2020高考文科数学二轮课件:专题6数列 .pptx
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1、专题六 数列,目 录 CONTENTS,考点一 数列的概念与简单表示法,必备知识 全面把握,核心方法 重点突破,考法例析 成就能力,必备知识 全面把握,1数列的概念,按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项,例如,前后项之间形成固定关系的有序的一列数; 自变量仅取正整数,图像是离散点的特殊函数; 每一项都与其项数及某定值形成固定关系的一列数; 每一项与其对应的前n项和形成固定关系的一列数; 可以通过归纳的方法,找到表达式,并且对于每一项的检验都恒成立的一列数,考点一 数列的概念与简单表示法,5,图像法;列表法;通项公式法;递推公式法 通项公式:如果数列an中的第n项a
2、n与n之间的关系可以用一个公式 来表示,则称此公式为数列的通项公式.,2数列的表示方法,an与an是两种不同的表示,an表示数列a1,a2,an,是数列的一种简记形式;而an只表示数列an的第n项,an与an是“个体”与“整体”的从属关系 递推公式:如果从数列an的第2项起,任一项an与它的前一项an1(或前n项和Sn)间的关系可以用某个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式,考点一 数列的概念与简单表示法,6,按项数分类:有穷数列,无穷数列 按项与项间的大小关系分类:递增数列,递减数列,常数列,摆动数列,3数列的分类,考点一 数列的概念与简单表示法,7,一方面,数列是一种特殊的函数
3、,因此在解决数列问题时,要善于利用函数的思想方法来解题,即用共性来解决特殊问题 另一方面,还要注意数列的特殊性(离散型),因为它的定义域是N*或它的有限子集1,2,n,所以它的图像是一系列孤立的点,而不是连续的曲线,4函数与数列的联系与区别,考点一 数列的概念与简单表示法,8,已知数列为等差或等比数列,用等差、等比数列的公式、性质等解决;,5解决数列问题的一般方法,形似函数的数列,可以应用函数的方法,同时注意与函数的区别,形似等差、等比的数列,可以联想、类比、派生、转化为等差、等比 数列;,考点一 数列的概念与简单表示法,9,核心方法 重点突破,方法1 由an与Sn的关系求通项an,数列an的
4、前n项和Sn与an的关系为 先通过anSnSn1(n2)和题目中的已知条件消去an或Sn,再构造等差数列或者等比数列求解,(1)若消去Sn,应利用已知递推公式,把n换成n1得到另一个式子,两式相减即可求得通项,考点一 数列的概念与简单表示法,10,(2)若消去an,只需把anSnSn1代入递推式得到Sn,Sn1的关系,求出Sn后再利用an与Sn的关系求通项,在求解时一定要记住:(1)当n1时,a1S1;(2)当n2时,anSnSn1. 将n1时的表达式与n2时的表达式综合在一起,若a1适合n2时an的通项公式,则可以合并在一起,否则写成分段形式,方法1 由an与Sn的关系求通项an,考点一 数
5、列的概念与简单表示法,11,【解】(1)当n1时,a1S11; 当n2时,anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5. 又a11也适合上式,因此an4n5(nN*),例1 已知数列an的前n项和Sn,求an的通项公式 (1)Sn2n23n; (2)Sn3nb.,(2)当n1时,a1S13b; 当n2时,anSnSn1(3nb)(3n1b)23n1. 当b1时,a1适合上式;当b1时,a1不适合上式 当b1时,an23n1(nN*); 当b1时,an,考点一 数列的概念与简单表示法,12,【解析】当n1时,a16; 当n2时, 由a12a23a3nann(n1)(n2)得a12a2
6、3a3(n1)an1(n1)n(n1),两式相减得 nann(n1)(n2)(n1)n(n1)3n(n1),所以an3n3,当n1时也成立,故an3n3.,例2 数列an满足a12a23a3nann(n1)(n2)(nN*), 则这个数列的通项公式an_,【答案】3n3,考点一 数列的概念与简单表示法,13,【解】(1)由S1A2Ba15,S2A4Ba1a29,得A2,B1.,例3 在数列an中,a15,a24,数列an的前n项和SnA2nB(A,B为常数) (1)求实数A,B的值; (2)求数列an的通项公式,(2)因为Sn2n11,所以an 当n1时,a1S12215; 当n2时,anSn
7、Sn12n11(2n1)2n. 所以an,考点一 数列的概念与简单表示法,14,方法2 数列的单调性、最值、周期性等性质的应用,(1)解决数列的单调性问题可用以下三种方法: 作差比较法:根据 an+1-an的符号进行判断; 作商比较法:当an中各项都同号时,根据 与1的大小关系进行判断; 结合相应函数的图像直观判断,(3)解决数列周期性问题的方法:根据已知条件求出数列的前几项,确定数列的周期,再根据周期求值,(2)数列的最值通常利用函数最值的方法或者数列的单调性求解,考点一 数列的概念与简单表示法,15,【解析】an 且数列an是递增数列,则 2a3,实数a的取值范围是(2,3),【答案】(2
