【三维设计】2014届高考数学一轮复习(基础知识+高频考点+解题训练)数系的扩充与复数的引入教学案要点.pdf
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1、1 数系的扩充与复数的引入 知识能否忆起 一、复数的有关概念 1 复数的概念: 形如abi(a,bR) 的数叫复数, 其中a,b分别是它的实部和虚部若 b0,则abi 为实数;若b0,则abi 为虚数;若a0,b0,则abi 为纯虚数 2复数相等:abi cdi ?ac,bd(a,b,c,dR) 3共轭复数:abi 与cdi 共轭 ?ac,bd0(a,b,c,dR) 4复数的模:向量OZ的长度叫做复数zabi 的模,记作 |z| 或|abi| ,即 |z| |abi| a 2 b 2 . 二、复数的几何意义 复数zabi 复平面内的点Z(a,b) 平面向量OZ . 三、复数的运算 1复数的加、
2、减、乘、除运算法则 设z1abi ,z2cdi(a,b,c,dR) ,则: (1) 加法:z1z2(abi) (cdi) (ac) (bd)i ; (2) 减法:z1z2(abi) (cdi) (ac) (bd)i ; (3) 乘法:z1z2(abi) (cdi) (acbd) (adbc)i ; (4) 除法: z1 z2 abi cdi abcd cdcd acbdbcad c 2 d 2(cdi 0) 2复数加法、乘法的运算律 对任意z1,z2,z3C,有z1z2z2z1, (z1z2) z3z1(z2z3) ;z1z2z2z1, (z1z2) z3z1(z2z3) ,z1(z2z3)
3、z1z2z1z3. 小题能否全取 1( 教材习题改编 ) 已知aR,i 为虚数单位,若(12i)(ai) 为纯虚数, 则a的值等 于( ) A 6 B 2 C2 D 6 2 解析:选B 由(1 2i)(ai) (a2) (1 2a)i是纯虚数,得 a20, 12a0, 由此 解得a 2. 2(2011湖南高考) 若a,bR,i 为虚数单位,且(ai)ibi ,则 ( ) Aa1,b 1 Ba 1,b1 Ca 1,b 1 Da1,b 1 解析:选 D 由(ai)ibi , 得 1ai bi , 根据两复数相等的充要条件得a 1, b 1. 3(2012天津高考)i是虚数单位,复数 53i 4 i
4、 ( ) A1i B 1i C1i D 1i 解析:选 C 53i 4i 205i 12i 3i 2 16i 2 1717i 17 1i. 4若复数z满足 z 1i 2i ,则z对应的点位于第_象限 解析:z2i(1 i) 22i ,因此z对应的点为 ( 2,2) ,在第二象限内 答案:二 5若复数z满足zi 3 i i ,则 |z| _. 解析:因为z3i i i 13i i 14i ,则 |z| 17. 答案:17 1. 复数的几何意义 除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外,还要注意 (1)|z| |z 0| a(a0)表示复数z对应的点到原点的距离为a; (2)|zz0| 表示复
5、数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离 2复数中的解题策略 (1) 证明复数是实数的策略:zabi R?b0(a,bR) ;zR?zz. (2) 证明复数是纯虚数的策略:zabi 为纯虚数 ?a 0,b0(a,b R) ; b0时,zz2bi 为纯虚数;z是纯虚数 ?zz0 且z0. 3 复数的有关概念 典题导入 例 1 (1)(2012 陕西高考) 设a,bR, i 是虚数单位, 则“ab0”是“复数ab i 为 纯虚数”的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 (2)(2012 郑州质检) 如果复数 2bi 12i ( 其中 i 为虚数单位,
