人教a版必修5学案:第1章《解三角形》本章回顾(含答案).pdf
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1、本章回顾 识结构 点回放 1三角形中的边角关系 设 ABC 中,边 a, b,c 的对角分别为A,B,C. (1)三角形内角和定理 ABC. (2)三角形中的诱导公式 sin(AB)sin C,cos(AB) cos C, tan(AB) tan C, sin AB 2 cos C 2 ,cos AB 2 sin C 2 , tan AB 2 cot C 2 . (3)三角形中的边角关系 ab? A B; ab? AB; abc,bca, cab. (4)三角形中几个常用结论 在 ABC 中, abcos C ccos B(其余两个略 ); 在 ABC 中, sin Asin B? AB; 在
2、 ABC 中, tan Atan B tan Ctan Atan Btan C. 2正弦定理 (1)正弦定理 在 ABC 中,角 A,B, C 的对边边长分别为a,b,c, 则 a sin A b sin B c sin C2R. 其中 R 是 ABC 外接圆半径 (2)正弦定理的变形公式 正弦定理反映了三角形的边角关系它有以下几种变形公式,解题时要灵活运用 a2Rsin A,b2Rsin B,c2Rsin C; sin A a 2R ,sin B b 2R,sin C c 2R; sin Asin Bsin Cabc; sin A sin B a b, sin B sin C b c, si
3、n C sin A c a. 3余弦定理 (1)余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两 倍,即 a 2b2c2 2bccos A; b 2a2c2 2accos B; c 2a2b2 2abcos C. (2)余弦定理的推论 cos A b 2c2a2 2bc ; cos B a 2c2b2 2ac ; cos C a 2b2c2 2ab . 4三角形的面积 三角形面积公式 S1 2ah a 1 2bh b 1 2ch c; S1 2absin C 1 2acsin B 1 2bcsin A; S1 2(abc)r (r 为 ABC 内切圆半径 )
4、; Sabc 4R (R 为 ABC 外接圆半径 ); Sp pa pb pc 其中 p 1 2 abc. 5解三角形的常见类型及解法 在三角形的六个元素中,若知道三个,其中至少一个元素为边,即可求解该三角形,按 已知条件可分为以下几种情况: 已知条件应用定理一般解法 一边和两角 (如 a,B,C) 正弦定理 由 ABC180 ,求角 A;由正 弦定理求出b 与 c.在有解时只有一 解 两边和夹角 (如 a,b,C) 余弦定理 正弦定理 由余弦定理求第三边c;由正弦定 理求出小边所对的角;再由AB C180 求出另一角在有解时 只有一解 三边 (a,b, c) 余弦定理 由余弦定理求出角A、B
5、;再利用 A BC 180 , 求出角 C.在有解时 只有一解 两边和其中 一边的对角 (如 a, b,A) 正弦定理 余弦定理 由正弦定理求出角B;由 ABC 180 ,求出角C;再利用正弦定 理或余弦定理求c.可有两解,一解 或无解 . 6已知两边及一边对角解三角形,解的个数的判断 在 ABC 中,以已知a,b, A 为例 判断方法如下表: A 为锐角 图形 关系式a bsin A bsin Ab ab ab ab 解个数一解无解一解无解 想方法 一、构建方程(组)解三角问题 例 1 如图所示,设P 是正方形 ABCD 内部的一点, P 到顶点 A、B、C 的距离分别是1,2,3, 求正方
6、形的边长 解设边长为x,x0, 在 ABP 中, cosABP x 22212 4x x 2 3 4x , 在 CBP 中, cosCBPx 22232 4x x 25 4x , 又 cos 2ABPcos2CBP1, x 23 4x 2 x 25 4x 21. x 252 2或 x 252 2.所以, x5 2 2, 即正方形的边长为5 2 2. 例 2 如图所示, 测量人员沿直线MNP 的方向测量, 测得塔尖 A 处的仰角分别是AMB30 , ANB45 , APB60 ,且 MNPN500 m,求塔高AB. 分析设 ABh, 则 MB, NB, PB 都可用 h 来表示,在底面 BMP
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