《高等几何》复习大纲、样题及答案全要点.pdf
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1、1 高等几何复习大纲 仿射坐标与仿射变换 一、要求 1. 掌握透视仿射对应概念和性质, 以及仿射坐标的定义和性质。 熟练掌握单比的 定义和坐标表示。 2. 掌握仿射变换的两种等价定义; 熟练掌握仿射变换的代数表示, 以及几种特殊 的仿射变换的代数表示。 3. 掌握图形的仿射性质和仿射不变量。 二、考试内容 1. 单比的定义和求法。 2. 仿射变换的代数表示式,以及图形的仿射性质和仿射不变量。 3. 仿射变换的不变点和不变直线的求法。 射影平面 一、要求 1. 掌握中心射影与无穷远元素的基本概念,理解无穷远元素的引入。 2. 熟练掌握笛萨格( Desargues)定理及其逆定理的应用。 3. 熟
2、练掌握齐次点坐标的概念及其有关性质。 4. 理解线坐标、点方程的概念和有关性质。 5. 掌握对偶命题、对偶原则的理论。 二、考核内容 1. 中心投影与无穷远元素 中心投影,无穷远元素,图形的射影性质。 2. 笛萨格( Desargues)定理 应用笛萨格( Desargues)定理及其逆定理证明有关结论。 3. 齐次点坐标 齐次点坐标的计算及其应用。 4. 线坐标 线坐标的计算及其应用。 5. 对偶原则 作对偶图形,写对偶命题,对偶原则和代数对偶的应用。 射影变换与射影坐标 一、要求 1. 熟练掌握共线四点与共点四线的交比与调和比的基本概念、性质和应用。 2. 掌握完全四点形与完全四线形的调和
3、性及其应用。 3. 掌握一维射影变换的概念、性质,代数表示式和参数表示式。 4. 掌握二维射影变换的概念、性质以及代数表示式。 5. 理解一维、二维射影坐标的概念以及它们与仿射坐标、笛氏坐标的关系。 二、考试内容 1. 交比与调和比 交比的定义、基本性质及其计算方法,调和比的概念及其性质。 2. 完全四点形与完全四线形 完全四点形与完全四线形的概念及其调和性。 2 3. 一维基本形的射影对应 一维射影对应的性质,与透视对应的关系,以及代数表示式。 4. 二维射影变换 5. 二维射影对应(变换)与非奇线性对应的关系。 6. 射影坐标 一维射影坐标、二维射影坐标。 7. 一维、二维射影变换的不变元
4、素 求一维射影变换的不变点,二维射影变换的不变点和不变直线。 变换群与几何学 一、要求 1. 了解变换群的概念。 2. 理解几何学的群论观点。 3. 弄清欧氏几何、仿射几何、射影几何之间的关系及其各自的研究对象。 二、考试内容 1. 变换群与几何学的关系。 2 仿射几何、射影几何学相应的变换群、研究对象基本不变量和基本不变性。 二次曲线的射影理论 一、要求 1. 掌握二队(级)曲线的射影定义、二阶曲线与直线的相关位置,二阶曲线的切 线,二阶曲线与二级曲线的关系。 2. 掌握巴斯加定理、布利安桑定理以及巴斯加定理特殊情形。 3. 掌握极点,极线的概念和计算方法,熟练掌握配极原则。 4. 了解二阶
5、曲线的射影分类。 二、考试内容 1. 二阶(级)曲线的概念,性质和互化,求二阶曲线的主程和切线方程。 2. 应用巴劳动保护加定理和布利安桑定理及其特殊情形证明有关问题,解决相在 的作图问题。 3. 二阶曲线的射影分类。 二次曲线的仿射性质和度量性质 一、要求和考试内容 1. 掌握二次曲线的中心、直径、共轭直径、渐近线等概念和性质。 ( 一) 一、填空题(每题 2 分,共 10 分) 1、平行四边形的仿射对应图形为:; 2、线坐标( 1,2,1)的直线的齐次方程为:; 3、直线023 21 xx上的无穷远点坐标为:; 4、设(AB,CD)= 2,则点偶调和分割点偶; 5、两个射影点列成透视的充要
6、条件是; 二、作图题(每题 6 分,共 6 分) 3 1、叙述下列图形中的点线结合关系及其对偶命题,并画出对偶图形。 三、计算题(每题10 分,共 30 分) 1、 求仿射变换式使直线x2y10 上的每个点都不变,且使点(1,-1) 变为( -1 ,2) 2、 求射影变换 33 22 11 xx xx xx 的固定元素。 3、叙述二次曲线的中心、直径,共轭直径渐近线等概念,并举例说明。 四、证明题(每题12 分,共 24 分) 1、叙述并证明布利安桑定理。 2、设( AB 、CD )=-1,O为 CD的中点,则 OC 2=OA OB (此题为有向线段) 参考答案 一、填空题 1、平行四边形 2
