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1、1 误差理论与数据处理 第一章绪论 1-1 研究误差的意义是什么?简述误差理论的主要内容。 答:研究误差的意义为: (1) 正确认识误差的性质,分析误差产生的原因,以消除或减小误差; (2) 正确处理测量和实验数据,合理计算所得结果,以便在一定条件下得到更接近于真 值的数据; (3) 正确组织实验过程,合理设计仪器或选用仪器和测量方法,以便在最经济条件下, 得到理想的结果。 误差理论的主要内容:误差定义、误差来源及误差分类等。 1-2 试述测量误差的定义及分类,不同种类误差的特点是什么? 答:测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差;按照误差的特点和性质,可分为系统误 差、随机误差、粗大误差。
2、 系统误差的特点是在所处测量条件下,误差的绝对值和符号保持恒定,或遵循一定的 规律变化(大小和符号都按一定规律变化); 随机误差的特点是在所处测量条件下,误差的绝对值和符号以不可预定方式变化; 粗大误差的特点是可取性。 1-3 试述误差的绝对值和绝对误差有何异同,并举例说明。 答:(1) 误差的绝对值都是正数,只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量,不反映是 “大 了”还是“小了”,只是差别量; 绝对误差即可能是正值也可能是负值,指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。+多少表明大了 多少, - 多少表示小了多少。 (2) 就测量而言 , 前者是指系统的误差未定但标准值确定的,后者是指系统本身标准值未
3、定 15 测得某三角块的三个角度之和为180 o0002”, 试求测量的绝对误差和相对误差 解: 绝对误差等于: 相对误差等于: 1-6 在万能测长仪上,测量某一被测件的长度为 50mm ,已知其最大绝对误差为 1 m ,试 问该被测件的真实长度为多少? 解:绝对误差测得值真值,即:LLL0已知: L50, L1m 0.001mm , 测件的真实长度0L L500.001 49.999 (mm ) 1-7 用二等标准活塞压力计测量某压力得 100.2Pa , 该压力用更准确的办法测得为100.5Pa , 问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少? 解:在实际检定中,常把高一等级精度的仪器所测得的
4、量值当作实际值。 故二等标准活塞压力计测量值的误差测得值实际值, 即: 100.2 100.5 0.3 ( Pa) 1-8 在测量某一长度时,读数值为2.31m,其最大绝对误差为20m,试求其最大相对误差。 21802000180 oo %000031.010000030864.0 064800 2 0660180 2 180 2 o 2 %108.66 %100 2.31 1020 100% max max 4- 6- 测得值 绝对误差 相对误差 1-9、解: 由 2 12 2 4()hh g T ,得 2 2 41.04230 9.81053m/s 2.0480 g 对 2 12 2 4(
5、)hh g T 进行全微分,令 12 hhh ,并令 g , h, T 代替dg,dh,dT 得 22 23 48hh T g TT 从而2 ghT ghT 的最大相对误差为: maxmaxmax 2 ghT ghT = 0.000050.0005 2 1.042302.0480 =5.3625 4 10% 由 2 12 2 4()hh g T ,得 2 4h T g ,所以 2 43.141591.04220 2.04790 9.81053 T 由 maxmaxmax 2 ghT ghT ,有 maxmaxminmin max max(),() 22 hgghTT TABSABS hghg
6、1-10 检定 2.5 级(即引用误差为2.5%)的全量程为100V 的电压表, 发现 50V刻度点的示值 误差 2V为最大误差,问该电压表是否合格? %5 .22%100% 100 2 100% 测量范围上限 某量程最大示值误差 最大引用误差 该电压表合格 1-11 为什么在使用微安表等各种表时,总希望指针在全量程的2/3 范围内使用? 答:当我们进行测量时,测量的最大相对误差: 即: max 00 xx % m s AA max 0 x % m s A 3 所以当真值一定的情况下,所选用的仪表的量程越小,相对误差越小,测量越准确。因此我 们选择的量程应靠近真值,所以在测量时应尽量使指针靠近
