易 算学作为小学课程则从近代光绪二十八年 (1902 年)才正式开始。 1892 年编笔算数学,则是我国学校里的 第一部算 学教科书 。 4 1903年春编制 最新教科书我国自己编 写的 第一本正式的小学算学课本问世。 1978 年 2 月全日制十年制小学数学教学 大纲 (试行草案) 明确将 小学算术改为统 一的数学。 1992年三个面向“面向现代化” 、 “面向世界”、 “面向未来”。 四、 国外数学课程变革的简况
4、及趋势。 20 世纪初,德国数学家克莱因发起并领导了 数学教育近代化运动。 现代数学运动发展是不平衡的,分三种类 型:1.革新型如英美; 2.进化型如苏联; 3.中间型如日本。 相似之处: 1. 精简传统的算术内容: 5 2. 增减或渗透集合、函数、统计等现代数学 内容; 3. 用结构思想处理传统内容。 “回归基础”改为“走向基础”。 大众数学 :目标让全体学生学好数学、 学习更 多的数学而且是需要的数学。 五、小学数学课程目标与分析(参考课标) 小学数学课程目标是小学教育方向和性质 的表征,也是小学数学教育活动,包括组织 教学内容、确定教学要求、选择教学方法、 进行质量评估、决定考试命题等进
5、行的依 据。 1、 小学数学课程目标制定的依据 2、小学数学课程目标 3、 小学数学课程内容 6 六、学科数学与科学数学 课程内容的载体是教材教科书。 学科数学的内容是依赖于科学数学二建立 和发展的。 1. 作为科学的数学 ,它不考虑人们是否能够 理解和接受,只要能完备而又精确地阐明 某种数学理论,更深刻地反应世界的空间 形式和数量关系就行。而作为学科的数学 必须遵循学生的认知规律和心理特点,往 往日常生活、生产中的具体事例出发,对 现象进行描述,然而转向定义、定律、性 质等的揭露。 2. 作为科学数学,对所有的定理、法则等都 必须进行严格的论证和推导,而作为学科 的数学限于学生的接收水平,往
6、往通过列 7 举一些事例用不完全归纳法得出结论。 3. 作为科学的数学,完全按照数学伦理的逻 辑系统进行安排,可以难易起伏不均;作 为学科数学在不影响科学性的前提下,兼 顾小学生的认知规律。对某些内容可以适 当调整。 由此可见,科学数学是作为人类认识的结 果而呈现的, 已完全揭示数量关系和空间形 式为目的; 而学科数学可看作为认识对象而 存在。对作为小学 学科的数学 而言,除了正 确反映科学数学的知识外,还必须充分遵循 小学生的认知规律,有利于使他们学懂、学 好、学活。有利于发展他们的智能,有利于 进行思想品德教育。 七、小学数学课程内容编排原则: 8 1. 以数与计算为主线,以数与形式为重点
7、, 把各部分内容按其彼此的内在联系结合起 来。 2. 由浅入深,由易到难,循序渐进,螺旋上 升。 3. 突出重点,分散难点。 4. 把数学知识和数学应用结合起来。 5. 注重趣味性。 数学学科的特点 :1.高度的抽象性2.严密的 逻辑性 3.应用的广泛性。 第二章小学数学解题的理论依据 一、 数学问题及其组成 1、 1、 数学问题虽然名称不同,叙述内容不同, 但它们却有一个共同的特点,即是在一定的 知识背景中提出的。知识背景主要包括已有 9 的概念、理论和方法。因此,我们认为依照 数学问题的解答与知识背景的关系,可以把 数学问题大致分为两类:常规问题和非常规 问题。 2、依照 数学问题提法的意
8、义是否明确, 数学问题的条件是否充分,我们还可以把数 学问题划分为: 可能问题和不可能问题。 3、数学问题的 组成成分 是条件、目标 和运算。(三大组成部分也叫构成要素) 二、 智力结构与活动方式 1、智力两个方面:一是天赋的潜力、 特性和发展的容量;即健全的神经代谢的总 和。二是发展得以进行下去的大脑功能,即 能够决定操作和理解的功能。 皮亚杰关于 智力阶段的划分 10 感知运动阶段( 0 2 岁) 前运算阶段( 2 7 岁) 具体运算阶段( 7 11 岁) 形式运算阶段( 11 岁以上) 同化和顺应是相对立的两种力量。同化是 一个人按照过去的经验、图示来活动; 顺 应则是根据面临的新信息所