8、,3),例4 已知数列an满足an 且an是递增数列,则实数a的取值范围是_,考点一 数列的概念与简单表示法,16,【解析】由任意连续三项的和都是15得anan1an2an1an2an3,则anan3,所以a12a35,且a2a3a415,则a29,所以a2 018a36722a29.,例5 在数列an中,若a41,a125,且任意连续三项的和都是15,则a2 018_,【答案】9,考点一 数列的概念与简单表示法,17,例6 等差数列an的前n项和为Sn,已知S100,S1525,则nSn的最小值为_,【答案】49,考点一 数列的概念与简单表示法,18,考法例析 成就能力,本考点是高考的热点,
9、主要考查,(3)利用数列的函数性质求最值等,主要以填空题、解答题的形式呈现,难度有所下降,(2)由an与Sn的关系求通项公式;,(1)由数列的递推关系求通项公式;,考点一 数列的概念与简单表示法,19,例1 课标全国201814记Sn为数列an的前n项和若Sn2an1,则S6_.,考法1 由an与Sn的关系求值,【解析】方法一:Sn2an1(n1), Sn12an11(n2) 当n2时,得an2an2an1,an2an1. 当n1时,S1a12a11,解得a11. 数列an是以1为首项,2为公比的等比数列 S6 =-63,考点一 数列的概念与简单表示法,20,方法二:由题知当n2时,Sn2(S
10、nSn1)1, Sn2Sn2Sn11,Sn2Sn11. 构造Sn2(Sn1),Sn2Sn12, Sn2Sn1. 两式对应项相等,1. 当n1时,S1a12a11,解得a11, S112. Sn1是以S112为首项,2为公比的等比数列 Sn122n12n, Sn12n,S612663.,【答案】63,考点一 数列的概念与简单表示法,21,例2 课标全国201516设Sn是数列an的前n项和,且a11,an1SnSn1,则Sn_.,【解析】an1SnSn1,Sn1SnSnSn1. 两边同时除以SnSn1,得 1. 又 1, 是首项为1,公差为1的等差数列 1(n1)(1)n,Sn,【答案】,考点一
11、 数列的概念与简单表示法,22,例3 课标全国文201717设数列an满足a13a2(2n1)an2n. (1)求an的通项公式; (2)求数列 的前n项和,【解】(1)因为a13a2(2n1)an2n,故当n2时,a13a2(2n3)an12(n1) 两式相减得(2n1)an2.所以an (n2) 又由题设可得a12,满足an , 从而an的通项公式为an .,考点一 数列的概念与简单表示法,23,考点一 数列的概念与简单表示法,例3 课标全国文201717设数列an满足a13a2(2n1)an2n. (1)求an的通项公式; (2)求数列 的前n项和,24,考法2 利用数列的单调性求最值,
12、例4 已知数列an满足a12a222a32n1ann,nN*. (1)求数列an的通项公式; (2)求数列(2n13)an的最大项,【解】(1)a12a222a32n1ann, 当n2时,a12a222a32n2an1n1, 得2n1an1,an ,n2. 又n1时,a11也适合, an ,nN*.,考点一 数列的概念与简单表示法,25,考点一 数列的概念与简单表示法,26,考点二 等差数列及其前n项和,必备知识 全面把握,核心方法 重点突破,考法例析 成就能力,27,必备知识 全面把握,考点二 等差数列及其前n项和,一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差都等于同一个常数,那么这
13、个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示,1等差数列的定义,如果a,b,c成等差数列,那么b为a,c的等差中项,其中b= .,2等差中项,28,(1)等差数列的定义具有两重性,既可以判定一个数列是否为等差数列,也可以作为等差数列的一个性质 (2)a,b,c成等差数列是2bac的充要条件 (3)等差中项的推广: (n2,np),考点二 等差数列及其前n项和,29,(1)在通项公式中包含四个量,a1(首项)、d(公差)、n(序号)、an(第n项),知三求一;,3等差数列的通项公式,通项公式:ana1(n1)d (nN*),(2)由通项公式可推出.,注意把握:,考点二
14、等差数列及其前n项和,30,(3)用函数观点理解通项公式 an是定义在N*或其有限子集1,2,3,n上的一次函数(d0)或常数函数(d0)反之,若anndb,则an1and(n1)bndbd,可知数列an为等差数列 因此有结论:数列an是等差数列 anndb. 这个结论深刻揭示了等差数列的本质特征:当d0时,an是定义在N*或1,2,3,4,n上的一次函数;当d0时,an是一个常数函数 等差数列的图像是均匀分布在直线ydxb上的离散的点(当x取正整数时对应的点),即点的坐标为(n,an),这样可把一次函数的某些性质用于等差数列an,考点二 等差数列及其前n项和,31,通项公式:ana1(n1)
