北师大版数学必修四:《平面向量应用举例》导学案(含解析).pdf
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1、第 8 课时平面向量应用举例 1.能通过向量运算研究几何问题中点、线段、夹角之间的关系. 2.会用向量知识解决一些物理问题. 向量概念有明确的物理背景和几何背景, 物理背景是力、速度、加速度等, 几何背景是有向线段, 可以说向量概念是从物理背景、几何背景中抽象而来的,正因为如此 , 利用向量可以解决一些物理和几 何问题 , 在平面几何中 , 平行四边形是大家熟悉的重要的几何图形,而在物理中 , 受力分析则是其中最基 础的知识 , 那么在本节的学习中, 借助同学们非常熟悉的内容来学习向量在几何与物理问题中的应用. 问题 1: 利用向量法解决几何问题的一般步骤如何? 向量法解决几何问题的“三步曲
2、”. ( 1) 建立平面几何与向量的联系, 用向量表示问题中涉及的几何元素, 把平面几何问题转化为向量 问题 ; ( 2) 通过向量运算 ,研究几何元素之间的关系; ( 3) 把运算结果 “翻译 ”成几何关系. 问题 2: 向量法可以解决几何中的哪些问题? 平面几何中的距离( 线段长度 ) 、夹角、平行、垂直等都可以由向量的线性运算及数量积运算求得. 问题 3: 向量在物理中的应用, 其步骤如何 ? ( 1) 建模 :把物理问题转化为问题 ; ( 2) 解模 :解答得到的数学问题; ( 3) 回答 :利用解得的数学答案解释现象. 问题 4: 如何应用向量知识解决力学问题和速度问题? 应用向量知
3、识解决力学问题, 首先要对物体进行正确的分析 , 画出受力分析图形, 在此基 础上转化为向量问题; 应用向量知识解决速度问题, 首先要对物体运动的速度进行合理的合成与, 结合运动学原 理, 转化为数学问题. 1.已知点O为三角形ABC所在平面内一点 , 若+=0, 则点O是三角形ABC的(). A.重心B.垂心C.内心D.外心 2.如图所示 , 用两条成 120 角的等长的绳子悬挂一个灯具, 已知灯具的重量为10 N, 则每根绳子的拉力 大小是 (). A.5 N B.5N C.10N D.10 N 3.若向量=( 2, 2),=(-2, 3) 分别表示两个力F1,F2, 则|F1+F2|=.
4、 4.求证 : 平行四边形对角线互相平分. 利用向量证明线段垂直 在等腰直角三角形ABC中,AC=BC,D是BC的中点 ,E是AB上的点 , 且AE=2BE, 求证 :ADCE. 利用向量证明长度相等 如图 , 四边形 ABCD是正方形 ,P是对角线DB上的一点 ( 不包括端点 ),E,F分别在边BC,DC上, 且四边形 PFCE是矩形 , 试用向量法证明PA=EF. 向量在物理中的应用 如图所示 , 重力为 300 N 的物体上系两根绳子, 这两根绳子在铅垂线的两侧, 与铅垂线的夹角分别 为 30 , 60, 求重物平衡时 , 两根绳子拉力的大小. 如图 , 在正方形ABCD中,P是对角线B
5、D上的一点 ,PFCE是矩形 ,求证 :PAEF. 如图 , 平行四边形 ABCD中,点E、F分别是AD、DC边的中点 ,BE、BF分别与AC交于R、T两 点, 你能发现 AR、RT、TC之间的关系吗 ? 已知两恒力F1=( 3, 4),F2=( 6,-5) 作用于同一质点 , 使之由点A( 20, 15) 移动到点B( 7, 0), 试求 : ( 1)F1,F2分别对质点所做的功; ( 2)F1,F2的合力F对质点所做的功. 1.设a,b是非零向量 , 若函数f(x)=(xa+b) (a-xb) 的图象是一条直线, 则必有 (). A.ab B.abC.|a|=|b|D.|a|b| 2.在四
6、边形ABCD中, 若+=0,=0, 则四边形的形状为(). A.正方形B.菱形C.矩形D.平行四边形 3.如图 , 两块斜边长相等的直角三角板拼在一起.若=x+y, 则x=,y=. 4.一轮船欲横渡某条江, 到达起始点的正对面岸边, 已知江水流速为3 km/h , 船的静水速度为6 km/h. ( 1) 求轮船的航行方向; ( 2) 若江面宽2km, 求轮船到达对岸所需要的时间 . ( 2010年江苏卷 )在平面直角坐标系xOy中, 点A(-1,-2),B( 2, 3),C(-2,-1). ( 1) 求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长; ( 2) 设实数t满足 (-t) =0
7、, 求t的值. 考题变式 ( 我来改编 ): 答案 第 8 课时平面向量应用举例 知识体系梳理 问题 3: ( 1) 数学( 3)物理 问题 4: 受力分解 基础学习交流 1.A设AB的中点为D, 由已知得=-(+)=-2, 即|=2|, 故点O是三角形ABC的重 心. 2. D如图 , 两力相等 , 夹角为 120 , 以两力所在向量为边作平行四边形 ABCD, 则可得它是有一内角为 60 的菱形 , 合力与灯具的重量大小 相等、方向相反 , 故每根绳子的拉力为10 N. 3.5F1+F2=( 2, 2)+(-2, 3)=( 0, 5),| F1+F2|=5. 4.解: 在平行四边形ABCD
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