9、作的改变和 思考。 2、智力活动方式: (1)根据基本的心理过程,分为知觉方 式、记忆方式和思维方式。 (2)根据完成的主要功能,分为定向方 式、执行和控制方式。 (3)根据标准和规范化程度,分为计算 性方式、算法指令性方式、启发性方式。 11 (4) 根据动作的共同性,分为一般方 式和具体方式。 另外,根据智力活动在人类不同认知领域 里的运用程度, 又可以分为一般方式 (如 分析、综合、抽象、概括、比较等)和限 于某一认识领域的特殊方式。 二、 数学思维品质及其发展水平 1、 1、思维: 人脑对客观事物的本质特征、 相互关系及其内在规律性的概括的、间接 的反映,是人们对外接输入的信息的感知
10、的基础上经过分析、综合、比较、抽象、 概括等智力活动方式,对其加工、 推理和 获得理性认识的心理过程。 2、思维的 本质 :思维是间接认识事物, 是通过感知与被直接认识的事物有着合 12 乎规律的联系的另一个对象而实现的。 3、思维的 类型:1.逻辑性思维 2.非逻辑 性思维。 形式逻辑思维 :是以概念、判断、推 理等思维方式,同一律,矛盾律、排中 律等思维规律,归纳、演绎、类比、科 学假设等思维方法为其研究对象。 辩证逻辑思维 :研究的是思维形式如何 正确反映客观事物的运动变化、事物的 内部矛盾、 事物的有机联系和转化等问 题,其主要特点是用有限量来描述和刻 画。 4、数学思维 :又叫数学型
11、思维,就是 以数和形为思维的对象。以数学的语言 和符号为思维的载体,以认识和发现数 13 学规律为目的的一种思维。 数学思维品质 :灵活性、积极性、目的 性、记忆性、 广阔性、 深刻性、 批判性、 准确性、简捷性、独创性和证明性。 数学思维水平的评定:第一级水平 第五级水平 前两级水平是小学年级的学生所特有 的,第三级水平是初中年级学生所特有 的;第四级水平是高中年级学生所特有 的,至于第五级水平无论是几何方面还 是代数方面的, 均属于数学思维的现代 水平。一般的中学阶段的学生是难以达 到的。 四、 影响小学数学解题的心理因素: (两 大) 14 (一) 问题解决的特征 :1.问题情境因 素
12、2.解题者的个体特征 (解题者知识经 验基础和个性品质)3.解题中的认知策 略(解题者用来调节注意、回忆和思维 的技能) (二)迁移与思维定势: 迁移 是指一种知识、技能的学习和应用 对另一种知识、 技能的学习和应用所施加的 影响。 思维定势 :指的是一种思维的定向预备 状态,在思维不受到新干扰的情况下,人们 按照既定的方向或者方法去思考。 第三章小学数学解题的认知过程 一、小学数学学习及认知 学习 :从广义上理解,学习是有机体 凭借经验的获得而产生的比较持久的 15 行为(思维、想象记忆、感知等内部 心理活动和语言、表情、动作等外部 活动)变化。 从狭义上理解, 学习是指学生在老师指 导下,
13、有目的、有计划、有组织、有步骤地 进行的获得知识、形成技能、培养能力、发 展个性的过程。 桑代克刺激反应理论,学习是刺激 和反应的联结。 苛勒完形理论, 学习是零碎和知觉 信息的再组织过程。 托尔曼认知理论,学习是对环境中 的刺激, 依其关系形成一种新的认知结构的 过程,是意义的获得和实现期望的过程等 等。 16 小学数学学习: 是在教师指导下获得数 学知识、数学技能和数学能力,发展个性数 学品质的过程。 由于数学自身具有逻辑的严 谨性、高度的抽象性及应用的广泛性,所以, 小学数学学习的核心内容和最终母的是解 决小学数学问题。 小学数学解题: 作为小学生的一种特殊 心理活动,综合起来说,它属于
