2020高考理科数学二轮课件:专题4三角函数与解三角形 .pptx
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1、专题四 三角函数与解三角形,目 录 CONTENTS,考点一 任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式,必备知识 全面把握,核心方法 重点突破,考法例析 成就能力,必备知识 全面把握,考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式,(1)终边相同的角 所有与角终边相同的角,连同角在内构成的集合为|k360,kZ|2k,kZ,1角的概念,要注意上述的单位是一致的,当为角度时,与其终边相同的角为k360,kZ,k0;当为弧度时,与其终边相同的角为2k,kZ,k0.,5,对sin(n)进行化简时,要对整数n进行讨论,即sin(n) (kZ).,锐角仅是第一象限角的一部分,第一象限
2、的角不一定是锐角;终边在坐标轴上的角不属于任何象限,终边在坐标轴上的角的集合为 .,考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式,考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式,6,角的弧度数公式为| ,其中l是以为圆心角时所对圆弧的长,r为半径,(2)弧度制,弧度与角度换算:180弧度,弧长公式: . 扇形的面积公式:,考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式,7,利用平面直角坐标系,在角的终边上任取一点P(x,y)(与原点不重合),记r|OP|,2三角函数的定义,考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式,8,(1)三角函数值只与角的终边
3、的位置有关,由角的大小唯一确定,所以三角函数是以角为自变量,以比值为函数值的函数. 三角函数值在各象限的符号:,上述符号可简记为:一全正,二正弦,三正切,四余弦。,考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式,9,各象限内的三角函数线:,当角的终边与x轴重合时,正弦线、正切线都变成一个点,此时角的正弦值和正切值都为0;当角的终边与y轴重合时,余弦线变成一个点,正切线不存在,此时角的余弦值为0,正切值不存在,考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式,10,特殊角的三角函数值表:,考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式,11,(2)根据三角函数的定义可
4、以推导出一些三角函数公式,之间函数值的关系,其规律是“奇变偶不变,符号看象限”,其中奇、偶是指 (或90)的奇数倍和偶数倍,变与不变指函数名的变化,把看成锐角,实质可以为任意角,如:sin(270)cos .,考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式,12,考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式,13,平方关系:sin2cos21,常用变形sin21cos2, (sincos)212sincos;,同角三角函数关系式:,考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式,14,3三角函数的几种常用化简途径,(2)项的分拆与角的配凑 如分拆项:sin2x2
5、cos2x(sin2xcos2x)cos2x1cos2x; 配凑角(常用角变换): 2()(),2()(),等,等,考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式,15,(3)化弦(切)法 将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦(切)的形式,考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式,16,核心方法 重点突破,方法1 三角函数定义的应用,(1)在利用定义法解决问题时要注意点P所有可能的位置,避免漏解 (2)在利用三角函数定义时,点P可取终边上任一点,如有可能取终边与单位圆的交点 (3)利用单位圆和三角函数线是解简单三角不等式的常用技巧 (4)注意熟记0360间特殊角的
6、弧度表示及三角函数值,1三角函数定义法求值,考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式,17,例1、已知角的终边在直线3x4y0上,求sin ,cos ,tan 的值,考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式,18,三角函数线是三角函数的几何表示,它的特征是将三角函数值这一纯代数形式的比值直观地用单位圆中的有向线段来表示,使我们能直观地看到三角函数间的大小关系三角函数线法就是利用这一直观特征来研究和解决问题的在研究三角函数的定义域、值域(最值)、单调性,解三角不等式和方程,判断或证明三角函数的大小关系时经常应用这一方法,2三角函数线的应用,考点一任意角的三角函数、
