函数模型及其应用新人教A版必修1优秀教案资料.pdf
《函数模型及其应用新人教A版必修1优秀教案资料.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《函数模型及其应用新人教A版必修1优秀教案资料.pdf(33页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、3.2函数模型及其应用新人教 A 版必修 1 优秀教案 3.2.1 几类不同增长的函数模型 整体设计 教学分析 函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型,不同的变化规律需要用不同的函数模型来描 述.本节的教学目标是认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异,体会直线 上升、指数爆炸与对数增长的不同,应用函数模型解决简单问题.课本对几种不同增长的函 数模型的认识及应用,都是通过实例来实现的,通过教学让学生认识到数学来自现实生活, 数学在现实生活中是有用的. 三维目标 1.借助信息技术,利用函数图象及数据表格,比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差 异. 2.恰当运用函数的三种表示方法(
2、解析式、表格、图象)并借助信息技术解决一些实际问题. 3.让学生体会数学在实际问题中的应用价值,培养学生学习兴趣. 重点难点 教学重点 :认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异,体会直线上升、指数 爆炸与对数增长的不同. 教学难点 :应用函数模型解决简单问题. 课时安排 2 课时 教学过程 第 1 课时几类不同增长的函数模型 导入新课 思路 1.(事例导入 ) 一张纸的厚度大约为0.01 cm,一块砖的厚度大约为10 cm,请同学们计算将一张纸对折n 次的厚度和n 块砖的厚度, 列出函数关系式,并计算 n=20 时它们的厚度.你的直觉与结果一 致吗? 解: 纸对折 n 次的厚度 :
3、f(n)=0.012n(cm),n 块砖的厚度 :g(n)=10n(cm),f(20) 105 m,g(20)=2 m. 也许同学们感到意外,通过对本节的学习大家对这些问题会有更深的了解. 思路 2.(直接导入 ) 请同学们回忆指数函数、对数函数以及幂函数的图象性质,本节我们通过实例比较它们的增 长差异 . 推进新课 新知探究 提出问题 如果张红购买了每千克1 元的蔬菜x 千克,需要支付y 元,把 y 表示为 x 的函数 . 正方形的边长为x,面积为y,把 y 表示为 x 的函数 . 某保护区有1 单位面积的湿地,由于保护区努力湿地每年以5%的增长率增长,经过x 年 后湿地的面积为y,把 y
4、表示为 x 的函数 . 分别用表格、图象表示上述函数. 指出它们属于哪种函数模型. 讨论它们的单调性. 比较它们的增长差异. 另外还有哪种函数模型. 活动: 先让学生动手做题后再回答,经教师提示、点拨,对回答正确的学生及时表扬,对回 答不准确的学生提示引导考虑问题的思路. 总价等于单价与数量的积. 面积等于边长的平方. 由特殊到一般,先求出经过1年、 2 年、 . 列表画出函数图象. 引导学生回忆学过的函数模型. 结合函数表格与图象讨论它们的单调性. 让学生自己比较并体会. 另外还有与对数函数有关的函数模型. 讨论结果: y=x. y=x 2. y=(1+5%) x, 如下表 x 1 2 3
5、4 5 6 y=x 1 2 3 4 5 6 y=x 2 1 4 9 16 25 36 y=(1+5%) x 1.05 1.01 1.16 1.22 1.28 1.34 它们的图象分别为图3-2-1-1,图 3-2-1-2,图 3-2-1-3. 图 3-2-1-1 图 3-2-1-2 图 3-2-1-3 它们分别属于:y=kx+b( 直线型 ),y=ax 2+bx+c(a 0, 抛物线型 ),y=ka x+b(指数型 ). 从表格和图象得出它们都为增函数. 在不同区间增长速度不同,随着 x 的增大 y=(1+5%) x 的增长速度越来越快,会远远大于另 外两个函数 . 另外还有与对数函数有关的函
6、数模型,形如 y=logax+b,我们把它叫做对数型函数 . 应用示例 思路 1 例 1 假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下: 方案一:每天回报40 元; 方案二:第一天回报10 元,以后每天比前一天多回报10 元; 方案三:第一天回报0.4 元,以后每天的回报比前一天翻一番. 请问,你会选择哪种投资方案? 活动: 学生先思考或讨论,再回答.教师根据实际,可以提示引导:我们可以先建立三种投 资方案所对应的函数模型,再通过比较它们的增长情况,为选择投资方案提供依据. 解: 设第 x 天所得回报是y 元,则方案一可以用函数y=40(x N * )进行描述;方案
7、二可以用 函数 y=10x(x N *)进行描述;方案三可以用函数 y=0.4 2 x-1(x N* )进行描述 .三个模型中, 第一个是常函数,后两个都是递增函数模型.要对三个方案作出选择,就要对它的增长情况 进行分析 .我们先用计算机计算一下三种所得回报的增长情况. x/天 方案一方案二方案三 y/元增加量 /元y/元增加量 /元y/元增加量 /元 1 40 10 0.4 2 40 0 20 10 0.8 0.4 3 40 0 30 10 1.6 0.8 4 40 0 40 10 3.2 1.6 5 40 0 50 10 6.4 3.2 6 40 0 60 10 12.8 6.4 7 40