15、d和anam(nm)d的变式为 ,由此可联想点列(n,an)所在直线的斜率,由数列的单调性定义,易得 an为递增数列 d0; an为递减数列 d0; an为常数列 d0.,4等差数列的单调性,考点二 等差数列及其前n项和,32,5等差数列的前n项和公式,考点二 等差数列及其前n项和,前n项和公式: 等差数列的前n项和公式整理得 从函数观点理解前n项和公式,得到结论: 数列an是等差数列 SnAn2Bn(其中A,B为常数) 这个结论深刻揭示了等差数列前n项和的本质特征:当d0时,Sn是定义在N*或1,2,3,4,n上的二次函数,且常数项为0;当d0时,Sna1n是一个一次函数或常数0.因此,当d
16、0时,等差数列的前n项和的图像是分布在抛物线yAn2Bn上的一系列离散的点(当n取正整数时对应的点)于是,我们就可以借助抛物线来研究Sn的变化规律,33,考点二 等差数列及其前n项和,34,6关于等差数列an的常用结论,(1)对于任意正整数n,都有an1ana2a1.,(2)对于任意正整数m,n,p,q,若m+n=p+q,则am+an=ap+aq.,(3)对于任意正整数p,q,r,若pr2q,则有apar2aq.,(4)对于任意非零实数b,若数列ban是等差数列,则数列an也是等差数列,(5)若数列an,bn都是等差数列且项数相同,则kbn,anbn,anbn,panqbn都是等差数列,考点二
17、 等差数列及其前n项和,35,(10)若数列an为等差数列,则SnAn2Bn,当d0时,Sn有最小值;当d0时,Sn有最大值,(9)若数列an为等差数列,且Spq,Sqp,则Spq(pq),pq.,(8)若数列an为等差数列,且SnSm(mn),则Smn0.,(7)若数列an为等差数列,则S3m3(S2mSm),(6)在等差数列中,每隔相同的项抽出来的项按照原来顺序排列,构成的新数列仍然是等差数列,考点二 等差数列及其前n项和,36,(11)若数列an为等差数列, 若数列的项数为2n1(nN*),设S奇,S偶分别为所有奇数项的和与所有偶数项的和,则S奇S偶S2n1 (a1a2n1)(2n1)(
18、2n1)an1(an1为中间项),S奇S偶an1,,若数列的项数为2n(nN*),则S2n (a1a2n)2nn(anan1)(an,an1为中间两项),考点二 等差数列及其前n项和,37,(12)若数列an是等差数列,前n项和为Sn,则数列 也是等差数列,其首项与数列an的首项相同,公差是数列an的公差的 .,(13)若数列an,bn都是等差数列,其前n项和分别为Sn,Tn,则,(15)等差数列an的前n项和为Sn,且Sm,S2m,S3m,S4m,分别为数列an的前m项,前2m项,前3m项,前4m项,的和,则Sm,S2mSm,S3mS2m,成等差数列,(14)若三个数成等差数列,则通常可设这
19、三个数分别为xd,x,xd;若四个数成等差数列,则通常可设这四个数分别为x3d,xd,xd,x3d.,考点二 等差数列及其前n项和,38,核心方法 重点突破,方法1 等差数列的判定与证明,等差数列的判定与证明方法: (1)定义法:用定义法时常采用的两个式子anan1d和an1and有差别,前者必须加上“n2”,否则n1时a0无意义;,(3)通项公式法:anpnq(p,q为常数)对任意的正整数n都成立an是等差数列;,(2)等差中项法:2anan1an1(n2,nN*)成立an是等差数列;,考点二 等差数列及其前n项和,39,(6)若判断一个数列不是等差数列,只需找出三项an,an1,an2,使
20、得这三项不满足2an1anan2即可,(5)an为等比数列,an0 logaan为等差数列(a0且a1);,(4)前n项和公式法:验证数列an的前n项和SnAn2Bn(A,B为常数)对任意的正整数n都成立an是等差数列;,考点二 等差数列及其前n项和,40,例1 (1)已知数列an的前n项和Sn3n22n,求证:数列an是等差数列; (2)已知 成等差数列,求证: 也成等差数列,【证明】(1)当n1时,a1S1321. 当n2时,anSnSn13n22n3(n1)22(n1)6n5. 当n1时,也满足上式,an6n5. 首项a11,anan16n56(n1)56(常数), 数列an是等差数列,
21、且公差为6.,考点二 等差数列及其前n项和,41,考点二 等差数列及其前n项和,例1 (1)已知数列an的前n项和Sn3n22n,求证:数列an是等差数列; (2)已知 成等差数列,求证: 也成等差数列,42,例2 设数列an的前n项和为Sn,且Sn1Sn(n1)an1 an1,nN*,a26,求证:数列an是等差数列,考点二 等差数列及其前n项和,43,方法2 等差数列的基本运算,(1)方程思想:等差数列的基本量有首项a1,公差d,项数n,通项an,前n项和Sn,通常利用条件和通项公式、前n项和公式建立方程组求解,(2)整体思想:当所给条件只有一个时,可将已知和所求利用通项公式、求和公式都用
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