7、、02 321 xxx 3、 (2,-3,0) 4、 AC , BD 5、保持公共元素不变 二、作图题 1、每三点不共线的五个点,两两连线。 对偶:没三线不共点的五条线,两两相交。 对偶图形就是自己 三、计算题 1解设所求仿射变换为 222 111 cybxy cybxx 在已知直线 x+2y-1=0上任取两 点,例如取( 1,0)、( 3,-1),在仿射变换下,此二点不变。而点(1,-1) 变为( -1 ,2),把它们分别代入所设仿射变换式,得 0 1 22 11 c c , 4 13 33 222 111 cb cb 2 1 222 111 cb cb 由以上方程联立解得: 1 2 , 1
8、 b =2 , 1 c =-1 , 2=- 2 3 , 2 b =-2 , 2 c = 2 3 故所求的仿射变换为: 2 3 2 2 3 122 y x y yxx 解由题设的射影变换式,得 1, 0,0,0, 1,0, 0,0, 1 333231232221131211 把它们代 入射影变换的固定方程组6.5 公式(2), 即 0)( 0)( 0)( 333232131 323222121 313212111 xxx xxx xxx 得 0)1( 0)1( 0)1( 3 2 1 x x x 由此得特征方程为 : 1 0 0 00 .1.0 .01 =0, 即 (1+u)(1-u) 2=0 解
9、得 u=1(二重根) ,u= 1 将 u=1 代入固定点方程组,即得固定点为(1,0,0) 将 u=1 代入固定点方程组,得x1=0 这是一固定点列即直线A2A3上的每 一点都是固定点。把 ij 的值代入射影变换的固定直线方程组6。5 公式(5) ,即 0)( 0)( 0)( 333223113 332222112 331221111 得 0)1 ( 0)1 ( 0)1( 3 2 1 则特征方程为 1 0 0 00 1.0 01 =0 即(1+v)(1-v) 2=0,解得 v=-1 v=1( 二重根 ) 。 将 v=-1 代入固定直线方程组,即得固定直线为(1,0,0) 。 将 v=1 代入固
10、定直线方程组,得u1=0,即通过点( 1,0,0) 3、 见课本 四、证明题 1、见课本 2、证明这里所用的都是有向线段,利用O 为CD 中点这一假设,便有 OD=-OC 来论证的,由( AB ,CD )=-1,得 BCAD BDAC =-1 即 AC BD+AD BC=0 (1) 把所有线段都以 O 点做原点来表达,由 (1) 得 (OC-OA ) (OD-OB ) + (OD-OA ) (OC-OB ) =0 (2)由(2)去括号,移项,分解因子, 得2 (OA OB+OCOD )= (OA+OB) 5 (OC+OD) 2(OA OB- OC 2) = (OA+OB ) 0 OA OB-O
11、C 2=0即 OC2=OA OB (二) 一、 填空题(每小题 4 分,共 20 分) 1、设 1 P (1) , 2 P (-1) , 3 P () 为共线三点,则)( 321 PPP 1 。 2、写出德萨格定理的对偶命题:如果两个三线形对应边的交点在一条直线上, 则对应顶点的连线交于一点。 3、若共点四直线 a,b,c,d的交比为 (ab,cd)=-1 ,则交比 (ad,bc)=_2_ 。 4、平面上 4 个变换群,射影群,仿射群,相似群,正交群的大小关系为: 射影群包含仿射群,仿射群包含相似群,相似群包含正交群 5、二次曲线的点坐标方程为04 2 231 xxx,则其线坐标方程为是 2
