人教a版必修5学案:2.2等差数列(含答案).pdf
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1、2.2等差数列 自主学习 知识梳理 1等差数列的定义 一般地,如果一个数列从第_项起,每一项与它的前一项的差都等于_ 常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的_,通常用字母 _表示 2等差中项 如果 A ab 2 ,那么 A 叫做 a与 b 的_ 3等差数列的单调性 等差数列的公差_时,数列为递增数列; _时,数列为递减数列; _ 时,数列为常数列 4等差数列的通项公式 an_, 当 d 0 时, an_, an是关于 n 的_函数;当 d0 时, an _,an是关于 n 的_函数,点 (n,an)分布在一条以 _为斜率 的直线上,是这条直线上的一列_的点 5等差数列的性质
2、(1)若 an是等差数列,且kl m n(k、l、 m、 nN * ),则 _ (2)若 an是等差数列且公差为d,则 a2n也是 _,公差为 _ (3)若 an是等差数列且公差为d,则 a2n1 a2n 也是 _,公差为 _ 自主探究 如果等差数列an 的首项是 a1,公差是d,你能用两种方法求其通项吗? 对点讲练 知识点一等差数列的通项公式 例 1若 an 是等差数列, a158, a6020,求 a75. 总结方法一:先求出a1, d,然后求a75;方法二:应用通项公式的变形公式an am (nm)d 求解 变式训练 1在等差数列 an 中,已知 amn,anm,求 amn的值 知识点二
3、等差数列的性质 例 2已知等差数列 an中, a1 a4a715,a2a4a645,求此数列的通项公式 总结要求通项公式,需要求出首项a1和公差 d,由 a1a4a715,a2a4a645 直接 求解很困难,我们可以换个思路,利用等差数列的性质,注意到a1a7a2a62a4问题 就简单了 变式训练2成等差数列的四个数之和为26,第二个数与第三个数之积为40,求这四 个数 知识点三等差数列的判断 例 3已知数列 an 满足 a1 4,an4 4 an1 (n2),令 bn 1 an2. (1)求证:数列 bn 是等差数列; (2)求数列 an的通项公式 总结判断一个数列an是否是等差数列, 关键
4、是看an1an是否是一个与 n 无关的常 数 变式训练 3若 1 bc, 1 ca, 1 ab是等差数列,求证: a 2,b2,c2 成等差数列 1证明数列 an为等差数列的方法 (1)定义法: an1 and (d 为常数, n1)? an为等差数列或 anan1d (d 为常数, n2)? an为等差数列 (2)等差中项法:2an1an an2? an 是等差数列 (3)通项法: anpnq (p、qR)? an是等差数列,只要说明an为 n 的一次函数,就 可下结论说 an是等差数列 2三个数成等差数列可设为:ad, a,ad 或 a,ad, a2d;四个数成等差数列 可设为: a3d,
5、 ad,ad, a3d 或 a,a d,a2d,a3d. 课时作业 一、选择题 1在等差数列an中, a13a8a15 120,则 2a9 a10的值为 ( ) A24 B22 C20 D 8 2已知等差数列 an中, a2 9, a3 a2 2 3,则 an 为() A14n3 B16n4 C15n39 D15n8 3等差数列 an 的公差 d0d0d0 4a1(n1)d a1常数dn(a1d)一次d孤立 5(1)akal aman (2)等差数列2d (3)等差数列4d 自主探究 解第一种方法:根据等差数列的定义,可以得到 a2 a1 d,a3a2d,a4a3d,.所以 a2 a1 d,
6、a3 a2 d(a1d)da12d, a4 a3 d(a12d) da13d, 由此得出: ana1(n 1)d. 第二种方法:由等差数列的定义知, an an1d(n2), 所以 a2a1d a3a2d a4a3d ? anan1d (n1)个 将以上 (n1)个等式两边分别相加, 可得 ana1(n1)d,即 an a1 (n 1)d. 对点讲练 例 1解设an 的公差为 d. 方法一由题意知 a15a114d 8, a60a159d 20, 解得 a1 64 15, d 4 15. 所以 a75 a1 74d 64 15 74 4 1524. 方法二因为 a60a15 (6015)d,
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