7、满度范围的三分之二以上 1-12 用两种方法分别测量L1=50mm ,L2=80mm 。测得值各为50.004mm ,80.006mm。试评定两 种方法测量精度的高低。 相对误差 L1:50mm 0.008%100% 50 50004.50 1 I L2:80mm 0.0075%100% 80 80006.80 2 I 21 II所以 L2=80mm 方法测量精度高。 113 多级弹导火箭的射程为10000km时,其射击偏离预定点不超过0.lkm ,优秀射手能在 距离 50m远处准确地射中直径为2cm的靶心,试评述哪一个射击精度高? 解: 多级火箭的相对误差为: 射手的相对误差为: 多级火箭的
8、射击精度高。 1-14 若用两种测量方法测量某零件的长度L1=110mm , 其测量误差分别为 m11 和 m9 ; 而用第三种测量方法测量另一零件的长度L2=150mm 。其测量误差为 m12 ,试比较三种测 量方法精度的高低。 相对误差 0.01% 110 11 1 mm m I 0. 0 08 2 % 110 9 2 mm m I %0 0 8.0 1 5 0 12 3 mm m I 123 III第三种方法的测量精度最高 第二章误差的基本性质与处理 2-1 试述标准差、平均误差和或然误差的几何意义。 答:从几何学的角度出发,标准差可以理解为一个从 N 维空间的一个点到一条直线的距离 的
9、函数; 从几何学的角度出发,平均误差可以理解为 N 条线段的平均长度; %001.000001.0 10000 1.0 %02.00002.0 50 01.0 50 1 m m m cm 4 2-2 试述单次测量的标准差和算术平均值的标准差,两者物理意义及实际用途有何不同。 2-3 试分析求服从正态分布、反正弦分布、均匀分布误差落在中的概率 2-4 测量某物体重量共8 次,测的数据 ( 单位为 g) 为 236.45 ,236.37 , 236.51 ,236.34 , 236.39 ,236.48 , 236.47 ,236.40 ,是求算术平均值以及标准差。 0.05( 0.03)0.11
10、( 0.06)( 0.01)0.080.070 236.4 8 236.43 x 2 1 0.0599 1 n i i v n 0.0212 x n 2-5 用別捷尔斯法、极差法和最大误差法计算2-4 ,并比较 2-6 测量某电路电流共5 次,测得数据(单位为mA )为 168.41 , 168.54 ,168.59 ,168.40 , 168.50 。试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差。 168.41168.54168.59168.40168.50 5 x 168.488()mA )(082.0 15 5 1 2 mA v i i 0.082 0.037() 5 x mA n 或然
11、误差:0.67450.6745 0.0370.025() x RmA 平均误差:0.79790.7979 0.0370.030() x TmA 2-7 在立式测长仪上测量某校对量具,重量测量5 次,测得数据(单位为mm )为 20.0015 , 20.0016 ,20.0018 ,20.0015 ,20.0011 。若测量值服从正态分布,试以99% 的置信概率确定 测量结果。 20.001520.001620.001820.001520.0011 5 x 20.0015()mm 5 2 1 0.00025 5 1 i i v 5 正态分布 p=99% 时,t2.58 lim xx t 0.00
12、025 2.58 5 0.0003()mm 测量结果: lim (20.00150.0003) x Xxmm 27 在立式测长仪上测量某校对量具,重复测量5 次,测得数据( 单位为 mm) 为 200015, 20.0016 ,20.0018 ,20.0015 ,20.0011 。若测量值服从正态分布,试以99的置信概率确 定测量结果。 解: 求算术平均值 求单次测量的标准差 求算术平均值的标准差 确定测量的极限误差 因 n5 较小,算术平均值的极限误差应按t 分布处理。 现自由度为:n 14;10.99 0.01 , 查 t 分布表有:ta4.60 极限误差为 写出最后测量结果 2-9用某仪