6、b为实数 ) 的实部和虚部互为 相反数,那么b等于 ( ) A 2 3 B. 2 3 C.2 D2 自主解答 (1) 若复数a b i abi 为纯虚数,则a0,b0,ab0;而ab0 时a 0 或b0,ab i 不一定是纯虚数,故“ab0”是“复数a b i 为纯虚数”的必要不充分条 件 (2) 2bi 12i b 2bb 5 , 依题意有 22b4b,解得b 2 3. 答案 (1)B (2)A 由题悟法 处理有关复数的基本概念问题,关键是找准复数的实部和虚部,从定义出发, 把复数问 题转化成实数问题来处理由于复数zabi(a,bR) 由它的实部与虚部唯一确定,故复 数z与点Z(a,b) 相
7、对应 以题试法 1(2012东北模拟) 已知 x 1 i 1yi ,其中x,y是实数, i 是虚数单位,则xyi 的共轭复数为 ( ) A12i B 12i C2i D 2i 4 解析:选D 依题意得x (1 i)(1yi) (1 y) (1 y)i ;又x,yR,于是有 x 1y, 1y0, 解得x2,y1. xyi 2i ,因此xyi 的共轭复数是2i. 复数的几何意义 典题导入 例 2 (2012山西四校联考) 已知复数z的实部为 1,虚部为2,则 2i z (i为虚部 单位 ) 在复平面内对应的点所在的象限为( ) A第一象限B 第二象限 C第三象限D 第四象限 自主解答 选 C 依题
8、意得 2i z 2i 1 2i 1 11 43i 5 ,因 此该复数在复平面内对应的点的坐标是 4 5, 3 5 ,位于第三象限 由题悟法 复数与复平面内的点是一一对应的,复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应 的,因此复数加减法的几何意义可按平面向量加减法理解,利用平行四边形法则或三角形法 则解决问题 以题试法 2(1) 在复平面内,复数65i , 23i 对应的点分别为A,B,若C为线段AB的中 点,则点C对应的复数是( ) A48i B 82i C24i D 4i (2)(2012 连云港模拟) 已知复数z1 12i ,z2 1i ,z334i ,它们在复平面上 对应的点分别为A,
9、B,C, 若OCOAOB, ( , R) , 则 的值是 _ 解析: (1) 复数 65i 对应的点为A(6,5),复数 23i 对应的点为B( 2,3) 利用中 点坐标公式得线段AB的中点C(2,4),故点C对应的复数为24i. (2) 由条件得OC(3 , 4) ,OA( 1,2) ,OB(1 , 1), 根据OCOAOB得 (3 , 4) (1,2) (1 , 1) ( ,2) , 5 3, 2 4, 解得 1, 2. 1. 答案: (1)C (2)1 复数的代数运算 典题导入 例 3 (1)(2012 山东高考) 若复数z满足z(2 i) 117i(i为虚数单位 ) ,则z为 ( )
10、A35i B 35i C 35i D 3 5i (2)(2011 重庆高考) 复数 i 2i3i4 1i ( ) A 1 2 1 2i B 1 2 1 2i C. 1 2 1 2i D. 1 2 1 2i 自主解答 (1)z 117i 2i 1525i 5 35i. (2) i 2i3i4 1i 1 1i i 1i 1i 2 1 2 1 2i. 答案 (1)A (2)C 由题悟法 1复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算,除法运算是分子分母同乘以分 母的共轭复数,注意要把i 的幂写成最简形式 2记住以下结论,可提高运算速度: (1i) 2 2i ; 1i 1i i ; 1i 1i i ;
11、 abi i bai ;i 4n1, i4n1i , i 4n2 1,i4n3 i( n N) 以题试法 3(1)(2012 山西四校联考) 设复数z的共轭复数为z,若z1i(i为虚数单位 ) , 6 则 z z z 2 的值为 ( ) A 3i B 2i Ci D i (2)i为虚数单位, 1i 1i 4 _. 解析: (1) 依题意得 z z z 21i 1i (1 i) 2i 2i 1i 2i i 2i i. (2) 1i 1i 4 2 2 4i41. 答案: (1)D (2)1 1(2012江西高考) 若复数z1 i(i为虚数单位 ) ,z是z的共轭复数,则z 2 z 2 的虚部为 (
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