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1、 3.4基本不等式:ab a b 2 材拓展 1一个常用的基本不等式链 设 a0,b0,则有: min a, b 2 1 a 1 b ab ab 2 a 2b2 2 max a,b, 当且仅当 ab 时,所有等号成立 若 ab0,则有: b0,则 a b b a 2. 3利用基本不等式求最值的法则 基本不等式ab ab 2 (a,b 为正实数 )常用于证明不等式或求代数式的最值 (1)当两个正数的和为定值时,它们的积有最大值,即ab ab 2 2,当且仅当 ab 时, 等号成立 (2)当两个正数的积为定值时,它们的和有最小值,即ab2 ab,当且仅当ab 时, 等号成立 注意: 利用基本不等式
2、求代数式最值,要注意满足三个条件:两个正数; 两个正数 的积或和为定值;取最值时,等号能成立概括为“一正、二定(值)、三相等” 4函数 f(x) xk x (k0)的单调性在求最值中的应用 有些最值问题由于条件的限制使等号取不到,其最值又确实存在, 我们可以利用函数f(x) x k x (k0)的单调性加以解决 利用函数单调性的定义可以证明函数f(x)x k x (k0)在(0, k上单调递减, 在k, )上单调递增 因为函数 f(x)xk x (k0)是奇函数,所以f(x)x k x (k0)在(,k上为增函数, 在k,0)上为减函数 函数 f(x)x k x (k0)在定义域上的单调性如右
3、图所示 例如:求函数f(x)sin 2x 5 sin 2x,x(0,)的最小值 解令 tsin 2x,x(0,) ,g(t)t 5 t . t(0,1,易知 g(t)在(0,1上为单调递减函数, 所以当 t1 时, g(t)min6. 即 sin x1,x 2时, f(x) min 6. 法突破 一、利用基本不等式求最值 方法链接: 基本不等式是求函数最值的有利工具,在使用基本不等式求函数最值时,要 注意应用条件 “一正、二定、三相等” 不要仅仅关注结构上的定值,而忽略对相等条件的 考察 例 1求函数 y x2 2x5 的最大值 解设 tx2,从而 xt 22(t 0), 则 y t 2t 2
4、1. 当 t0 时, y0; 当 t0 时, y 1 2t 1 t 1 2 2t 1 t 2 4 . 当且仅当 2t 1 t , 即 t 2 2 时等号成立 即当 x 3 2时, ymax 2 4 . 二、利用基本不等式解恒成立问题 方法链接 :含参数的不等式恒成立问题,通过分离参数, 把参数的范围化归为函数的最 值问题 af(x)恒成立 ? af(x)max,a0 得 32x(k1)3x20, 解得 k12,求证: loga(a1) loga(a1)2,所以 loga(a1)0,loga(a1)0. 又 loga(a1)loga(a1), 所以logaa1 logaa1 0, 5 log2x
5、 0. (log2x) 5 log2x 2 log2x 5 log2x 2 5. log2x 5 log2x2 5. f(x)2log2x 5 log2x2 2 5. 当且仅当 log2x 5 log2x时,即 x2 5时取等号 f(x)max2 2 5. 2忽略等号成立的条件而致错 例 2已知 m2n2a, x2y2b (a、 b 为大于 0 的常数且ab), 求 mxny 的最大值 错解 mx m 2x2 2 ,ny n 2y2 2 , mxny m 2x2 2 n 2y2 2 m 2n2x2y2 2 ab 2 . 当且仅当 mx,ny 时取 “” 点拨 如果 mx,ny,则会有 m 2n
6、2x2 y2 ab,这与条件 “ab”矛盾,如 果 mx,ny 中有一个不成立,则“” 取不到,则不满足使用基本不等式的条件 正解 利用三角代换可避免上述问题 m2n2a, 设ma cos na sin ( 0,2 ) , x2y2b, 设xb cos yb sin ( 0,2 ) mxnyabcos cos absin sin ab(cos cos sin sin ) abcos( )ab (mx ny)maxab, 当且仅当 cos( )1, 时取 “” 3两次利用基本不等式而致错 例 3已知 x0,y0,且 x2y1,求 1 x 1 y 的最小值 错解 因为 x0,y0,且 x2y1,
7、1 x 1 y 1 x 1 y (x2y) 2 1 x 1 y2 2xy 4 2. 所以 1 x 1 y的最小值为 42. 点拨 上述解答是错误的,错因是连续两次使用基本不等式解题忽视了等号成立的一 致性 正解 因为 x0,y0,且 x2y1, 所以 1 x 1 y x2y x x2y y 12 2y x x y 32 2y x x y32 2. 当且仅当 2y x x y且 x2y1, 即 x21,y 1 2 2 时,取得等号 所以 1 x 1 y的最小值为 32 2. 温馨点评在多次使用基本不等式时,一定要注意等号成立的条件是否相同. 题多解 例若正数 a,b 满足 ab ab3,求 ab
8、 的取值范围 . 解方法一把代数式 ab 转化为 a(或 b)的函数 abab 3,b a3 a1 b0,a1. aba 23a a1 a 1 25a1 a1 a1 25 a1 4 a1 (a1) 4 a 15 a1,a 10, (a1) 4 a 12 a1 4 a14. ab9,当且仅当a1 4 a1, 即 a3,b3 时,取 “” 方法二利用基本不等式ab2 ab,把 ab 转化为 ab,再求 ab 的范围 ab2ab,abab32ab3. ab2 ab30, (ab3)(ab1)0. ab3, ab9, 从以上过程可以看出:当且仅当ab3 时,取 “” 方法三把 a,b 视为一元二次方程
9、x 2 (3 ab)xab0 的两个根, 那么该方程应有两 个正根 所以有: 其中由 (3ab)24aba2b210ab9 (ab9)(ab1)0,解得 ab9 或 ab1. x1x2ab30,ab9. 又 abab3, ab6, 当且仅当ab3 时取 “ ” 题赏析 1(2011 重庆 )已知 a0,b0,ab2,则 y 1 a 4 b的最小值是 ( ) A. 7 2 B4 C.9 2 D5 解析ab2, ab 2 1. 1 a 4 b( 1 a 4 b)( ab 2 ) 5 2( 2a b b 2a) 5 2 2 2a b b 2a 9 2(当且仅当 2a b b 2a,即 b2a 时, “ ”成立 ),故 y 1 a 4 b的最小值为 9 2. 答案C 2(2009 天津 )设 a0,b0,若3是 3 a 与 3b的等比中项,则 1 a 1 b 的最小值为 () A8 B4 C1 D.1 4 解析由题意知3a 3b3,即 3a b3,所以 a b1. 因为 a0,b0, 所以 1 a 1 b 1 a 1 b (ab) 2b a a b22 b a a b4, 当且仅当 ab 时,等号成立 答案B 赏析本题考查了等比中项的概念、基本不等式, 解答本题时要注意等号成立的条件是 否具备,防止最小值取不到
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