13、器测量工件尺寸,在排除系统误差的条件下,其标准差 mm004.0 ,若要求 测量结果的置信限为 mm005.0 ,当置信概率为99% 时,试求必要的测量次数。 正态分布 p=99% 时,t2.58 lim x t n 2.58 0.004 2.064 0.005 4.26 5 n n n取 mm n l x n i i 0015.20 1 mm n v n i i 4 8 1 2 1055.2 4 1026 1 mm n x 4 4 1014.1 5 1055. 2 mmtx x 44 lim 1024.51014.160.4 mmxxL 4 lim 1024.50015.20 6 210 用
14、某仪器测量工件尺寸,已知该仪器的标准差0.001mm ,若要求测量的允许极限 误差为 0.0015mm,而置信概率P为 0.95 时,应测量多少次? 解:根据极限误差的意义,有 0015.0 n tt x 根据题目给定得已知条件,有 5.1 001.0 0015.0 n t 查教材附录表3 有 若 n5,v4, 0.05 ,有 t 2.78 , 24.1 236.2 78.2 5 78.2 n t 若 n4,v3, 0.05 ,有 t 3.18 , 59.1 2 18.3 4 18.3 n t 即要达题意要求,必须至少测量5 次。 2-12 某时某地由气压表得到的读数(单位为Pa)为 1025
15、23.85 ,102391.30 ,102257.97 , 102124.65 ,101991.33 ,101858.01 ,101724.69 ,101591.36 ,其权各为1,3,5,7,8,6, 4,2,试求加权算术平均值及其标准差。 )(34.102028 8 1 8 1 Pa p xp x i i i ii )(95.86 )18( 8 1 8 1 2 Pa p vp i i i xii x 2-13测量某角度共两次,测得值为 633124 1 , 241324 2 ,其标准差分别为 8.13,1 .3 21 ,试求加权算术平均值及其标准差。 961:19044 1 : 1 : 2
16、 2 2 1 21 pp 351324 96119044 4961 1619044 201324x 7 0 . 3 96119044 19044 1.3 2 1i i i xx p p i 2-14 甲、乙两测量者用正弦尺对一锥体的锥角各重复测量5 次,测得值如下: ;5127,0227 ,5327 ,037 ,0227: 甲 ;5427,0527 ,0227,5227,5227: 乙 试求其测量结果。 甲: 20“60“35“20“15“ 7 27 230“ 5 x甲 5 2 1 51 i i v 22222 甲 (-10“ ) (30“)5“(-10“ ) (-15“ ) 4 18.4“
17、x 18.4“ 8.23“ 55 甲 甲 乙: 25“25“20“50“45“ 7 27 233“ 5 x乙 5 2 1 13 5 1 i i v 22222 乙 (-8“ ) (-8“ ) (“) (17“) (12“) 4 13.5“ x 13.5“ 6.04“ 55 乙 乙 2222 xx 1111 :3648: 6773 8.236.04 pp 乙 乙甲 甲 364830“677333“ 7 2 36486773 p xp x x pp 甲乙 乙甲 乙甲 7 232“ 78 .4 67733648 3648 32 .8 乙甲 甲 甲 pp p xx 15 32 273 x xX 2-1
18、5 试证明 n 个相等精度测得值的平均值的权为n 乘以任一个测量值的权。 证明: 解:因为n 个测量值属于等精度测量,因此具有相同的标准偏差: n 个测量值算术平均值的标准偏差为: x n 8 已知权与方差成反比,设单次测量的权为P1,算术平均值的权为P2,则 2-16 重力加速度的 20 次测量具有平均值为 2 /811.9sm、标准差为 2 /014.0sm。另 外 30 次测量具有平均值为 2 /802.9sm,标准差为 2 /022.0sm。假设这两组测量属 于同一正态总体。试求此50 次测量的平均值和标准差。 147:242 30 022.0 1 : 20 014.0 11 : 1