8、 0 70 10 25.6 12.8 8 40 0 80 10 51.2 25.6 9 40 0 90 10 102.4 51.2 10 40 0 100 10 204.8 102.4 30 40 0 300 10 214748364.8 107374182.4 再作出三个函数的图象(3-2-1-4). 图 3-2-1-4 由表和图 (3214)可知,方案一的函数是常数函数,方案二、方案三的函数都是增函数,但方 案二与方案三的函数的增长情况很不相同.可以看到,尽管方案一、方案二在第1 天所得回 报分别是方案三的100 倍和 25 倍, 但它们的增长量固定不变,而方案三是 “ 指数增长 ” ,
9、其“ 增 长量 ” 是成倍增加的,从第7 天开始,方案三比其他两方案增长得快得多,这种增长速度是 方案一、方案二无法企及的.从每天所得回报看,在第13 天,方案一最多;在第4 天,方 案一和方案二一样多,方案三最少;在第58 天方案二最多;第 9 天开始,方案三比其他两 个方案所得回报多得多,到第30 天,所得回报已超过2 亿元 . 下面再看累积的回报数.通过计算机或计算器列表如下: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 一40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 二10 30 60 100 150 210 180 360 450 550 6
10、60 三0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 818.8 因此,投资16 天,应选择方案一;投资7 天,应选择方案一或方案二;投资810 天, 应选择方案二;投资11 天(含 11 天)以上,则应选择方案三. 针对上例可以思考下面问题: 选择哪种方案是依据一天的回报数还是累积回报数. 课本把两种回报数都列表给出的意义何在? 由此得出怎样结论. 答案 :选择哪种方案依据的是累积回报数. 让我们体会每天回报数增长变化. 上述例子只是一种假想情况,但从中我们可以体会到,不同的函数增长模型,其增长变化 存在很大差异 . 变式训练 某市移动通讯公司开设
11、了两种通讯业务:全球通使用者先缴50 元基础费,然后每通话1 分 钟付话费0.4 元;神州行不交月基础费,每通话1 分钟付话费0.6 元,若设一个月内通话x 分钟,两种通讯业务的费用分别为y1元和 y2元,那么 (1)写出 y1、y2与 x 之间的函数关系式; (2)在同一直角坐标系中画出两函数的图象; (3)求出或寻求出一个月内通话多少分钟,两种通讯业务费用相同; (4)若某人预计一个月内使用话费200 元,应选择哪种通讯业务较合算. 思路分析: 我们可以先建立两种通讯业务所对应的函数模型,再通过比较它们的变 化情况,为选择哪种通讯提供依据.(1)全球通的费用应为两种费用的和,即月基础费和通
12、话 费,神州行的费用应为通话费用;(2)运用描点法画图,但应注意自变量的取值范围;(3)可 利用方程组求解,也可以根据图象回答;(4)寻求出当函数值为200 元时,哪个函数所对应 的自变量的值较大. 解: (1)y1=500.4x(x 0),y2=0.6x(x 0). (2)图象如图 (3-2-1-5)所示 . 图 3-2-1-5 (3)根据图中两函数图象的交点所对应的横坐标为250, 所以在一个月内通话250 分钟时, 两 种通讯业务的收费相同. (4)当通话费为200 元时,由图象可知,y1所对应的自变量的值大于 y2所对应的自变量的值, 即选取全球通更合算. 另解: 当 y1=200 时
13、有 0.4x 50=200,x1=375; 当 y2=200 时有 0.6x=200,x2= 3 1000 .显然 375 3 1000 , 选用全球通更合算. 点评: 在解决实际问题过程中,函数图象能够发挥很好的作用,因此,我们应当注意提高读 图的能力 .另外,本例题用到了分段函数,分段函数是刻画现实问题的重要模型. 例 2 某公司为了实现1 000 万元利润的目标,准备制定一个激励销售人员的奖励方案:在销 售利润达到10 万元时, 按销售利润进行奖励,且奖金 y(单位: 万元 )随着利润x(单位:万元 ) 的增加而增加, 但奖金总数不超过5万元, 同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模
14、型: y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002 x,其中哪个模型能符合公司的要求? 活动: 学生先思考或讨论,再回答.教师根据实际,可以提示引导:某个奖励模型符合公司 要求,就是依据这个模型进行奖励时,奖金总数不超过5 万元,同时奖金不超过利润的25%, 由于公司总的利润目标为1000 万元,所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润.于是只 需在区间 10,1000上,检验三个模型是否符合公司要求即可.不妨先作出函数图象,通过 观察函数的图象,得到初步结论,再通过具体计算,确认结果. 解: 借助计算器或计算机作出函数y=0.25x,y=log 7x+1,y=1.002 x 的图象 (