14、一种认知学 习。小学数学解题是一种逐渐深入的,具体 某种程度创新性和思维对策的心理活动(认 知)过程。不求甚解、生搬硬套、机械呆板 等等,都不是小学数学解题的真实含义。 二、认知结构: 是指个体在感知及理解 客观现实的基础上,在头脑里形成的一种心 理结构。 简单点说认知结构就是在个体头脑 17 里的知识结构。 小学数学解题作为小学数学学习的主 要内容和方式, 其意义也就在于不断积极主 动地建立、扩大和重新组织数学认知结构, 并伴随着同化和顺应等特征。 小学数学解题并不是数学知识的简单 应用,而是以原有数学认知结构为依据,对 新知识进行加工。 三、技能: 是顺利完成某种任务的一种 心智或动作的活
15、动方式,她需要通过练习才 能形成。 动作 :泛指在完成一项具体任务中所涉 及的一系列操作,以完善、合理方式组织起 来并顺利进行时,就成为动作技能。心智系 指借助于内部语言在头脑中进行的认识活 18 动。它包括感知、记忆、想象和思维,但以 抽象思维为它的主要成分。 技能和能力 :是不同的概念,二者既有 联系,又有区别。技能是指完成一定任务的 活动方式, 能力则是顺利完成任务的个性心 理特征。技能的形成以一定的能力为前提, 反过来又对能力的发展起重要的促进作用。 数学动作技能:指运用工具绘图的技 能,测量技能、使用计算工具的技能等。 数学心智技能 :指数的计算技能、式的 恒等变形技能、解方程、解不
16、等式的技能, 推理论证技能、运用数学方法的技能等。 这两种数学技能既有联系又有区别 。一 方面数学心智技能的形成,与数学动作技能 有关;另一方面,数学动作技能又受数学心 19 智技能控制。 数学认知技能 : 的形成,也有一个过程, 就小学数学解题而言,可以概括成认知阶 段、联结形成阶段和自动阶段。 小学数学解题中的数学认知技能尽管 有上述的几个阶段,但最终得以形成,都要 经历一个从“会”到“熟”的过程,其间必须不断 通过有计划、有目的的练习,才能完成这一 转变。 发展:作为一般意义上的理解是指人的 各种特性在结构上和机能上的变化。发展有 生理发展和心理发展之分。 四、认知发展: 是指与大脑生长
17、和知识 技能有关的发展方面。 涉及人在知觉、 记忆、 思维、语言、智力等方面种种功能的发展变 20 化。 小学数学认知发展可以理解为小学数 学认知结构和数学认知技能的发展,是通过 小学数学活动过程来体现的。认知发展一般 包含这几个阶段: 1.输入阶段 2.同化和顺应 阶段 3.应用阶段。 以上三个阶段是密切联系 的。 第四章小学数学解题的实质和结构 一、小学数学解题的含义 小学数学解题即小学数学领域中的问 题解决,不但要关心问题的结果,而且要关 心求得结果的过程,也就是问题解决的整个 思考活动。 所以小学数学解题指的是按照一 定的思维对策进行的一个思维过程,一步一 步地靠近目标,最终达到目标。
18、其含义就是 21 思考的活动及探索的过程。 19 世纪中叶,德国数学家格拉斯曼才成 功地建立了一个算术基本公理体系,解决和 统一礼物在此之前人们一直混淆的上述问 题。 小学数学解题也就意味着找出这样一 个数学的一般原理(定义、公理、法则、定 律、公式)的序列,当应用他们到问题的条 件或者条件的推论(解法的中间结果)时, 就能得到问题所要求的答案。 二、小学数学解题的结构 奥苏伯尔解题结构模式: 1.呈现问题的情 境 2.明确问题的目标与已知条件3.填补 空隙的过程 4.解答后的检验。 小学数学解题的几个阶段:1.分析题意 22 2.寻找解法 3.实行解法 4.回顾解法 三、小学数学解题的趋向
