人教a版必修1学案:3.1函数与方程(含答案).pdf
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1、第三章函数的应用 3.1函数与方程 【入门向导】详释二分法 关于这个问题的回答,我们不妨先来看一段CCTV2 幸运 52 的一个片段: 主持人李咏 (以下简称李 )说道 “猜一猜这件商品的价格” 甲: 2 000!李:高了!甲: 1 000!李:低了! 甲: 1 700!李:高了!甲: 1 400!李:低了! 甲: 1 500!李:低了!甲: 1 550!李:低了! 甲: 1 580!李:高了!甲: 1 570!李:低了! 甲: 1 578!李:低了!甲: 1 579! 李:这件商品归你了下一件, 有一位老师和他的三位学生做了如下问答: 老师:如果让你来猜这件商品的价格,你如何猜? 钱立恒:先
2、初步估算一个价格,如果高了再每隔十元降低报价 方仕俊:这样太慢了, 先初步估算一个价格,如果高了每隔100 元降低报价 如果低了, 每隔 50 元上涨;如果再高了,每隔20 元降低报价;如果低了,每隔10 元上升报价 , 侯素敏:先初步估算一个价格,如果高了,再报一个价格;如果低了,就报两个价格和 的一半;如果高了,再把报的低价与一半价相加再求其半,报出价格;如果低了,就把刚刚 报出的价格与前面的价格结合起来取其和的半价, 侯素敏的回答是一个比较准确的结果,所采用的方法就是二分法的思维方式 区间逼 近法 函数零点求解三法 我们知道,如果函数yf(x)在 xa 处的函数值等于零,即f(a)0,则
3、称 a 为函数的零 点本文现介绍函数零点求解三法 一、代数法 例 1 求函数 f(x)x22x3 的零点 解令 x22x 30, 224(3)160, 方程有两个不相等实数根 方法一因式分解法或试根法 x 2 2x3 (x3)(x1)或由 f(x)x22x3, 试一试 f(1)122130, f(3)(3) 2 2(3)3 0. 所以 f(x)的零点为x11,x2 3. 方法二配方法 x 2 2x3 (x1)240, 所以 x1 2.所以零点x11,x2 3. 方法三公式法 x1,2 b b2 4ac 2a 2 4 2 . 所以零点 x1 1,x2 3. 点评本题用了由求函数f(x)的零点转化
4、为求方程f(x)0 的实数根的办法 运用因式分 解法或试根法、配方法、公式法,以上统称为代数法 二、图象法 例 2 f(x) log3(x 3) 4x 的零点情况是 () A有两个正零点B有两个负零点 C仅有一个零点D有一个正零点和一个负零点 解析设 g(x)log3(x3),h(x)4x,在同一坐标系内作出它们的图象 (如右图 )由图 易知,两图象有两个交点且分别在y 轴两侧,所以函数有一个正零点和一个负零点故选 D. 答案D 点评求函数 yg(x)h(x)的零点,实际上是求曲线yg(x)与 yh(x)的交点的横坐标, 即求方程g(x)h(x)0 的实数解 三、用二分法求函数近似零点 例 3
5、 用二分法求函数f(x)x33 的一个正零点(精确到 0.01) 解由于 f(1) 20, 因此区间 1,2作为计算的初始区间,用二分法逐次计算,如下表: 端点 (中点 )坐标计算中点函数值取值区间 f(1) 20 1,2 x1 12 2 1.5f(x1)0.37501,1.5 x2 11.5 2 1.25 f(x2) 1.0470 1.437 5, 1.468 75 x6 1.437 51.468 75 2 1.453 125 f(x6)0 1.437 5,1.453 125 x71.445 312 5 f(x7)0 1.437 5,1.445 312 5 因为 1.445 312 51.4
6、37 50.007 812 50,则有结论:函数y f(x)在区间 (a,b)上不存在零点判断该命题是否正确 错解正确 剖析对区间 (a, b)上的连续函数y f(x),若 f(a) f(b)0,而 在区间 (1,1)上显然存在零点 故该命题不正确 点评(1)函数 y f(x)的图象在区间 (a,b)上连续且有f(a) f(b)1 时恰有一实根 错解将已知函数图象向上平移 001 个单位 (如图所示 ),即得 f(x)x(x 1)(x 1) 0.01 的图象故选B 项 剖析肉眼观察无法替代严密的计算与推理,容易“走眼 ” 正解f(2)0, f( 2)f(1)0, C 项错误而f(0.5)0 ,
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