7、同角三角函数基本关系式、诱导公式,19,例2、,考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式,20,方法2 同角三角函数基本关系的应用,1弦切互化法求值 在三角函数的求值、化简、证明过程中,经常需要根据三角函数式的特点作相应的恒等变形,在解决齐次式的问题时,需要熟练应用同角三角函数关系弦切互化,有时可以根据需要用平方关系,换1为sin2cos2.,考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式,21,例3、(1)山东潍坊2018模拟已知 则sin2sincos的值是 ( ) A. B C2 D2,(2)宁夏银川2017模拟已知 tan 2,则cos _,考点一任意角的三角
8、函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式,22,【答案】(1)A (2),考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式,23,2和积转化法求值 已知sincosm,求三角函数值的两种方法: 方法一:联立 通过解方程组求解; 方法二:两边同时平方可得12sincosm2 sin 2m21,再通过二倍角公式求解,利用(sin cos )212sin cos 的关系进行变形、转化,注意所求需要开方时要根据角所在象限判断结果的正负符号,考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式,24,例4、已知是三角形的内角,且sin cos . (1)求tan 的值; (2)把 用tan 表
9、示出来,并求其值.,考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式,25,考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式,27,例6、,考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式,28,例7、已知为第三象限角,f(),考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式,29,考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式,30,考法例析 成就能力,例1、北京201712在平面直角坐标系xOy中,角与角均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称若sin ,则cos()_,考法1 三角函数定义的应用,【解析】因为角和角的终边关于y轴对称,所以18036
10、0k,kZ.所以sin sin ,cos cos,所以cos()coscossinsincos2sin22sin21 .,【答案】,考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式,31,例2、浙江201818已知角的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点 (1)求sin()的值; (2)若角满足sin() ,求cos 的值,【解】(1)由角的终边过点 得sin , 所以sin()sin .,考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式,32,考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式,33,考法2 同角三角函数的基本关系式,例3、大纲全国2
11、0143设asin 33,bcos 55,ctan 35,则( ) Aabc Bbca Ccba Dcab,【解析】bcos 55sin 35sin 33a,ba. 又ctan 35 sin 35cos 55b,cb, cba.,【答案】C,考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式,34,例4、课标全国20165若tan ,则cos 22sin 2( ) A. B. C1 D.,【答案】A,考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式,35,例5、课标全国201714函数f(x)sin2x cos x 的最大值是 .,【答案】1,考点一任意角的三角函数、同角三角函数
12、基本关系式、诱导公式,36,考点二 三角恒等变换,必备知识 全面把握,核心方法 重点突破,考法例析 成就能力,37,必备知识 全面把握,sin()sin cos cos sin ; sin()sin cos cos sin ; cos()cos cos sin sin ; cos()cos cos sin sin ;,1和差角公式,考点二 三角恒等变换,38,2倍角公式,sin 22sin cos ; cos 2cos2sin22cos2112sin2;,3升降幂公式,注:升幂公式与降幂公式均是由cos 22cos 2112sin2变化得到的。,考点二 三角恒等变换,39,角的和、差、倍总是相
13、对而言的,我们要学会根据三角函数式的特征,对角作灵活的变形,如2 (),()(), ,1545306045等,考点二 三角恒等变换,40,4辅助角公式,考点二 三角恒等变换,41,核心方法 重点突破,方法 三角函数式的化简与求值,三角函数式的化简要注意以下几点: (1)坚持结构同化原则,即尽可能地化为同角函数、同名函数、同次函数等,其中切化弦也是同化思想的体现 (2)角的变换是三角恒等变换的核心,注意拼角、凑角的技巧,考点二 三角恒等变换,42,要灵活运用降幂公式 高次变低次,通过降幂公式把高次的三角函数变为低次,再利用辅助 角公式变为一个角的三角函数进行求解,考点二 三角恒等变换,43,例1
