人教a版必修5学案:2.5等比数列的前n项和(含答案).pdf
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1、2.5等比数列的前n 项和 材拓展 1等比数列的判定方法有以下几种 (1)定义法: an1 an q (q 是不为 0 的常数, nN * )? an是等比数列; (2)通项公式法:ancq n (c,q 均是不为 0 的常数, n N* )? an是等比数列; (3)中项公式法:a 2 n1an an2 (an an1 an20,nN *)? a n是等比数列; (4)前 n 项和法:若 SnA(q n1), (A0, q0 且 q1)则a n是等比数列, 其中 A a1 1q. 例如:等比数列an 的前 n 项和是 Sn32 n t,则 t 的值是 _ 解析 an是等比数列, Sn32 n
2、t91 3 nt9 1 3 n1 , t9. 答案9 2等比数列的通项公式 (1)通项公式 ana1q n1 (其中 a 1为等比数列 an的首项, q 为其公比 ) (2)等比数列与函数的关系 由通项公式ana1q n1,可得 ana 1 q q n,当 q0,且 q1 时, yqx 是一个指数函数, 而 y a1 q q x 是一个不为零的常数与指数函数的积因此等比数列 an的图象是函数 y a1 q q x 的 图象上的一些离散点 例如:已知 an为等差数列, bn为等比数列,其公比q1,且 bn0,若 a1b1,a11 b11,则 a6与 b6的大小关系是_ 解析bn0, b10,q0
3、. 点(n,bn)分布在函数 y b1 q q x 的图象上 点(n,an)分布在函数 ydx(a1d)的图象上 当 q1 时,它们的图象如图1 所示; 当 01 还是 0b6. 答案a6b6 3等比数列的前n 项和 等比数列前n 项和公式为 Sn na1 q1 , a11q n 1q a1anq 1q q1 . 注意: 等比数列前n 项和公式有两种形式,运用该公式求和时,首先要判断公比q 是否 为 1,再由 q 的情况选择求和公式的形式,当公比q 不确定时,要注意对q 分 q1 和 q1 进行讨论 例如: 1a a2, an 1 _.( 其中 a0) 答案 n,a1 1a n 1 a ,a1
4、 4等比数列的常用性质 在等比数列 an中, (1)对任意的正整数m,n,有 anamq nm. (2)对于任意的正整数m,n,p,q,若 mn pq,则有 am anap aq. (3)当 a10 q1 或 a10 01 时, an 是递减数列; 当 q1 时, an为常数列;当 q0,它的前n 项和为 80,且其中数值最大的项为 54,前 2n项的和为6 560.求此数列的通项公式 分析因为前 n 项和与 2n 项和已知,这为建立方程提供了条件,由此可求得首项a1与 公比 q 之间的关系,进而确定an. 解设数列的公比为q, 由 Sn80,S2n6 560,得 q1,否则 S2n 2Sn.
5、 a11q n 1 q 80, a11q 2n 1q 6 560. ,得 qn81. 将 qn81 代入 得, a1q1. 又a10,q1.数列 an 是递增数列 从而, a1qn 154, a 1q n 54q, 81a154q. 联立,解得q 3,a12. ana1qn 12 3n1 . 三、等比数列的性质及应用 方法链接 :对于等比数列,还有以下的常用结论: (1)如果数列 an 是等比数列, c 是不等于0 的常数,那么数列 c an仍是等比数列; (2)如果 an, bn是项数相同的等比数列,那么数列an bn, an bn 仍是等比数列; (3)在等比数列 an 中,间隔相同的项构
6、成的数列,仍是等比数列 如 a1,a4, a7,a10,, ; (4)Sn为等比数列 an的前 n 项和,一般地:Sn,S2nSn,S3nS2n构成等比数列 (q1 或 n 为奇数 ); (5)若 an是公比为q 的等比数列, 则 SmnSnq nS m.解等比数列问题时,熟练运用上述 性质,进行整体代换,可以简化解题过程,提高解题速度 例 3在等比数列 an中, (1)若 q 1 2,S 9977,求 a3a6, a99的值; (2)若 an的前 m 项和为 2,其后 2m 项和为 12,求再后3m 项的和 解(1)S99(a1a4 ,a97) (a2 a5 , a98)(a3a6 ,a99
7、) 1 q 2 1 q 1 (a3 a6,a99)7(a3a6,a99)77 a3a6, a9911. (2)涉及 an的前 6m 项,把每 m 项之和依次记作:A1,A2,A3,A4, A5,A6,则它们成 等比数列公比记作q. 且 A12,A2A312,A2A32q2q212, q2 或 q 3. 当 q2 时, A4A5A6 A1(q3q4q5) 2(232425) 112; 当 q 3 时, A4A5 A6A1(q3q4q5) 2(3)3(3)4(3)5 378. 后 3m 项的和为112 和 378. 四、错位相减求前n 项和 方法链接: 等比数列 an的前 n 项和公式的推导方法即
8、错位相减法是很重要的方法, 必 须熟练掌握 该法主要应用于已知数列求和中,各项的组成是等差数列和等比数列对应项乘 积构成的新数列的求和问题 例 4设数列 an的前 n 项和为 Sn2n2,bn为等比数列,且 a1b1,b2(a2a1)b1. (1)求数列 an和 bn的通项公式; (2)设 cn an bn,求数列 cn 的前 n 项和 Tn. 解(1)当 n1 时, a1S12; 当 n2 时, anSnSn12n22(n 1)24n2, a1也满足上式 故an的通项公式为 an4n2, 即an是 a12,公差 d4 的等差数列 设bn的公比为 q,则 b1qdb1,d4, q1 4. 故
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