19、教育心理学认为根据解题者寻求解答的 趋向可以把解题分为两种主要方式,一 种是尝试错误式,另一种是顿悟式。 尝试错误式 是由进行无定向的尝试,重 复无效动作,纠正暂时性尝试错误。直至出 现解决问题得以成功的一系列反应所组成 的行动。 顿悟式 解决问题尝试错误式不同,它具 有一定的“心向”, 努力发现手段与目标之间的 有意义的联系, 而这种联系正是问题赖以解 决的基础。 在小学数学解题中, 尝试错误式和顿悟 式实际上司不能绝对化的,尝试错误式解决 23 可能是隐含在内而不表露于外的。所以看不 出是尝试错误式,未必就是顿悟式。顿悟式 解题也不一定是彻底的、完善的和即时的, 尽管看上去解答是突然出现的
20、,事实上却往 往经历着一定的甚至是相当曲折的过程。 四、小学数学解题的规则 常规问题解题规则:1.公式规则2.恒等 式规则 3.定理规则 4.定义规则 非常规问题就是没有一般解题规则的 数学问题,它的解题步骤序列,可以利用技 巧将其转化为等价的常规问题,或分解为若 干个小常规问题,或通过分析、综合等方法 来寻求。 算术基本公式体系是小学数学中的定 义、公理、定理、法则等之间的逻辑关系。 24 小学数学解题是以思考为内涵,以问题 目标为定向的心理活动过程。 第五章小学数学解题的思想方法 化归 类比 归纳 美籍匈牙利数学家波利亚在怎样解 题 数学与合情推理关于数学解题 的核心观点就是发现与再创造。
21、 苏联 娅诺夫斯卡娅 解题意味着什么 解题也就意味着把所要解的问题转化 到已经解过的问题。 法国笛卡尔我所解决的每一个问题 都将成为范例,以用于解决其他问题。 一、化归法的一般模式为: 化归法的特点: 在于它具有较强的目的 性、方向性和概括性。 基本原则:是由未知到已知, 由难到易、 25 由繁到简; 它的方向就是如何实现由所要解决的 问题向已解决的或较容易解决的问题的转 化,这里蕴含着发现、 发明及创造性的活动。 从广义上的理解化归是一种思想,如果 从狭义上来看, 化归乃是重要的常用的和具 体的解决方法之一,而且又有分割组合、映 射反演等分别。 分割组合的一般模式: 分割组合: 就是把所要求
22、的问题,按照 可能和需要,分割成若干部分,使他们更容 易于求解,再将这些解答有机地组合起来, 过渡到问题的最终结论。 映射反演 就是映射和反演两种方法并 用。 26 映射:就是在两类数学对象或两个数学 集合的元素之间建立的某种对应关系。 反演: 就是从已知运算往回推(每一步 运算都以其逆运算来代替,相对映射而言, 反演就是逆映射。 ) 在数学解题中, 这种 映射反演具体表现 为坐标法、复数定向法、换元法等。 万能发现法:(笛卡尔) 这种模式在某些情况下是不适用的。这 种方法包含了“数学化” 、 “代数化”、 “计算化”等 合理的化归思想方法。 二、类比法 :是根据两个或两类不同的 对象在某些方
23、面(如特征、属性、关系等) 的类同之处, 猜测着两个对象在其它方面也 可能有类同之处, 并作出某种判断的推理方 27 法。 基本模式: 类比的结论属于或然性推论,因为从前 提到结论并不具备逻辑必然性。也就是说, 类比也有一定的局限性,其结论常常是不可 靠地的,甚至是完全错误的。 三、归纳法 :是指通过对特殊情形的分 析引出普遍的结论的推理方法。德国大数学 家高斯就曾说过, 他的许多定理靠的是归纳 法发明的,证明只是一个补行的手续。归纳 常常是建立在有目的、有计划的观察和试验 基础上的。 根据对象是否完备, 归纳法又分为完全 归纳法和不完全归纳法两种。 完全归纳法 :是根据某类事物中每一个 28
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