14、、已知0,化简,1三角函数式的化简,_,【答案】cos ,考点二 三角恒等变换,44,给角求值问题的特点:所给角都是非特殊角,表面看来不易求值,但仔细观察该非特殊角与特殊角之间总有一定的联系解题的关键是正确地选用公式,以便把非特殊角的三角函数相约或相消,从而转化为特殊角的三角函数求值,2三角函数的给角求值,例2、求值:(1),(2)四川树德中学2019届模拟,考点二 三角恒等变换,45,考点二 三角恒等变换,46,3三角函数的给值求值,给值求值问题的关键:找出已知式和欲求式之间的角、运算及三角函数式的差异,一般可以适当变换已知式,求得另外三角函数式的值,以备应用;同时变换欲求式,使其与已知式或
15、备用式有直接联系,达到解题的目的,考点二 三角恒等变换,47,例3、 辽宁锦州2018模拟设为锐角,若,【答案】,考点二 三角恒等变换,48,例4、江西临川一中2019届月考已知,考点二 三角恒等变换,49,考点二 三角恒等变换,50,例5、江西吉安白鹭洲中学2019届联考已知0,考点二 三角恒等变换,51,考点二 三角恒等变换,52,例6、已知,考点二 三角恒等变换,53,给值求角问题的关键:先求出该角的某一个三角函数值,同时根据该角的取值范围求出满足条件的角,达到解题的目的,4三角函数的给值求角,例7、湖南师大附中2019届月考已知,求的值,考点二 三角恒等变换,54,例8、已知tan()
16、 ,tan ,且,(0,),求2的值,考点二 三角恒等变换,55,对于三角恒等式的证明,最常用的方法就是直接法和代入法将条件角转化为结论角后,由已知等式直接推到结论等式,这种方法称为直接法;有时也可从已知等式中求解出部分角的三角函数值,进而代入求解,这种方法称为代入法,5三角函数的恒等式的证明,考点二 三角恒等变换,56,例9、 陕西延安黄陵2018校级月考已知tan22tan21,求证:sin22sin21.,考点二 三角恒等变换,57,考点二 三角恒等变换,58,考法例析 成就能力,考法1 利用两角和差公式与二倍角公式化简求值,例1、四川201512sin 15sin 75的值是_,【解析
17、】sin 15sin 75sin(4530)sin(4530) sin 45cos 30cos 45sin 30sin 45cos 30cos 45 sin 302sin 45cos 30 .,【答案】,考点二 三角恒等变换,59,例2、课标全国20169若 则sin 2( ),【答案】D,考点二 三角恒等变换,60,例3、课标全国201815已知sin cos 1,cos sin 0,则sin()_.,考点二 三角恒等变换,61,【答案】,考点二 三角恒等变换,62,例4、江苏201816已知,为锐角,tan ,cos() (1)求cos 2的值; (2)求tan()的值,考点二 三角恒等变
18、换,63,考点二 三角恒等变换,64,考法2 三角恒等变换的综合应用,例5、浙江201718已知函数f(x)sin2xcos2x,考点二 三角恒等变换,65,考点二 三角恒等变换,66,考点三 三角函数的图像和性质,必备知识 全面把握,核心方法 重点突破,考法例析 成就能力,67,必备知识 全面把握,1基本三角函数的图像及其作法,(1)正弦函数ysin x,xR的图像叫做正弦曲线余弦函数ycos x,xR的图像叫做余弦曲线正切函数ytan x,xR且x k(kZ)的图像叫做正切曲线,(2)作三角函数图像的方法: 列表描点法;对于函数ysin x,ycos x,x0,2可以用“五点法”作图;对于
19、函数yAsin(x),yAcos(x)(A0,0)的图像,可由ysin x,ycos x的图像变换得到,考点三 三角函数的图像和性质,68,五点法”作图,是作正弦函数、余弦函数草图的重要方法用“五点法”作函数yAsin(x)(A0,0)草图的具体步骤:设Xx;由X取0, , ,2求出相应的x值及对应的y值;描点作图,考点三 三角函数的图像和性质,69,2三角函数图像的三种变换,(1)相位变换:函数ysin(x)的图像可以看作是把函数ysin x的图像向左(0)或向右(0)平移|个单位长度而得到的,(2)周期变换:函数ysin x的图像可以看作是函数ysin x图像上的每一点的纵坐标不变,把横坐
20、标伸长(01)或缩短(1)为原来的 倍而得到的,(3)振幅变换:函数yAsin x的图像可以看作是函数ysin x图像上 的每一点的横坐标不变,把纵坐标伸长(A1)或缩短(0A1)为原来的A倍而得到的,考点三 三角函数的图像和性质,70,考点三 三角函数的图像和性质,71,考点三 三角函数的图像和性质,72,3三角函数图像的性质,考点三 三角函数的图像和性质,73,考点三 三角函数的图像和性质,74,考点三 三角函数的图像和性质,75,以上表格所列出的三角函数的性质是三角函数部分的重要内容,是解决三角函数有关问题的重要依据,在记忆时一定要结合三角函数的图像,4函数yAsin(x)(其中A0,0
21、)的主要性质,(1)定义域为R,值域为A,A; (2)周期性:最小正周期为 (3)单调性:令zx,利用ysin z的单调性解出x;,(4)对称性:对称轴是直线,对称中心是点,考点三 三角函数的图像和性质,76,考点三 三角函数的图像和性质,77,核心方法 重点突破,方法1 三角函数的图像变换,处理三角函数图像变换问题时,要弄清哪一个是原始函数(图像),哪一个是最终函数(图像),解决问题主要有以下几种方法:,1常规方法 正确确定原始函数与最终函数,根据“必备知识 全面把握”中“2.三角函数图像的三种变换”中的图形内容一步步求得结果 特别要强调的是,由ysin x的图像变换得到ysin(x)的图像
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