人教a版必修5学案:2.5等比数列的前n项和(1)(含答案).pdf
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1、2.5等比数列的前n 项和 (一) 自主学习 知识梳理 1等比数列前n 项和公式: (1)公式: Sn q1 q1 . (2)注意:应用该公式时,一定不要忽略q1 的情况 2等比数列前n 项和的一个常用性质: 在等比数列中,若等比数列an的公比为 q,当 q 1,且 m 为偶数时, Sm S2mS3m 0,此时 Sm、S2mSm、S3m S2m不成等比数列;当q 1 或 m 为奇数时, Sm、S2mSm、 S3mS2m成等比数列 3推导等比数列前n 项和的方法叫 _法一般适用于求一个等差数列与一个 等比数列对应项积的前n 项和 自主探究 阅读教材后,完成下面等比数列前n 项和公式的推导过程 方
2、法一: 设等比数列a1,a2, a3,, ,an,, ,它的前n 项和是Sna1a2a3, an. 由等比数列的通项公式可将Sn写成 Sna1a1q a1q 2, a1qn 1. 式两边同乘以q 得 qSn_. ,得 (1q)Sn _,由此得q1 时, Sn_,因为 an_,所以上式可化为 Sn_.当 q1 时, Sn _. 方法二: 由等比数列的定义知 a2 a1 a3 a2, an an1q. 当 q1 时, a2a3, an a1a2, an1q,即 Sna1 Snanq. 故 Sn_. 当 q1 时, Sn_. 方法三: Sna1a1qa1q2, a1qn 1 a1q(a1a1q ,
3、a1q n2 ) a1qSn1 a1 q(Snan) 当 q1 时, Sn_. 当 q1 时, Sn_. 对点讲练 知识点一有关等比数列前n 项和的计算 例 1在等比数列 an中, S3 7 2,S6 63 2 ,求 an. 总结涉及等比数列前n 项和时,要先判断q1 是否成立,防止因漏掉q1 而出错 变式训练 1在等比数列 an 中, a1an66,a3an2128,Sn126,求 n 和 q. 知识点二利用等比数列前n 项和的性质解题 例 2在等比数列 an中,已知 Sn48,S2n60,求 S3n. 总结通过两种解法比较,可看出,利用等比数列前n 项和的性质解题,思路清晰,过 程较为简捷
4、 变式训练 2等比数列的前n 项和为 Sn,若 S1010,S2030,S60630,求 S70的值 知识点三错位相减法的应用 例 3求和: Snx2x23x3, nxn (x0,nN*) 总结一般地,如果数列an是等差数列, bn是等比数列,求数列 anbn 的前 n 项和 时,可采用这一思路和方法 变式训练 3求数列 1,3a,5a 2,7a3,, , (2n 1)a n1 的前 n 项和 1在等比数列的通项公式和前n 项和公式中,共涉及五个量:a1,an,n,q,Sn,其中 首项 a1和公比 q 为基本量,且“知三求二 ” 2前 n 项和公式的应用中,注意前n 项和公式要分类讨论,即q1
5、 和 q1 时是不同 的公式形式,不可忽略q1 的情况 3教材中的推导方法叫做错位相减法,这种方法是我们应该掌握的重要方法之一它 适合数列 anbn的求和,其中 an代表等差数列,bn代表等比数列,即一个等差数列 与一个等比数列对应项的乘积构成的新数列的求和可用此法. 课时作业 一、选择题 1设 an是公比为正数的等比数列,若 a11,a516,则数列 an前 7 项的和为 () A63 B64 C127 D128 2设等比数列an的前 n 项和为 Sn,若 S32,S618,则 S10 S5 等于 () A 3 B5 C 31 D33 3 已知公比为q (q1)的等比数列 an 的前 n 项
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