15、图 3-2-1-6). 图 3-2-1-6 观察函数的图象,在区间10,1 000上,模型y=0.25x,y=1.002 x 的图象都有一部分在直线 y=5 的上方,只有模型y=log7x+1 的图象始终在y=5 的下方,这说明只有按模型y=log7x+1 进行奖励时才符合公司的要求. 下面通过计算确认上述判断. 首先计算哪个模型的奖金总数不超过5 万. 对于模型y=0.25x ,它在区间10,1 000上递增,而且当x=20 时, y=5,因此 ,当 x20 时, y5,所以该模型不符合要求; 对于模型y=1.002 x,由函数图象,并利用计算器,可知在区间 (805,806)内有一个点x0
16、满足 1.002 x0=5,由于它在区间 10,1 000上递增,因此当xx0时, y5,所以该模型也不符合要 求; 对于模型y=log7x+1, 它在区间10,1 000 上递增,而且当 x=1 000 时,y=log71 000+1 4.550) , 销售数量就减少kx%(其中 k 为正常数 ).目前,该商品定价为a 元, 统计其销售数量为b 个. (1)当 k= 2 1 时,该商品的价格上涨多少,就能使销售的总金额达到最大? (2)在适当的涨价过程中,求使销售总金额不断增加时k 的取值范围 . 解: 依题意,价格上涨x%后,销售总金额为 y=a(1+x%) b(1-kx%)= 10000
17、 ab -kx 2+100(1-k)x+10 000 . (1)取 k= 2 1 ,y= 10000 ab ( 2 1 x 2+50x+10 000), 所以 x=50,即商品价格上涨50%,y 最大为 8 9 ab. (2)因为 y= 10000 ab -kx 2+100(1-k)x+10 000 , 此二次函数的开口向下,对称轴为x= k k)1(50 ,在适当涨价过程后,销售总金额不断增加, 即要求此函数当自变量x 在x|x0 的一个子集内增大时,y 也增大 . 所以 k k)1 (50 0,解得 00. 当 00,g(x)-h(x)0,g(x)h(x); 当 87x20000 时, y
18、2y1. 当 x=20000 时, y1=y2;当 x0 且 a 1). 由图知2=a1. a=2,即底数为2. 25=3230,说法正确 . 指数函数增加速度越来越快,说法不正确. t1=1,t2=log23,t3=log26,说法正确 . 指数函数增加速度越来越快,说法不正确. 课堂小结 活动: 学生先思考或讨论,再回答.教师提示、点拨,及时评价. 引导方法:从基本知识和基本技能两方面来总结. 答案 :(1)建立函数模型 ;(2)利用函数图象性质分析问题、解决问题. 作业 课本 P107 习题 3.2A 组 1、2. 设计感想 本节设计由学生熟悉素材入手,结果却出乎学生的意料,由此使学生产
19、生浓厚的学习兴趣. 课本中两个例题不仅让学生学会了函数模型的应用,而且体会到它们之间的差异;我们补充 的例题与之相映生辉,是课本的补充和提高,其难度适中是各地高考模拟经常选用的素材. 其中拓展提升中的问题紧贴本节主题,很好地体现了指数函数的性质特点,是一个不可多得 的素材 . 第 2 课时几类不同增长的函数模型 导入新课 思路 1 情景导入 国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者,问他要什么 .发明者说: “ 请在 棋盘的第一个格子里放上1 颗麦粒, 第 2 个格子里放上2 颗麦粒, 第 3 个格子里放上4 颗麦 粒,依次类推,每个格子里的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2
20、倍,直到第64 个格 子.请给我足够的麦粒以实现上述要求. ” 国王觉得这个要求不高,就欣然同意了.假定千粒麦 子的质量为40 g,据查, 目前世界年度小麦产量为6 亿吨,但不能满足发明者要求,这就是 指数增长 .本节我们讨论指数函数、对数函数、二次函数的增长差异. 思路 2 直接导入 我们知道,对数函数y=log ax(a1),指数函数y=a x(a1)与幂函数 y=x n(n0)在区间 (0,+) 上都 是增函数 .但这三类函数的增长是有差异的.本节我们讨论指数函数、对数函数、二次函数的 增长差异 . 推进新课 新知探究 提出问题 在区间 (0,+) 上判断 y=log2x,y=2 x,y
21、=x2 的单调性 . 列表并在同一坐标系中画出三个函数的图象. 结合函数的图象找出其交点坐标. 请在图象上分别标出使不等式log2x1)和幂函数 y=x n(n0) ,通过探索可以发现,在区间 (0,+) 上,无论n 比 a 大多少,尽管在x 的一定变化范围内,a x 会小于 x n,但由于 a x 的增长快于 x n 的增长,因此总存在一个x0,当 xx 0时,就会有 axx n. 同样地,对于对数函数y=log ax(a1)和幂函数y=x n(n0),在区间 (0,+) 上,随着 x 的增大, logax增长得越来越慢, 图象就像是渐渐地与 x 轴平行一样 .尽管在 x 的一定变化范围内,
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 函数 模型 及其 应用 新人 必修 优秀 教案 资料
链接地址:https://www.31doc.com/p-5206579.html