19、: 2222 21 2 2 2 1 xx pp )/(9.808 147242 9.8021479.811224 2 smx )( 2 m/s0.0025 147242 242 20 014.0 x 2-17 对某量进行 10 次测量,测得数据为14.7,15.0,15.2,14.8,15.5,14.6, 14.9,14.8,15.1,15.0,试判断该测量列中是否存在系统误差。96.14x 按贝塞尔公式2633. 0 1 按别捷尔斯法0.2642 ) 110(10 253.1 10 1i 2 i v 由u1 1 2 得0034.01 1 2 u 67.0 1 2 n u所以测量列中无系差存在
20、。 2-18 对一线圈电感测量10 次,前 4 次是和一个标准线圈比较得到的,后6 次是和另一个标 准线圈比较得到的,测得结果如下(单位为mH ) : 50.82,50.83 ,50.87 ,50.89 ; 50.78,50.78 ,50.75 ,50.85 ,50.82 ,50.81 。 试判断前4 次与后 6次测量中是否存在系统误差。 使用秩和检验法: 排序: 1222 21 11 :1: x PPn PnP 9 序号1 2 3 4 5 第一组 第二组50.7550.78 50.78 50.81 50.82 序号6 7 8 9 10 第一组50.82 50.83 50.87 50.89 第
21、二组50.85 T=5.5+7+9+10=31.5查表 14T30T TT所以两组间存在系差 2-19 对某量进行10 次测量, 测得数据为14.7 ,15.0 ,15.2 ,14.8 ,15.5 ,14.6 ,14.9 ,14.8 , 15.1 ,15.0 ,试判断该测量列中是否存在系统误差。 96.14x 按贝塞尔公式2633.0 1 按别捷尔斯法0.2642 )110(10 253.1 10 1i 2 i v 由u1 1 2 得0034.01 1 2 u 67.0 1 2 n u所以测量列中无系差存在。 2-20 对某量进行12 次测量,测的数据为20.06 ,20.07 ,20.06
22、,20.08 ,20.10 ,20.12 , 20.11 ,20.14 ,20.18 ,20.18 ,20.21 ,20.19 ,试用两种方法判断该测量列中是否存在系统 误差。 解: (1) 残余误差校核法 20.125x ( 0.0650.0550.0650.0450.0250.005)( 0.0150.0150.0550.0550.0850.065) 0.54 因为显著不为 0,存在系统误差。 (2)残余误差观察法 残余误差符号由负变正,数值由大到小,在变大,因此绘制残余误差曲线,可见存在线形系 统误差。 10 (3) 12 2 1 1 0.05 11 i i v 12 1 2 1.253
23、0.06 (1) i i v n n 2 1 2 1 1 10.19 u u 2 0.603 1 u n 所以不存在系统误差。 2-22 11 第三章误差的合成与分配 3-1 相对测量时需用 54.255mm 的量块组做标准件,量块组由四块量块研合而成,它们的基 本尺寸为 mml40 1 , mml12 2 , mml25.1 3 , mml005.1 4 。经测量,它们的尺寸 偏差及其测量极限误差分别为 ml7 .0 1 , ml5 .0 2 , ml3.0 3 , ,20.0,25.0,35. 0,1 .0 3lim2lim1lim4 mlmlmlml ml20.0 4lim 。试求量块组
24、按基本尺寸使用时的修正值及给相对测量带来的测量误差。 修正值 = )( 4321 llll =)1.03.05 .07.0( =0.4)( m 测量误差 : l= 4321lim 2 lim 2 lim 2 lim 2 llll = 2222 )20.0()20.0()25.0()35.0( =)(51.0m 3-2 为 求 长 方 体 体 积 V , 直 接 测 量 其 各 边 长 为 mma6.161 , 12 mm44.5b , mmc2.11 , 已 知 测 量 的 系 统 误 差 为 mma2.1 , mmb8.0 , mmc5.0 ,测量的极限误差为 mm a 8.0 , mm b
25、 5. 0 , mm c 5.0 , 试求立方体的体积及其体积的极限误差。 abcV),(cbafV 2 .115.446.161 0 abcV )(44.80541 3 mm 体积 V 系统误差V为: cabbacabcV )(74.2745)(744.2745 33 mmmm 立方体体积实际大小为: )(70.77795 3 0 mmVVV 2 2 2 2 2 2 lim )()()( cbaV c f b f a f 222222 )()()( cba abacbc )(11.3729 3 mm 测量体积最后结果表示为: V VVV lim0 3 )11.372970.77795(mm
