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1、第二章2 一、选择题 1袋中有除颜色外完全相同的3 个白球和2 个红球,从中任取2 个,那么下列事件中 发生的概率为 7 10的是 ( ) A都不是白球B恰有 1 个白球 C至少有1 个白球D至多有1 个白球 答案 D 解析 P(都不是白球 ) C 2 2 C 2 5 1 10,P(恰有 1 个白球 ) C 1 3C 1 2 C 2 5 3 5,P(至少有 1 个白球 ) C 1 3C 1 2C 2 3 C 2 5 9 10, P(至多有 1 个白球 )C 2 2 C 1 3C 1 2 C 2 5 7 10故选 D. 2有 20 个零件,其中16 个一等品, 4 个二等品,若从这20 个零件中
2、任取3 个,那么 至少有一个是一等品的概率是() A. C 1 16C 2 4 C 3 20 B.C 2 16C 2 4 C 3 20 C.C 2 16C 1 4C 3 16 C 3 20 D以上均不对 答案 D 解析 至少有一个是一等品的概率是 C 1 16C 2 4C 2 16C 1 4C 3 16C 0 4 C 3 20 . 3某电视台有一次对收看新闻节目观众的抽样调查中,随机抽取了45 名电视观众, 其中 20 至 40 岁的有 18 人,大于40 岁的有 27 人用分层抽样方法在收看新闻节目的观众 中随机抽取5 名,在这 5 名观众中再任取2 人,则恰有 1名观众的年龄在20 至 4
3、0 岁的概率 为() A. 1 5 B.3 5 C. 3 10 D. 1 10 答案 B 解析 由于是分层抽样,所以 5 名观众中, 年龄为 20 至 40 岁的有 18 45 52 人设随 机变量 X 表示 20 至 40 岁的人数,则X 服从参数为N5,M2,n 2 的超几何分布,故 P(X1) C 1 2C 1 3 C 2 5 3 5. 二、填空题 4在 3 名女生和2 名男生中任选2 人参加一项交流活动,其中至少有1 名男生的概率 为_ 答案 0.7 解析 5 名学生中抽取2 人的方法有C 2 5种,至少有 1 名男生参加的可能结果有 C 1 2C 1 3 C 2 2种,所以概率为 C
4、 1 2C 1 3C 2 2 C 2 5 0.7. 5 从一副不含大小王的52 张扑克牌中任意抽出5 张, 至少有 3 张 A 的概率是 _ 答案 0.001 8 解析 因为一副扑克牌中有4 张 A, 所以根据题意, 抽到扑克牌A 的张数 X 为离散型 随机变量,且X 服从参数为N52,M 5,n4 的超几何分布,它的可能取值为0,1,2,3,4, 根据超几何分布的公式得至少有3 张 A 的概率为 P(X3) P(X 3)P(X4) C 3 4C 2 48 C 5 52 C 4 4C 1 48 C 5 52 4 1 128 2 598 960 148 2 598 9600.001 8. 故至少
5、有 3 张 A 的概率约为0.001 8. 三、解答题 6盒中有 16 个白球和4 个黑球,从中任意取出3 个,设 表示其中黑球的个数,求出 的分布列 分析 显然这是一个超几何分布的例子 N20,M4,n3.利用 P( m) C m MC nm NM C n N 求出概率值,则分布列可得 解析 可能取的值为0,1,2,3, P( 0)C 0 4C 3 16 C 3 20 ,P( 1) C 1 4C 2 16 C 3 20 , P( 2)C 2 4C 1 16 C 3 20 ,P( 3) C 3 4C 0 16 C 3 20 . 的分布列为 0123 P C 0 4C 3 16 C 3 20 C
6、 1 4C 2 16 C 3 20 C 2 4C 1 16 C 3 20 C 3 4C 0 16 C 3 20 点评 超几何分布是离散型随机变量的分布列中较常见的一种模型,要理解P( m) C m MC nm NM C n N 的意义,然后求出的相应的概率,列出分布列即可. 一、选择题 110 名同学中有a 名女生,若从中抽取2 个人作为学生代表,则恰抽取1 名女生的概 率是 16 45,则 a( ) A1 B2 或 8 C2 D8 答案 B 解析 设 X 表示抽取的女生人数,则 X 服从超几何分布, P(X 1) C 1 aC 1 10a C 2 10 a 10a 45 16 45,解得 a
7、2 或 a8. 2一个盒子里装有除颜色外完全相同的黑球10 个,红球12 个,白球4 个,从中任取 2 个,其中白球的个数记为X,则下列算式中等于 C 1 22C 1 4C 2 22 C 2 26 的是 () AP(0X2) BP(X1) CP(X1) DP(X2) 答案 B 解析 由 C 1 22C 1 4C 2 22可知,是从 22 个元素中取1 个与从 4 个元素中取1 个的可能取 法种数之积,加上从22 个元素中取2 个元素的可能取法种数,即4 个白球中至多取1 个, 故选 B. 3若在甲袋内装有8个白球, 4 个红球,在乙袋内装有6 个白球, 6 个红球今从两袋 里任意取出1 个球,
8、设取出的白球个数为X,则下列概率中等于 C 1 8C 1 6C 1 4C 1 6 C 1 12C 1 12 的是 () AP(X 0) BP(X2) CP(X1) DP(X2) 答案 C 解析 当 X1 时,有甲袋内取出的是白球,乙袋内取出的是红球或甲袋内取出的是 红球,乙袋内取出的是白球个数是X1 时,有 P(X1)C 1 8C 1 6C 1 4C 1 6 C 1 12C 1 12 . 4 有 10 件产品,其中 3件是次品, 从中任取两件, 若 X 表示取得次品的个数,则 P(X2) 等于 () A. 7 15 B. 8 15 C.14 15 D1 答案 C 解析 由题意, 知 X 取 0
