人教a版必修1学案:3.2函数模型及其应用(含答案).pdf
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1、3.2 函数模型及其应用 【入门向导】想一想? 杰米是一个百万富翁,一天,他碰到了一件奇怪的事一个叫韦伯的人对他说,我想和 你订个合同,在整整的一个月(30 天)内,我每天给你10 万元,而你第一天只需给我1 元钱, 第二天给我2 元钱,每天给我的钱是前一天的两倍杰米非常高兴,他同意订这样的合同 同学们,按此合同,谁最终会获利?(提示公式: 202 122, 2n 112 n 12 ) 幂函数、指数函数、对数函数三种函数模型的增长情况有什么区别? 一般地,对于指数函数yax(a1)和幂函数 yx n(n0),通过探索可以发现,在区间 (0, )上,无论 n 比 a 大多少, 尽管在 x 的一定
2、变化范围内,ax会小于 xn,但由于 ax的增长快 于 xn的增长,因此总存在一个x0,当 xx0时,就会有axxn. 同样地,对于对数函数ylogax(a1)和幂函数 y x n(n0),在区间 (0, )上,随着 x 的增长, logax 增长得越来越慢,图象就像是渐渐地与 x 轴平行一样,尽管在x 的一定变化范 围内,logax 可能会大于 x n, 但是由于 log ax 的增长慢于x n 的增长, 因此总存在一个x0, 当 xx0 时,就会有logax1)、ylogax(a1)和 yxn(n0)都是增 函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“级别”上,随着x 的增大, yax(a
3、1)的增 长速度越来越快,会超过并远远大于y xn(n0)的增长速度,而 ylogax(a1)的增长速度则 会越来越慢,因此,总会存在一个x0,当 xx0时,就会有logax0,b1); 5对数函数模型:f(x)mlogaxn(m、n、a 为常数, a0,a1); 说明随着新课标的实施,指数、对数函数模型将会起到越来越重要的作用,在高考的 舞台上将会扮演愈来愈重要的角色 6幂函数模型:f(x)ax nb(a、b、n 为常数, a0, n1); 7分段函数模型:这个模型实则是以上两种或多种模型的综合,因此应用也十分广泛 函数应用举例 函数应用题是函数知识的综合运用,涉及到的知识面很广,这里主要对
4、一、二次函数及 分段函数的应用举例分析,希望能对同学们有所帮助 一、建立函数解析式,解决几何问题 例 1 现有 100米长的篱笆材料, 利用一面长度够用的墙作为一边,围成一个矩形的猪圈, 问此矩形的长、宽各为多少时,猪圈的面积最大?最大为多少? 分析如图要求出矩形的面积就要知道矩形长与宽,篱笆材料的长共为100 米,因此可 假设宽为x 米,则矩形的长就可以表示出来,这样就可以得到面积S关于 x 的解析式 解如右图,设矩形猪圈的宽为x 米,则长为 (1002x)米, 于是 S x(1002x) 2x2100x 2(x25) 21 250(03 000 时,交纳公积金后实得y0.85x300. 所
5、以所求函数的表达式为 y x,03 000. (2)张某的月工资为2 400 元, 则他实得y2 4000.91502 310(元), 因此他交纳的公积金为2 400231090(元) 答张某应交纳公积金90 元 函数模型建立过程中的常见错误 解答函数应用问题时,要分四步进行: 第一步:阅读、理解; 第二步:建立数学模型,把应用问题转化为数学问题; 第三步:解答数学模型,求得结果; 第四步:把数学结果转译成具体问题的结论,做出解答 而这四步中,最为关键的是把第二步处理好只要把数学模型建立妥当,所有的问题即 可在此基础上迎刃而解但是,很多同学在建模过程中忽视了一些细节,导致“满盘皆输” 一、忽视
6、实际意义出错 例 4 生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,它可以表示为商品数量的函数现 知一企业生产某种商品的数量为x(件)时的成本函数为y102x2x2(万元 ),若售出一件商 品的价格是20 万元,那么该企业所能获取的最大利润是多少? 错解设该企业所能获取的最大利润为z(万元 ),则 z20x(102x2x 2), 即 z 2x218x10 2(x4.5) 230.5, 故 z的最大值为30.5,即该企业所能获取的最大利润为30.5 万元 剖析同学们,你认为以上解答出现了什么问题?应该怎样进行修正呢?题目中的条件 已经暗示了x 为自然数,而该错解中却是在x 4.5 时取到的最大值30
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