26、33 长方体的边长分别为1,2, 3测量时:标准差均为 ;标准差各为1、 2、 3 。试求体积的标准差。 解: 长方体的体积计算公式为: 321 aaaV 体积的标准差应为: 2 3 2 3 2 2 2 2 2 1 2 1 )()()( a V a V a V V 现可求出: 32 1 aa a V ; 31 2 aa a V ; 21 3 aa a V 若: 321 则有: 13 2 3 2 2 2 1 2 3 2 3 2 2 2 2 2 1 2 1 )()()()()()( a V a V a V a V a V a V V 2 21 2 31 2 32 )()()(aaaaaa 若: 3
27、21 则有: 2 3 2 21 2 2 2 31 2 1 2 32 )()()(aaaaaa V 3-4 测量某电路的电流 mAI5 .22 , 电压 VU6.12 , 测量的标准差分别为 mA I 5 . 0 , V U 1 .0 ,求所耗功率 UIP 及其标准差 P。UIP5.226 .12 )(5.283mw ),(IUfPIU、成线性关系1 UI IuIUP I f U f I f U f )(2)()( 2222 IUIU UI I f U f 5.06.121 .05 .22 )(55.8mw 3-9测量某电路电阻R 两端的电压U,按式 I= U/R 计算出电路电流,若需保证电流的
28、误差 为 0.04A,试求电阻R 和电压 U 的测量误差为多少? 解:在 I=U/R 式中,电流I 与电压 U 是线性关系,若需要保证电流误差不大于0.04A,则要保证电压的误差也不大 于 0.04 R。 312 按公式 V=r2h 求圆柱体体积,若已知r 约为 2cm,h 约为 20cm,要使体积的相对 误差等于1,试问r 和 h 测量时误差应为多少? 解: 若不考虑测量误差,圆柱体积为 322 2 .25120214.3cmhrV 根据题意,体积测量的相对误差为1,即测定体积的相对误差为: %1 V 即51.2%12 .251%1V 现按等作用原则分配误差,可以求出 测定 r 的误差应为:
29、 cm hrrV r 007.0 2 1 41.1 51.2 / 1 2 测定 h 的误差应为: cm rhV h 142.0 1 41.1 51.2 / 1 2 2 14 3-14 对某一质量进行4 次重复测量,测得数据( 单位 g) 为 428.6 ,429.2 ,426.5 ,430.8 。 已知测量的已定系统误差 ,6 .2g 测量的各极限误差分量及其相应的传递系数如下表所 示。若各误差均服从正态分布,试求该质量的最可信赖值及其极限误差。 4 8.4305 .4262 .4296.428 x )(8 .428)(775.428gg 最可信赖值)(4.4316.28.428gxx 3 1
30、 222 2 5 1 )( 4 1 )( i i i i ii x x f e x f )(9.4g 测量结果表示为: x xxg)9.44.431( 第四章测量不确定度 41 某圆球的半径为r ,若重复 10 次测量得r r =(3.1320.005)cm ,试求该圆球最 大截面的圆周和面积及圆球体积的测量不确定度,置信概率P=99。 解:求圆球的最大截面的圆周的测量不确定度 已知圆球的最大截面的圆周为:rD2 其标准不确定度应为: 222 2 2 2 005.014159.342 rr r D u 0.0314cm 确定包含因子。查t 分布表 t0.01( 9) 3.25 ,及 K3.25
31、 故圆球的最大截面的圆周的测量不确定度为: 序号 极限误差 g 误差传递系数 随机误差未定系统误差 1 2 3 4 5 6 7 8 2.1 4.5 1.0 1.5 1.0 0.5 2.2 1.8 1 1 1 1 1 1.4 2.2 1 15 U Ku3.25 0.0314 0.102 求圆球的体积的测量不确定度 圆球体积为: 3 3 4 rV 其标准不确定度应为: 616.0005.0132.314159.3164 2422 2 22 2 rr r r V u 确定包含因子。查t 分布表 t0.01( 9) 3.25 ,及 K3.25 最后确定的圆球的体积的测量不确定度为 UKu3.25 0.