12、132 u uu0 二、 选择题(每小题 2 分,共 10 分) 1. 下列哪个图形是仿射不变图形?( D ) A.圆B.直角三角形 C.矩形D.平行四边形 2. 22 1122 280uu uu 表示( C ) A.以-1/4 为方向的无穷远点和以 1/2 为方向的无穷远点 B. 以-4 为方向的无穷远点和以2 为方向的无穷远点 C. 以 4 为方向的无穷远点和以 -2 为方向的无穷远点 D. 以 1/4 为方向的无穷远点和以 -1/2 为方向的无穷远点 3. 两个不共底且不成透视的射影点列至少可以由几次透视对应组成?( B ) A.一次B.两次 C.三次D.四次 4. 下面的名称或定理分别
13、不属于仿射几何学有( A ): A. 三角形的垂心 B. 梯形 C.在平面内无三线共点的四条直线有六个交点 D.椭圆 5. 二次曲线按射影分类总共可分为( B ) A.4 类B.5 类 C.6 类D.8 类 三、判断题(每小题2 分,共 10 分) 1. 仿射对应不一定保持二直线的平行性。 ( ) 2. 两直线能把射影平面分成两个区域。 ( ) 3. 当正负号任意选取时,齐次坐标) 1, 1,1(表示两个相异的点。( ) 4. 在一维射影变换中,若已知一对对应元素( 非自对应元素 ) 符合对合条件,则 此 射影变换一定是对合。( ) 5. 配极变换是一种非奇线性对应。 ( ) 6 四、作图题(
14、 8 分) 已知线束中三直线a,b,c ,求作直线 d,使(ab,cd)=-1。 (画图,写出作法过程和 根据) 作法过程: 1、设 a,b,c交于点 A,在 c 上任取一点 C, (2分) 2、过 C点作两直线分别与a 交于 B、E,与 b 交于 F,D, (2 分) 3、BD与 EF交于 G,4、AG即为所求的 d。 (2 分) 根据:完全四点形的调和共轭性(2 分) 五、证明题( 10 分) 如图,设 FGH 是完全四点形 ABCD 对边三点形, 过 F的两直线 TQ与 SP分别交 AB,BC,CD,DA于T,S,Q,P. 试利用德萨格定理(或逆定理)证明:TS 与 QP的交点 M在直线
15、 GH上。 在三点形 BTS与三点形 DQP 中(4 分) 对应顶点的连线 BD,TQ,SP三线共点,(2 分) 由德萨格定理的逆定理知, (2 分) 对应边的交点 BT与DQ 的交点 G ,TS 与QP 的交点 M 以及BS 与DP 的交点 H三点共线,即 TS与QP 的交点 M 在直线 GH 上 六、计算题( 42 分) 1. (6 分)平面上经过 A(-3,2)和 B(6,1)两点的直线被直线x+3y-6=0 截 于 P点,求单比 (ABP) 解:设 P点的坐标为( x0,yo) () APAP ABP BPPB (分割比), (2 分) 00 362 , 11 xy而: 且 P在直线
16、x+3y-6=0 上, 362 ()3()60 11 解得=1,(2 分) 即 P是 AB中点,且( ABP )=1 2. (6 分)已知仿射平面上直线l 的非齐次坐标方程为x-2y+1=0,求 (1)l 的齐次坐标方程; (2)l 上无穷远点的坐标; 7 (3)l 上无穷远点的方程。 (1) 123 x2xx0-+=(2 分) (2) (1,1/2 ,0) (2 分) (3) 12 uu 1/ 20 3. (8 分) 在直线上取笛氏坐标为 2 ,0,3 的三点作为射影坐标系的P*,P0, E,(i) 求此直线上任一点P的笛氏坐标 x 与射影坐标 的关系; (ii )问有没有一点, 它的两种坐
17、标相等? 解: (i )由定义=(P*P0,EP )=(2 0 ,3x)=(3 2)(0) (2)(30)36 xx xx 10 60 3636 x x 故:,且(4 分) (ii) 若有一点它的两种坐标相等,即x=则有 36 x x x ,即 3x 27x=0, 当 x=0 及 x= 7 3 时两种坐标相等。 4. (8 分)求点列上的射影变换,它将参数为1,2,3 的点分别变为参数为1,3,2 的点,并求出此射影变换的自对应元素的参数。 设射影变换的方程为:0dcba(2 分) 由题意知: a+0dcb, 0326dcba ,6a+3b+2c+d=0 得到:7:5:5:3:dcba 故射影
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