9、,1,2,X 服从超几何分布,它取每个值的概率都符合等可能事 件的概率公式, 即 P(X0) C 2 7 C 2 10 7 15,P(X1) C 1 7 C 1 3 C 2 10 7 15, P(X2) C 2 3 C 2 10 1 15,于是 P(X2) P(X0)P(X1) 7 15 7 15 14 15. 5 盒中有 10 个螺丝钉, 其中有 3 个是坏的, 现从盒中随机抽取4 个,那么 3 10等于 ( ) A恰有 1 个是坏的概率 B恰有 2 个是好的概率 C4 个全是好的概率 D至多有2 个是坏的概率 答案 B 解析 A 中“恰有 1 个是坏的概率”为 P1C 1 3C 3 7 C
10、 4 10 105 210 1 2;B 中“ 恰有 2 个是好的概 率” 为 P2C 2 7C 2 3 C 4 10 3 10;C 中“4 个全是好的概率 ”为 P3 C 4 7 C 4 10 1 6;D 中“ 至多有 2 个是坏的 概率 ”为 P4P1 P2P3 29 30,故选 B. 二、填空题 6某班有50 名学生,其中15 人选修 A 课程,另外35 人选修 B 课程,从班级中任选 两名学生,他们是选修不同课程的学生的概率是_ 答案 3 7 解析 将 50 名学生看做一批产品,其中选修A 课程为不合格品,选修B 课程为合格 品,随机抽取两名学生,X 表示选修A 课程的学生数,则X 服从
11、超几何分布,其中N50, M15,n2.依题意所求概率为P(X1)C 1 15C 21 5015 C 2 50 3 7. 7一批产品共50 件,其中5 件次品, 45 件合格品,从这批产品中任意抽两件,则其 中出现次品的概率为_ 答案 47 245 解析 设抽到次品的件数为X,则 X 服从参数为N 50,M5, n2 的超几何分布, 于是出现次品的概率为 P(X1) P(X 1)P(X2) C 1 5C 21 505 C 2 50 C 2 5C 22 505 C 2 50 9 49 2 245 47 245. 即出现次品的概率为 47 245. 三、解答题 8从 4 名男生和 2 名女生中任选
12、3 人参加演讲比赛,设随机变量X 表示所选 3 人中女 生的人数 (1)求 X 的分布列; (2)求“所选3 人中女生人数不大于1”的概率 分析 这个问题与取产品的问题类似,从中发现两个问题在本质上的一致性,从而可 用超几何分布来解决此问题 解析 (1)X 的可能取值为0,1,2,P(Xk) C k 2C 3k 4 C 3 6 ,k0,1,2. 所以 X 的分布列为 X 012 P 1 5 3 5 1 5 (2)P(X1)P(X0)P(X1) 1 5 3 5 4 5. 点评 本题考查超几何分布及分布列等概念,考查运用概率知识解决实际问题的能 力解此类题首先要分析题意,确定所给问题是否是超几何分
13、布问题,若是,则写出参数N, M,n 的取值,然后利用超几何分布的概率公式求出相应的概率,写出其分布列 9甲、乙两人参加一次英语口语考试,已知在备选的10 道试题中,甲能答对其中的6 道试题, 乙能答对其中的8 道试题 规定每次考试都从备选题中随机抽出3 题进行测试, 答 对一题得5 分,答错一题得0 分 求: (1)甲答对试题数X 的分布列; (2)乙所得分数Y 的分布列 解析 (1)X 的可能取值为0,1,2,3. P(X0) C 3 4 C 3 10 1 30, P(X1) C 2 4C 1 6 C 3 10 3 10, P(X2) C 1 4C 2 6 C 3 10 1 2, P(X3
14、) C 3 6 C 3 10 1 6. 所以甲答对试题数X 的分布列为 Xk 0123 P(Xk) 1 30 3 10 1 2 1 6 (2)乙答对试题数可能为1,2,3,所以乙所得分数Y5,10,15. P(Y5) C 2 2C 1 8 C 3 10 1 15, P(X10) C 1 2C 2 8 C 3 10 7 15, P(Y15) C 3 8 C 3 10 7 15. 所以乙所得分数Y 的分布列为 Y 51015 P 1 15 7 15 7 15 点评 此题两问都属于典型的超几何分布,关键是根据计数原理,完成随机变量各取 值的概率计算在分析第(2)问随机变量的可能取值时,极容易忽视已知
15、条件“乙能答对8 道题”,而错误地认为“Y0,5,10,15”,可见分析随机变量的可能取值一定要正确同时 应注意,在求解分布列时可运用分布列的性质来检验答案是否正确 10(2014 天津理, 16)某大学志愿者协会有6 名男同学, 4 名女同学在这10 名同学 中, 3 名同学来自数学学院,其余7 名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院,现 从这 10 名同学中随机选取3 名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相 同) (1)求选出的3 名同学是来自互不相同学院的概率; (2)设 X 为选出的3 名同学中女同学的人数,求随机变量X 的分布列和数学期望 解析 (1)设“选出的 3 名同学是来自互不相同的学院”为事件 A,则 P(A) C 1 3 C 2 7 C 0 3 C 3 7 C 3 10 49 60. 所以,选出的3 名同学是来自互不相同学院的概率为 49 60. (2)随机变量X 的所有可能值为0,1,2,3. P(Xk) C k 4 C 3k 6 C 3 10 (k0,1,2,3) 所以,随机变量X 的分布列是 X 0123 P 1 6 1 2 3 10 1 30 随机变量 X 的数学期望E(X)01 61 1 22 3 10 3 1 30 6 5.
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