人教a版必修5学案:3.1不等关系与不等式(含答案).pdf
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1、第三章不等式 3.1不等关系与不等式 材拓展 1不等式的基本性质 对于任意的实数a, b,有以下事实: ab? ab0; ab? a b0; ab0,m0,要比较 am bm与 a b的大小,就可以采用以下方法: am bm a b bmam b bm m ba b bm . m0,ab0, bab,bc? ac. (2)ab,cd? acbd. (3)ab,c0? acbc. (4)ab,cb0,cd0? acbd. (6)ab0,n 为正实数 ? a nbn. 双向性: (1)a b0? ab;ab0? ab; abb? bb? acbc. 单向性主要用于证明不等式;双向性是解不等式的基础
2、(当然也可用于证明不等式) 若把 c0 作为大前提,则ab? acbc,若把 cb? ac1 (不等式两边都乘以 1 10,不等式方向改变! ) 3正分数的一个有趣性质 在 ab0,m0 的条件下,我们可以利用比较法证明下列事实: b a 4 3 5 4 6 5 7 6 8 7 9 8 10 9 . 从函数的观点看: 当 ab0 时,函数f(x) bx ax在 x0, )上是单调递增的;函数 f(x) ax bx在 0, )上是单调递减的 法突破 一、利用作差法比较实数大小 方法链接 :作差比较法比较两个实数大小,步骤可按如下四步进行,作差 变形 判断差的符号 得出结论 比较法的关键在于变形,
3、变形过程中, 常用的方法为因式分解 和配方法 例 1已知 mR,ab1,f(x) mx x1,试比较 f(a)与 f(b)的大小 解可将 f(a)与 f(b)分别表示出来,然后根据m,a,b 的取值范围进行比较,但由于m 的取值不确定,所以应用分类讨论的方法求解 由于 f(x) mx x 1,所以 f(a) ma a1,f(b) mb b 1, 于是 f(a)f(b) ma a 1 mb b1 m ba a1 b1 , 由于 ab1,所以 b a0. 当 m0 时, m ba a1 b1 0,所以 f(a)f(b); 当 m0 时, m ba a1b1 0,所以 f(a) f(b) 二、利用作
4、商法比较实数大小 方法链接 :作商比较法比较两个实数的大小,依据如下:(1)若 a,b 都是正数,则ab ? a b1; ab? a b1;ab? a b 1. 作商比较法的基本步骤为: 作商; 变形; 与 1 比较大小; 下结论 例 2设 a0,b0,且 ab,试比较aabb,abba,(ab)ab 2 三者的大小 解 a abb ab ab 2 aaab 2 bb ab 2 aab 2 bba 2 a b ab 2 当 ab0 时, a b1, ab0, ab 2 0 a b ab 2 a b 01,aabb(ab)ab 2 . 当 0 a b 01,aabb(ab)ab 2 . 所以,不
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