北师大版数学必修四:《从力做功到向量的数量积》导学案(含解析).pdf
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1、第 6 课时从力做功到向量的数量积 1.通过物理中 “功”等实例 , 理解平面向量数量积的含义及其物理意义、几何意义. 2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系. 3.掌握平面向量数量积的运算律和它的一些简单应用. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角, 会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 一只飞着的天鹅拉着地上的小车行驶在一条笔直的马路上, 如图所示 , 当小车前进了 s时, 你能算出天鹅 对小车所做的功吗? 问题 1:( 其中=, 称为向量a、b的夹角 ) 叫作向量a、b的数量积 ( 或), 记 作ab, 即. 把|a|cos 叫作向量 a在b方向上的. 如图 , =a,=b, 过点A作
2、AA1垂直于直线OB, 垂足为A1,则OA1=|a|cos . 投影是一个数量 , 不是向量 ; 当为锐角时 , 它是值; 当为钝角时 , 它是; 当=90 时, 它是; 当=0 时, 它是; 当=180时, 它是. 问题 2: 向量与物理学中一些矢量的关系 向量是既有又有方向的量 , 它们可以有共同的作用点, 也可以没有共同的作用点( 即与作用 点); 力也是既有又有的量 , 且作用于作用点 ( 即力与作用点). 用向量知识解决力的问题, 往往是把向量平移到同一作用点上 . 物理学中 , 速度、 加速度与位移的合成与分解, 实质上是向量的加、 减法运算 , 而运动的也用到 向量的; 力的做功
3、是力在物体前进方向上的分力与物体的乘积 , 它的实质 是. ( 1) 力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角, 即, 功是一个, 它可以 是、负数或 0. ( 2) 在解决问题时要注意数形结合. 问题 3: 向量数量积的运算律 已知向量a、b、c和实数, 则 ( 1)ab=( 交换律 ); ( 2)( a) b= = ( 对实数的结合律 ); ( 3)(a+b)c=( 分配律 ). 问题 4: 向量数量积的性质: ( 1) 如果e是单位向量 , 则ae=ea=; ( 2) 非零向量 a,b,ab? ; ( 3)aa=或|a|=; ( 4) cos=; ( 5)|ab|a|b|. 1.已知|a|
4、=|b|=1,a与b的夹角为 90, 且c=2a+3b,d=ka-4b, 若cd, 则实数k的值为 (). A.6B.-6C.3D.-3 2.已知点A(-1, 0),B( 1, 3), 向量a=( 2k-1, 2), 若a, 则实数k的值为 (). A.-2 B.-1 C.1 D.2 3.已知向量a、b, 其中|a|=,|b|=2, 且(a-b) a,则向量a和b的夹角是. 4.设x、yR, 向量a=(x, 1),b=( 1,y),c=( 2,-4), 且ac,bc, 求|a+b|. 向量数量积的概念 已知a、b、c是非零向量 , 有下列三个说法 : ( 1) 若|b|=|c|, 则|ab|=
5、|ac|; ( 2)(ab)|c|=|a|(bc); ( 3) 若|ab|=|a|b|, 则ab. 其中正确的个数为(). A.0B.1C.2D.3 向量的夹角与模的运算 已知|a|=3,|b|=4, 且a与b的夹角为 120, 求: ( 1)(a-b) 2;( 2) |a+b|. 向量数量积在物理学中的运用 一艘船以 5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶, 而该船实际航行的方向与水流方向成30角, 求水 流速度与船的实际速度 . 已知|a|=3,|b|=2, 若ab=-3, 则a与b夹角的大小为. 已知|a|=3,|b|=4,|a+b|=.求: ( 1)ab; ( 2)( 2a-b)
6、( 3a+b). 一辆汽车在平直公路上向西行驶,车上装着风速计和风向标, 测得风向为东偏南30, 风速为 4 m/s,这 时气象台报告实际风速为2 m/s.试求风的实际方向和汽车的速度大小. 1.某人骑自行车的静风速度为 v1,风速为v2, 则逆风行驶的速度的大小为(). A.|v1-v2|B.|v1+v2| C.|v1|+|v2|D. 2.用力F推动一物体水平运动,运动的位移为s, 设F与水平面角为, 则对物体所做的功为(). A.|F|sB.Fcos s C.Fsin sD.|F|s|cos 3.作用于原点的两个力F1( 1, 1),F2( 2, 3), 为使它们平衡 , 需要加力F3=.
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