巴特沃斯数字低通滤波器要点.pdf
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1、第 1 页 目录 1.题目 .2 2.要求 2 3.设计原理 2 3.1 数字滤波器基本概念 2 3.2 数字滤波器工作原理 2 3.3 巴特沃斯滤波器设计原理2 3.4 脉冲响应不法 4 3.5 实验所用 MATLAB 函数说明 .5 4.设计思路 .6 5、实验内容 .6 5.1 实验程序 6 5.2 实验结果分析 .10 6.心得体会 10 7.参考文献 10 第 2 页 一、题目 :巴特沃斯数字低通滤波器 二、要求: 利用脉冲响应不变法设计巴特沃斯数字低通滤波器,通带截止频率 100HZ,采样频率 1000HZ,通带最大衰减为 0.5HZ,阻带最小衰减为 10HZ,画出 幅频、相频相应
2、相应曲线。并假设一个信号x(t)=sin(2*pi*f1*t)+sin(2*pi*f2*t),其 中 f1=50HZ,f2=200HZ 。用此信号验证滤波器设计的正确性。 三、设计原理 1、数字滤波器的基本概念 所谓数字滤波器,是指输入、输出均为数字信号,通过数值运算处理改变输 入信号所含频率成分的相对比例,或者滤波器除某些频率成分的数字器件或程 序,因此,数字滤波的概念和模拟滤波相同,只是的形式和实现滤波方法不同。 正因为数字滤波通过数值运算实现滤波,所以数字滤波处理精度高、 稳定、体积 小、质量轻、灵活、不存在阻抗匹配问题,可以实验模拟滤波器无法实现的特殊 滤波功能。如果要处理的是模拟信号
3、,可通过ADC 和 DAC,在信号形式上进行 匹配转换,同样可以使用数字滤波器对模拟信号进行滤波。 2、数字滤波器的工作原理 数字滤波器是一个离散时间系统,输入x(n)是一个时间序列,输出y(n)也是 一个时间序列。如数字滤波器的系统函数为H(Z),其脉冲响应为 h(n),则在时间域 内存在下列关系 y(n)=x(n) h(n) 在 Z 域内,输入输出存在下列关系 Y(Z)=H(Z)X(Z) 式中, X(Z),Y(Z) 分别为输入 x(n)和输出 y(n)的 Z 变换。 同样在频率域内,输入和输出存在下列关系 Y(jw)=X(jw)H(jw) 式中,H(jw) 为数字滤波器的频率特性,X(jw
4、) 和 Y(jw) 分别为 x(n)和 y(n)的频谱。 w 为数字角频率,单位rad。通常设计 H(jw) 在某些频段的响应值为1,在某些频 段的响应为 0.X(jw) 和 H(jw) 的乘积在频率响应为1 的那些频段的值仍为X(jw) , 即在这些频段的振幅可以无阻碍地通过滤波器,这些频带为通带。 X(jw) 和 H(jw) 的乘积在频段响应为0 的那些频段的值不管X(jw) 大小如何均为零,即在这些频 段里的振幅不能通过滤波器,这些频带称为阻带。 一个合适的数字滤波器系统函数H(Z)可以根据需要输入x(n)的频率特性,经 数字滤波器处理后的信号y(n)保留信号 x(n)中的有用频率成分,
5、 去除无用频率成 分。 3、巴特沃斯滤波器设计原理 (1)基本性质 巴特沃斯滤波器以巴特沃斯函数来近似滤波器的系统函数。巴特沃斯滤波器 是根据幅频特性在通频带内具有最平坦特性定义的滤波器。 巴特沃思滤波器的低通模平方函数表示1 c N / 2 2 a 1 1 )(jH 第 3 页 N=1,2,(2-6) 下面归纳了巴特沃斯滤波器的主要特征 a对所有的 N,1 a j H 2 0 。 b 对所有的 N,707.0 a j 2 c 即dB3 a lg20 j H c c j Ha 2 是的单调下降函数。 d j Ha 2 随着阶次 N 的增大而更接近于理想低通滤波器。 如下图 2 所示,可以看出滤
6、波器的幅频特性随着滤波器阶次N 的增加而变 得越来越好,在截止频率c处的函数值始终为1/2 的情况下,通带内有更多的 频带区的值接近于1;在阻带内更迅速的趋近于零。 图 2 巴特沃思低通滤波平方幅频特性函数 (2)系统函数 设巴特沃斯的系统函数为Ha(s) ,则: (3)设计过程 巴特沃思低通滤波技术指标关系式为 ap-20log|Ha(j)|,s 其中: p为通带边界频率, s为阻带边界频率。代入式1.4.1可得: 第 4 页 经过化简整理可得: 取满足上式的最小整数N 作为滤波器的阶数。再将N 代入可得: 或 查表求得归一化传输函数H(s),令 s/c代替归一化原型滤波器系统函数中的s,
7、即得到实际滤波器传输函数。 4、脉冲响应不变法 所谓脉冲响应不变法就是数字滤波器的脉冲响应序列h(n)等于模拟滤波器的 响应 ha(t)的采样值,即 h(n)=ha(t)|t=nT=ha(nT) 式中, T 为采样周期。 因此数字滤波器的系统函数H(Z)可由下式求得 H(z)=Zh(n)=Zha(nT) Z- 表示- 的内容进行变换,变换的内容请参考相应的数字信号处理材 料。 如果已经获得了满足性能指标的模拟滤波器的传递函数Ha(s) ,求与之对应 的数字滤波器的传递函数H(z)的方法是: (1)、求模拟滤波器的单位脉冲响应ha(t)。 式中,LHa(s)表示对 Ha(s)的 Laplace.
8、逆变换。 Laplace变换内容请参考高等数 学的积分变换或信号处理教材。 (2) 、求模拟滤波器单位冲激响应ha(t)的采样值,即数字滤波器冲激响应 序列 h(n)。 (3) 、对数字滤波器的冲激h(n)响应进行 z 变换,得到传递函数H(z)。 由上述方法推论出更直接地由模拟滤波器系统函数Ha(s)求出数字滤波器系 统函数 H(z)的步骤是: (1)利用部分分式展开将模拟滤波器的传递函数H(z)展开成 Ha(s)= Rk(S-Pk) 在 MATLAB 中这步可通过 residue函数实现 若调用 residue函数的形式为 b,a=residue(R,P,K) 形式。 若为R,P,K=re
9、sidue(a,b)则为上面调用形式的反过程。 (2)将模拟极点 Pk 变换为数字极点 epkT 即得到数字系统的传递函数 H(z)= Rk(1-epkT*z*(-1) 式中 T 为采样间隔。 (3)将上式转换为传递函数形式,可采用R,P,K=residue(b,a)。 第 5 页 对于上面的步骤, 中已经提供了冲激响应不变法设计数字滤波器的函数,调 用格式为 bz,az=impinvar(b,a ,Fs,Fp) 式中,b,a为模拟滤波器分子和分母多项式系数向量;Fs 为采样频率(所滤波数 据) ,单位 Hz,缺省时为 1Hz,为预畸变频率(prewarped frequency ) ,是一个
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