32、616 2.002 4-2望远镜的放大率D=f1/f2 ,已测得物镜主焦距f11=(19.80.10)cm , 目镜的主焦距f22=(0.8000.005 )cm ,求放大率测量中由f1 、f2 引起的 不确定度分量和放大率D的标准不确定度。 4-3测量某电路电阻R两端的电压 U ,由公式 I=U/R 计算出电路电流 I ,若测得 Uu=(16.500.05 )V,RR=(4.260.02 )、相关系数 UR=-0.36, 试 求电流 I 的标准不确定度。 4-4某 校 准 证 书 说 明 , 标 称 值10的 标 准 电 阻 器 的 电 阻R在20C 时 为 1 2 90 0 0 7 4 2
33、.10(P=99%) ,求该电阻器的标准不确定度,并说明属于哪一类评定的 不确定度。 由校准证书说明给定 属于 B 类评定的不确定度 R 在10.000742-129,10.000742+129 范围内概率为99% ,不为 100% 不属于均匀分布,属于正态分布 129a当 p=99%时,2.58 p K 129 50() 2.58 R p a U K 4-5 在光学计上用52.5mm的量块组作为标准件测量圆柱体直径,量块组由三块量块研合而 成,其尺寸分别是: 1 40lmm, 2 10lmm, 3 2.5lmm ,量块按“级”使用,经查 手册得其研合误差分别不超过 0.45 m 、 0.30
34、 m 、 0.25 m (取置信概率P=99.73% 的 正 态 分 布 ) , 求 该 量 块 组 引 起 的 测 量 不 确 定 度 。52.5Lmm 1 40lmm 16 2 10lmm 3 2. 5lmm 123 Llll99.73%p3 p K 1 0.45 0.15() 3 l p a Um k 2 0.30 0.10() 3 l p a Um k 3 0.25 0.08() 3 l p a Um k 321 lllL UUUU 222 0.150.100.08 0.20()m 第五章线性参数的最小二乘法处理 5-1 测量方程为 32.9 20.9 231.9 xy xy xy 试
35、求x、y 的最小二乘法处理及其相应精度。误差方程为 1 2 3 2.9(3) 0.9(2 ) 1.9(23 ) vxy vxy vxy 列正规方程 11121 111 21222 111 nnn iiiiii iii nnn iiiiii iii a a xa a ya l a a xa a ya l 代入数据得 14513.4 5144.6 xy xy 解得 015.0 962.0 y x 将 x、y 代入误差方程式 1 2 3 2.9(30.9620.015)0.001 0.9(0.96220.015)0.032 1.9(20.96230.015)0.021 v v v 测量数据的标准差为
36、 3 22 11 0.038 32 n ii ii vv nt 17 求解不定乘数 1112 2122 dd dd 1112 1112 2122 2122 1451 5140 1450 5141 dd dd dd dd 解得082.0 2211 dd x、y 的精度分别为 01. 0 11 d x 01.0 22 d y 5-7 不等精度测量的方程组如下: 1 2 3 35.6,1 48.1,2 20.5,3 xyp xyp xyp 试求 x、y 的最小二乘法处理及其相应精度。 列误差方程 11 22 33 5.6(3 ),1 8.1(4),2 0.5(2),3 vxyp vxyp vxyp
37、正规方程为 333 11121 111 333 21222 111 iiiiiiiii iii iiiiiiiii iii p a a xp a a yp a l p a a xp a a ypa l 代入数据得 4562.2 1431.5 xy xy 解得 352.2 434.1 y x 将 x、y 代入误差方程可得 016.0 012.0 022.0 3 2 1 v v v 则测量数据单位权标准差为039.0 23 3 1 2 i iiv p 求解不定乘数 1112 2122 dd dd 1112 1112 2122 2122 451 140 450 141 dd dd dd dd 18
38、解得 072. 0 022. 0 22 11 d d x、y 的精度分别为006. 0 11 d x 010.0 22 d y 19 第六章回归分析 6-1 材料的抗剪强度与材料承受的正应力有关。对某种材料试验的数据如下: 正应力x/Pa 26.8 25.4 28.9 23.6 27.7 23.9 抗剪强度y/Pa 26.5 27.3 24.2 27.1 23.6 25.9 正应力x/Pa 24.7 28.1 26.9 27.4 22.6 25.6 抗剪强度y/Pa 26.3 22.5 21.7 21.4 25.8 24.9 假设正应力的数值是正确的,求 (1)抗剪强度与正应力之间的线性回归方
39、程。 (2)当正应力为24.5Pa 时,抗剪强度的估计值是多少? (1)设一元线形回归方程 bxby 0 12N xbyb l l b xx xy 0 047.43 xx l533.29 xy l 69. 0 047.43 533.29 xx xy l l b xy b y x 69.069.42? 69.4297.2569.077.24 77.242.297 12 1 97.256.311 12 1 0 (2)当 X=24.5Pa )(79.255 .2469.069.42?Pay 6-10 用直线检验法验证下列数据可以用曲线 x yab表示。 x 30 35 40 45 50 55 60 y -0.4786 -2.188 -11.22 -45.71 -208.9 -870.9 -3802 xbayaby x log)log()log( 20 )l o g( 1 yZxZ2 取点做下表 Z2 30 40 50 60 Z1-0.32 1.05 2.32 3.58 以 Z1与 Z2画图 所得到图形为一条直线,故选用函数类型 x aby合适
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